第4章離散確率変数

Notation for the Binomial: B = Binomial Probability Distribution Function二項分布の表記：B = 二項確率分布関数

X ~ B(n, p)

Read this as "X is a random variable with a binomial distribution." The parameters are n and p; n = number of trials, p = probability of a success on each trial.

これを「Xは二項分布に従う確率変数である」と読む。母数はnとpで、n = 試行回数、p = 各試行での成功確率である。

Example 4.13例題 4.13

It has been stated that about 41% of adult workers have a high school diploma but do not pursue any further education. If 20 adult workers are randomly selected, find the probability that at most 12 of them have a high school diploma but do not pursue any further education. How many adult workers do you expect to have a high school diploma but do not pursue any further education?

英語のヒント

働く成人の約41%は高校卒業資格をもち、それ以上の教育を受けていないとされる。働く成人を20人無作為に選ぶとき、高校卒業後にそれ以上の教育を受けていない人が12人以下である確率を求めよ。そのような成人は何人いると予想されるか。

Let X = the number of workers who have a high school diploma but do not pursue any further education.

X = 高校卒業資格をもち、それ以上の教育を受けていない労働者の人数とする。

X takes on the values 0, 1, 2, ..., 20 where n = 20, p = 0.41, and q = 1 – 0.41 = 0.59. X ~ B(20, 0.41)

Xは0、1、2、…、20の値を取り、n = 20、p = 0.41、q = 1 − 0.41 = 0.59である。X ~ B(20, 0.41)

Find P(x ≤ 12). P(x ≤ 12) = 0.9738. (calculator or computer)

P(x ≤ 12)を求める。P(x ≤ 12) = 0.9738となる（電卓またはコンピューターによる）。

Using the Calculator電卓の操作

Go into 2^nd DISTR. The syntax for the instructions are as follows:

2^nd DISTRを開く。命令の書式は次のとおりである。

To calculate (x = value): binompdf(n, p, number) if "number" is left out, the result is the binomial probability table.
To calculate P(x ≤ value): binomcdf(n, p, number) if "number" is left out, the result is the cumulative binomial probability table.
For this problem: After you are in 2^nd DISTR, arrow down to binomcdf. Press ENTER. Enter 20,0.41,12). The result is P(x ≤ 12) = 0.9738.

英語のヒント

(x = 指定値)を計算するには、binompdf(n, p, number)を使う。「number」を省略すると、二項確率表が得られる。P(x ≤ 指定値)を計算するには、binomcdf(n, p, number)を使う。「number」を省略すると、累積二項確率表が得られる。この問題では、2^nd DISTRを開いた後、下矢印でbinomcdfに移動する。ENTERを押す。20,0.41,12)を入力する。結果はP(x ≤ 12) = 0.9738である。

The probability that at most 12 workers have a high school diploma but do not pursue any further education is 0.9738.

高校卒業資格をもち、それ以上の教育を受けていない労働者が12人以下である確率は0.9738である。

The graph of X ~ B(20, 0.41) is as follows:

X ~ B(20, 0.41)のグラフは次のようになる。

二項確率分布のヒストグラム。棒はおおむね正規分布に近い形に並んでいる。x軸は0から20、y軸は0から0.2まで0.05刻みで示されている。 — Figure 4.3図 4.3

The y-axis contains the probability of x, where X = the number of workers who have only a high school diploma.

y軸はxの確率を表す。ここでX = 高校卒業資格だけをもつ労働者の人数である。

The number of adult workers that you expect to have a high school diploma but not pursue any further education is the mean, μ = np = (20)(0.41) = 8.2.

高校卒業資格をもち、それ以上の教育を受けていないと予想される成人労働者の人数は、平均μ = np = (20)(0.41) = 8.2である。

The formula for the variance is σ² = npq. The standard deviation is σ =

\sqrt{n p q}

.
σ =

\sqrt{(20) (0.41) (0.59)}

= 2.20.

分散の公式はσ² = npqである。標準偏差はσ =

\sqrt{n p q}

であり、σ =

\sqrt{(20) (0.41) (0.59)}

= 2.20となる。

Example 4.14例題 4.14

In the 2013 Jerry’s Artarama art supplies catalog, there are 560 pages. Eight of the pages feature signature artists. Suppose we randomly sample 100 pages. Let X = the number of pages that feature signature artists.

英語のヒント

2013年のJerry’s Artaramaの画材カタログは560ページある。そのうち8ページでは代表的なアーティストを特集している。100ページを無作為に抽出するとする。X = 代表的なアーティストを特集するページ数とする。

What values does x take on?
xはどのような値を取るか。
What is the probability distribution? Find the following probabilities:
確率分布は何か。次の確率を求めよ。
1. the probability that two pages feature signature artists
  2ページが代表的なアーティストを特集している確率。
2. the probability that at most six pages feature signature artists
  代表的なアーティストを特集するページが6ページ以下である確率。
3. the probability that more than three pages feature signature artists.
  代表的なアーティストを特集するページが3ページより多い確率。
Using the formulas, calculate the (i) mean and (ii) standard deviation.
公式を使って、(i)平均と(ii)標準偏差を計算せよ。

Solution解き方

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
X ~ B $(100, \frac{8}{560})$
1. P(x = 2) = binompdf $(100, \frac{8}{560}, 2)$ = 0.2466
2. P(x ≤ 6) = binomcdf $(100, \frac{8}{560}, 6)$ = 0.9994
3. P(x > 3) = 1 – P(x ≤ 3) = 1 – binomcdf $(100, \frac{8}{560}, 3)$ = 1 – 0.9443 = 0.0557
  P(x > 3) = 1 − P(x ≤ 3) = 1 − binomcdf $(100, \frac{8}{560}, 3)$ = 1 − 0.9443 = 0.0557
1. Mean = np = (100) $(\frac{8}{560})$ = $\frac{800}{560}$ ≈ 1.4286
  平均 = np = (100) $(\frac{8}{560})$ = $\frac{800}{560}$ ≈ 1.4286
2. Standard Deviation = $\sqrt{n p q}$ = $\sqrt{(100) (\frac{8}{560}) (\frac{552}{560})}$ ≈ 1.1867
  標準偏差 = $\sqrt{n p q}$ = $\sqrt{(100) (\frac{8}{560}) (\frac{552}{560})}$ ≈ 1.1867

Try Itやってみよう

According to a Gallup poll, 60% of American adults prefer saving over spending. Let X = the number of American adults out of a random sample of 50 who prefer saving to spending.

ギャラップ調査によると、米国の成人の60%は支出より貯蓄を好む。X = 無作為に選んだ米国の成人50人のうち、支出より貯蓄を好む人の人数とする。

What is the probability distribution for X?
Xの確率分布は何か。
Use your calculator to find the following probabilities:
電卓を使って次の確率を求めよ。
1. the probability that 25 adults in the sample prefer saving over spending
  標本の成人25人が支出より貯蓄を好む確率。
2. the probability that at most 20 adults prefer saving
  貯蓄を好む成人が20人以下である確率。
3. the probability that more than 30 adults prefer saving
  貯蓄を好む成人が30人より多い確率。
Using the formulas, calculate the (i) mean and (ii) standard deviation of X.
公式を使い、Xの（i）平均と（ii）標準偏差を計算せよ。

Example 4.15例題 4.15

The lifetime risk of developing cancer is about one in 67 (1.5%). Suppose we randomly sample 200 people. Let X = the number of people who will develop cancer.

生涯にがんを発症するリスクは約67人に1人（1.5%）である。200人を無作為に抽出するとする。X = がんを発症する人の人数とする。

What is the probability distribution for X?
Xの確率分布は何か。
Using the formulas, calculate the (i) mean and (ii) standard deviation of X.
公式を使い、Xの（i）平均と（ii）標準偏差を計算せよ。
Use your calculator to find the probability that at most eight people develop cancer
電卓を使って、がんを発症する人が8人以下である確率を求めよ。
Is it more likely that five or six people will develop cancer? Justify your answer numerically.
がんを発症する人が5人の場合と6人の場合では、どちらの可能性が高いか。数値で根拠を示せ。

Solution解き方

$X ~ B (200, 0.015)$
$Mean = n p = 200 (0.015) = 3$
$Standard Deviation = \sqrt{n p q} = \sqrt{200 (0.015) (0.985)} = 1.719$
$平均 = n p = 200 (0.015) = 3$ $標準偏差 = \sqrt{n p q} = \sqrt{200 (0.015) (0.985)} = 1.719$
$P (x \leq 8) = 0.9965$
The probability that five people develop cancer is 0.1011. The probability that six people develop cancer is 0.0500.
5人ががんを発症する確率は0.1011で、6人が発症する確率は0.0500である。

Try Itやってみよう

During a certain NBA season, a player for the Los Angeles Clippers had the highest field goal completion rate in the league. This player scored with 61.3% of his shots. Suppose you choose a random sample of 80 shots made by this player during the season. Let X = the number of shots that scored points.

あるNBAシーズンで、ロサンゼルス・クリッパーズのある選手がリーグ最高のフィールドゴール成功率を記録した。シュートの61.3%が得点につながった。そのシーズンのこの選手のシュートから80本を無作為に選ぶとする。X = 得点したシュートの本数とする。

What is the probability distribution for X?
Xの確率分布は何か。
Using the formulas, calculate the (i) mean and (ii) standard deviation of X.
公式を使い、Xの（i）平均と（ii）標準偏差を計算せよ。
Use your calculator to find the probability that this player scored with 60 of these shots.
電卓を使って、この選手が80本のうち60本で得点した確率を求めよ。
Find the probability that this player scored with more than 50 of these shots.
この選手が50本より多くのシュートで得点した確率を求めよ。

Example 4.16例題 4.16

The following example illustrates a problem that is not binomial. It violates the condition of independence. ABC College has a student advisory committee made up of ten staff members and six students. The committee wishes to choose a chairperson and a recorder. What is the probability that the chairperson and recorder are both students? The names of all committee members are put into a box, and two names are drawn without replacement. The first name drawn determines the chairperson and the second name the recorder. There are two trials. However, the trials are not independent because the outcome of the first trial affects the outcome of the second trial. The probability of a student on the first draw is

\frac{6}{16}

. The probability of a student on the second draw is

\frac{5}{15}

, when the first draw selects a student. The probability is

\frac{6}{15}

, when the first draw selects a staff member. The probability of drawing a student's name changes for each of the trials and, therefore, violates the condition of independence.

英語のヒント

次の例は二項分布ではない問題を示す。独立性の条件を満たさないからである。ABCカレッジには職員10人と学生6人からなる学生諮問委員会がある。委員会は委員長と記録係を選びたいと考えている。両方とも学生となる確率はいくらか。全委員の名前を箱に入れ、戻さずに二つ引く。最初に引いた名前が委員長、2番目が記録係となる。試行は2回だが、1回目の結果が2回目に影響するため、独立ではない。1回目に学生を引く確率は

\frac{6}{16}

である。1回目が学生なら、2回目に学生を引く確率は

\frac{5}{15}

である。1回目が職員なら、確率は

\frac{6}{15}

となる。学生の名前を引く確率が試行ごとに変わるので、独立性の条件を満たさない。