第4章離散確率変数

4.4 Geometric Distribution4.4　幾何分布

1. A trial is repeated until a success occurs. Think of this as one or more Bernoulli trials with all failures except the last one, which is a success. In other words, you keep repeating what you are doing until the first success. Then you stop. For example, you throw a dart at a bullseye until you hit the bullseye. The first time you hit the bullseye is a "success," so you stop throwing the dart. It might take six tries until you hit the bullseye. You can think of the trials as failure, failure, failure, failure, failure, success, STOP. In theory, the number of trials could go on forever.

   英語のヒント

   成功するまで試行を繰り返す。最後の1回だけが成功で、それ以外はすべて失敗となる、1回以上のベルヌーイ試行と考えればよい。言い換えると、最初の成功まで同じことを繰り返し、成功したらやめる。たとえば、的の中心に当たるまでダーツを投げる。初めて中心に当たったときが「成功」なので、そこで投げるのをやめる。中心に当たるまで6回かかるかもしれない。試行を「失敗、失敗、失敗、失敗、失敗、成功、終了」と考えられる。理論上、試行はいつまでも続く可能性がある。
2. The repeated trials are independent of each other.

   繰り返される試行は、互いに独立である。
3. The probability, p, of a success and the probability, q, of a failure is the same for each trial. $p+q=1$ and $q=1-p.$ For example, the probability of rolling a three when you throw one fair die is $1/6$. This is true no matter how many times you roll the die. Suppose you want to know the probability of getting the first three on the fifth roll. On rolls one through four, you do not get a face with a three. The probability for each of the rolls is $q=5/6,$ the probability of a failure. The probability of getting a first three on the fifth roll is $(5/6)(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.0804$

   成功確率pと失敗確率qは、各試行で同じである。$p+q=1$かつ$q=1-p$ たとえば、公平なサイコロを1個投げて3の目が出る確率は$1/6$である。何回投げてもこれは変わらない。5回目に初めて3の目が出る確率を知りたいとする。1〜4回目には3の目が出ない。各回の確率は失敗確率$q=5/6$である。5回目に初めて3の目が出る確率は$(5/6)(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.0804$である。
4. The random variable X represents the number of the trial in which the first success occurs. That is, X = the number of independent trials until the first success.

   確率変数Xは、最初に成功する試行が何回目かを表す。すなわち、X = 最初の成功までに行う独立な試行の回数である。

5. The random variable is discrete. The random variable may be defined in two ways depending upon the analyst’s interest. In the example above for throwing a die, the question was “What is the probability that the first success will be on the fifth throw?” Alternatively, the question could be asked as “What is the probability that it takes four failures before a success?” We will see that each way of asking the question will alter the form of the geometric probability density function slightly and will change the mean and standard deviation of the geometric pdf.

   確率変数は離散型である。分析者の関心によって、二通りに定義できる。先ほどのサイコロの例では、「5回目に初めて成功する確率はいくらか」と問うた。これを「成功する前に4回失敗する確率はいくらか」と問うこともできる。問い方によって幾何確率密度関数の形がわずかに変わり、その平均と標準偏差も変わることを見ていく。
6. Implicit in the random variable is that the probability of a success is constant and therefore so is the probability of a failure. For flipping a coin this is obvious, but in experiments that require skill, such as hitting a baseball or throwing a dart, one might consider that learning during the experiment would alter the probability of a success. The geometric distribution cannot capture “learning” thus the historical probability of success is assumed to be constant.

   英語のヒント

   この確率変数には、成功確率が一定であり、したがって失敗確率も一定だという前提が含まれている。硬貨投げでは明らかだが、野球の打撃やダーツ投げのように技能を要する実験では、実験中の学習によって成功確率が変わると考えられるかもしれない。幾何分布は「学習」を捉えられないため、過去の成功確率が一定であると仮定する。
7. The geometric distribution is “memoryless.” There are very few probability density functions that are what is known as “memoryless,” and the Geometric distribution is the only one with a discrete random variable that is memoryless. As an example, historically Major League Baseball player Jones has a record of hitting the ball for at least an advance to first base with a probability of 0.20. Jones has not had a hit in his last 10 times at bat. What is the probability that Jones will get a hit in his third time at bat? The answer ignores his 10 previous failures. All events prior to the events in current time are irrelevant and thus are considered “memoryless.”

   英語のヒント

   幾何分布は「無記憶」である。「無記憶」と呼ばれる確率密度関数はごく少なく、離散確率変数で無記憶性をもつのは幾何分布だけである。例として、大リーグの選手ジョーンズには、少なくとも一塁まで進む安打を放つ確率が過去の成績で0.20だという記録がある。直近の10打席では安打が出ていない。これから3打席目に安打を放つ確率はいくらか。答えでは、直前の10回の失敗を無視する。現在の事象より前のすべての事象は無関係なので、「無記憶」とされる。