プリンキピア

第1章標本抽出とデータ

1.1 Definitions of Statistics, Probability, and Key Terms1.1　統計、確率、および重要用語の定義

The science of statistics deals with the collection, analysis, interpretation, and presentation of data. We see and use data in our everyday lives.
英語のヒント
統計学は、データの収集、分析、解釈、提示を扱う学問である。私たちは日常生活で、データを目にし、利用している。
Collaborative Exercise共同演習
In this course, you will learn how to organize and summarize data. Organizing and summarizing data is called descriptive statistics. Two ways to summarize data are by graphing and by using numbers (for example, finding an average). After you have studied probability and probability distributions, you will use formal methods for drawing conclusions from "good" data. The formal methods are called inferential statistics. Statistical inference uses probability to determine how confident we can be that our conclusions are correct.
英語のヒント
この授業では、データを整理して要約する方法を学ぶ。データの整理と要約は、記述統計と呼ばれる。データを要約する方法には、グラフを使う方法と、数値を使う方法（例えば平均を求めること）がある。確率と確率分布を学んだ後には、「良い」データから結論を導くための、形式化された方法を使う。このような方法を推測統計と呼ぶ。統計的推測では、確率を用いて、結論が正しいことにどの程度の確信を持てるかを判断する。
Effective interpretation of data (inference) is based on good procedures for producing data and thoughtful examination of the data. You will encounter what will seem to be too many mathematical formulas for interpreting data. The goal of statistics is not to perform numerous calculations using the formulas, but to gain an understanding of your data. The calculations can be done using a calculator or a computer. The understanding must come from you. If you can thoroughly grasp the basics of statistics, you can be more confident in the decisions you make in life.
英語のヒント
データを適切に解釈すること（推測）は、データを得るための適切な手順と、データを注意深く検討することに基づいている。データを解釈するための数式を、あまりに多いと感じるほど目にするだろう。統計の目的は、公式を使って大量の計算をすることではなく、自分のデータを理解することである。計算は計算機やコンピューターに任せられるが、理解するのは自分自身でなければならない。統計の基礎を十分につかめれば、人生で行う判断にも、より確信を持てるようになる。

Probability確率

Probability is a mathematical tool used to study randomness. It deals with the chance (the likelihood) of an event occurring. For example, if you toss a fair coin four times, the outcomes may not be two heads and two tails. However, if you toss the same coin 4,000 times, the outcomes will be close to half heads and half tails. The expected theoretical probability of heads in any one toss is 1 2 or 0.5. Even though the outcomes of a few repetitions are uncertain, there is a regular pattern of outcomes when there are many repetitions. After reading about the English statistician Karl Pearson who tossed a coin 24,000 times with a result of 12,012 heads, one of the authors tossed a coin 2,000 times. The results were 996 heads. The fraction 996 2000 is equal to 0.498 which is very close to 0.5, the expected probability.
英語のヒント
確率は、ランダムさを調べるための数学的な道具である。ある事象が起こる見込みを扱う。例えば、公正なコインを4回投げても、表が2回、裏が2回になるとは限らない。しかし、同じコインを4,000回投げれば、表と裏の回数は半分ずつに近くなる。1回の投擲で表が出ると予想される理論的確率は、 1 2 、すなわち0.5である。少ない回数の試行の結果は不確かでも、繰り返しが多くなると、結果には規則的なパターンが現れる。イギリスの統計学者カール・ピアソンがコインを24,000回投げ、表が12,012回出たという話を読んで、著者の1人もコインを2,000回投げた。その結果、表は996回だった。分数 996 2000 は0.498に等しく、予想される確率0.5に非常に近い。
The theory of probability began with the study of games of chance such as poker. Predictions take the form of probabilities. To predict the likelihood of an earthquake, of rain, or whether you will get an A in this course, we use probabilities. Doctors use probability to determine the chance of a vaccination causing the disease the vaccination is supposed to prevent. A stockbroker uses probability to determine the rate of return on a client's investments. You might use probability to decide to buy a lottery ticket or not. In your study of statistics, you will use the power of mathematics through probability calculations to analyze and interpret your data.
英語のヒント
確率論は、ポーカーのような偶然に左右されるゲームの研究から始まった。予測は確率の形を取る。地震や雨の可能性、あるいはこの授業でA評価を取れるかどうかを予測するために、確率を使う。医師は、予防接種が、本来防ぐはずの病気を引き起こす可能性を判断するために確率を使う。証券仲買人は、顧客の投資収益率を判断するために確率を使う。宝くじを買うかどうか決めるために使うこともあるだろう。統計の学習では、確率計算を通じて数学の力を使い、データを分析し、解釈する。

Key Terms重要語

In statistics, we generally want to study a population. You can think of a population as a collection of persons, things, or objects under study. To study the population, we select a sample. The idea of sampling is to select a portion (or subset) of the larger population and study that portion (the sample) to gain information about the population. Data are the result of sampling from a population.
英語のヒント
統計では一般に、母集団を調べようとする。母集団とは、研究対象となる人、物、対象の集まりと考えられる。母集団を調べるために、標本を選ぶ。標本抽出の考え方は、大きな母集団の一部分（部分集合）を選び、その部分、つまり標本を調べることで、母集団についての情報を得る、というものである。データは、母集団から標本を抽出して得られる結果である。
Because it takes a lot of time and money to examine an entire population, sampling is a very practical technique. If you wished to compute the overall grade point average at your school, it would make sense to select a sample of students who attend the school. The data collected from the sample would be the students' grade point averages. In presidential elections, opinion poll samples of 1,000–2,000 people are taken. The opinion poll is supposed to represent the views of the people in the entire country. Manufacturers of canned carbonated drinks take samples to determine if a 16-ounce can contains 16 ounces of carbonated drink.
英語のヒント
母集団全体を調べるには多くの時間と費用がかかるので、標本抽出は非常に実用的な方法である。自分の学校全体のGPAの平均を求めたいなら、その学校に通う学生から標本を選ぶのが合理的だろう。標本から集めるデータは、各学生のGPAになる。大統領選挙では、1,000～2,000人の標本を取って世論調査を行う。その調査は、国全体の人々の意見を代表することを期待されている。炭酸飲料の缶を製造する業者は、16オンスの缶に16オンスの炭酸飲料が入っているかを調べるため、標本を取る。
From the sample data, we can calculate a statistic. A statistic is a number that represents a property of the sample. For example, if we consider one math class to be a sample of the population of all math classes, then the average number of points earned by students in that one math class at the end of the term is an example of a statistic. The statistic is an estimate of a population parameter. A parameter is a numerical characteristic of the whole population that can be estimated by a statistic. Since we considered all math classes to be the population, then the average number of points earned per student over all the math classes is an example of a parameter.
英語のヒント
標本データからは、統計量を計算できる。統計量とは、標本の性質を表す数値である。例えば、すべての数学クラスを母集団とし、そのうち一つのクラスを標本と考えるなら、そのクラスの学生が学期末に得た点数の平均は、統計量の一例になる。統計量は、母集団の母数の推定値である。母数とは、母集団全体の数値的な特徴で、統計量によって推定できるものをいう。すべての数学クラスを母集団としたので、すべての数学クラスを通じた学生1人あたりの平均点は、母数の一例である。
One of the main concerns in the field of statistics is how accurately a statistic estimates a parameter. The accuracy really depends on how well the sample represents the population. The sample must contain the characteristics of the population in order to be a representative sample. We are interested in both the sample statistic and the population parameter in inferential statistics. In a later chapter, we will use the sample statistic to test the validity of the established population parameter.
英語のヒント
統計学の大きな関心の一つは、統計量が母数をどれだけ正確に推定するか、ということである。その正確さは、標本が母集団をどれだけよく代表しているかにかかっている。代表性のある標本であるには、母集団の特徴を備えていなければならない。推測統計では、標本統計量と母数の両方に関心がある。後の章では、標本統計量を使って、既に設定された母数の妥当性を検定する。
A variable, usually notated by capital letters such as X and Y, is a characteristic or measurement that can be determined for each member of a population. Variables may be numerical or categorical. Numerical variables take on values with equal units such as weight in pounds and time in hours. Categorical variables place the person or thing into a category. If we let X equal the number of points earned by one math student at the end of a term, then X is a numerical variable. If we let Y be a person's party affiliation, then some examples of Y include Republican, Democrat, and Independent. Y is a categorical variable. We could do some math with values of X (calculate the average number of points earned, for example), but it makes no sense to do math with values of Y (calculating an average party affiliation makes no sense).
英語のヒント
変数とは、母集団の各構成員について定められる特徴や測定値であり、通常はXやYのような大文字で表す。変数には、数値変数とカテゴリ変数がある。数値変数は、ポンド単位の重さや時間単位の時間のように、等しい単位で表せる値を取る。カテゴリ変数は、人や物を分類する。Xを、数学の学生1人が学期末に得た点数とすれば、Xは数値変数である。Yを、その人の所属政党とすれば、Yの例には共和党、民主党、無所属がある。Yはカテゴリ変数である。Xの値については、平均点を求めるなどの計算ができる。しかし、Yの値で計算しても意味がない。所属政党の平均を求めても意味はないからである。
Data are the actual values of the variable. They may be numbers or they may be words. Datum is a single value.
英語のヒント
データは、変数が実際に取った値である。数の場合もあれば、言葉の場合もある。datumは単一の値を指す。
Two words that come up often in statistics are mean and proportion. If you were to take three exams in your math classes and obtain scores of 86, 75, and 92, you would calculate your mean score by adding the three exam scores and dividing by three (your mean score would be 84.3 to one decimal place). If, in your math class, there are 40 students and 22 are men and 18 are women, then the proportion of men students is 2240 and the proportion of women students is 1840. Mean and proportion are discussed in more detail in later chapters.
英語のヒント
統計でよく出てくる二つの言葉は、平均と比率である。数学の試験を3回受けて86点、75点、92点を取ったとすれば、3回の点数を合計して3で割ると平均点が求まる。小数第1位まで示すと84.3点である。数学のクラスの学生40人のうち、22人が男性で18人が女性なら、男性の比率は2240、女性の比率は1840である。平均と比率は、後の章でさらに詳しく扱う。
Example 1.1例題 1.1
Determine what the key terms refer to in the following study. We want to know the average (mean) amount of money first year college students spend at ABC College on school supplies that do not include books. We randomly surveyed 100 first year students at the college. Three of those students spent $150, $200, and $225, respectively.
英語のヒント
次の調査で、各重要用語が何を指すかを答えよ。ABC大学の1年生が、本を除く学用品に使う金額の平均を知りたい。同大学の1年生100人を無作為に調べた。そのうち3人の支出額は、それぞれ150ドル、200ドル、225ドルだった。
Solution解き方
The population is all first year students attending ABC College this term.
母集団は、今学期にABC大学へ通う1年生全員である。
The sample could be all students enrolled in one section of a beginning statistics course at ABC College (although this sample may not represent the entire population).
英語のヒント
標本としては、ABC大学の統計入門科目の一つのクラスに登録している学生全員が考えられる。ただし、この標本は母集団全体を代表していないかもしれない。
The parameter is the average (mean) amount of money spent (excluding books) by first year college students at ABC College this term.
母数は、今学期のABC大学1年生が本以外に使った金額の平均である。
The statistic is the average (mean) amount of money spent (excluding books) by first year college students in the sample.
統計量は、標本に含まれる1年生が本以外に使った金額の平均である。
The variable could be the amount of money spent (excluding books) by one first year student. Let X = the amount of money spent (excluding books) by one first year student attending ABC College.
変数は、1年生1人が本以外に使った金額と考えられる。X = ABC大学に通う1年生1人が本以外に使った金額、とする。
The data are the dollar amounts spent by the first year students. Examples of the data are $150, $200, and $225.
データは、1年生が使った金額をドルで表したものである。150ドル、200ドル、225ドルが、その例である。
Example 1.2例題 1.2
Determine what the key terms refer to in the following study.
次の調査で、各重要用語が何を指すかを答えよ。
A study was conducted at a local college to analyze the average cumulative GPA’s of students who graduated last year. Fill in the letter of the phrase that best describes each of the items below.
英語のヒント
地元の大学で、昨年卒業した学生の累積GPAの平均を分析する調査を行った。下の各項目を最もよく説明する語句の記号を記入せよ。
1. Population_____ 2. Statistic _____ 3. Parameter _____ 4. Sample _____ 5. Variable _____ 6. Data _____
1. 母集団 _____　2. 統計量 _____　3. 母数 _____4. 標本 _____　5. 変数 _____　6. データ _____
  1. all students who attended the college last year
    昨年その大学に在籍していた学生全員
  2. the cumulative GPA of one student who graduated from the college last year
    昨年その大学を卒業した学生1人の累積GPA
  3. 3.65, 2.80, 1.50, 3.90
  4. a group of students who graduated from the college last year, randomly selected
    昨年その大学を卒業した学生から無作為に選んだ集団
  5. the average cumulative GPA of students who graduated from the college last year
    昨年その大学を卒業した学生の累積GPAの平均
  6. all students who graduated from the college last year
    昨年その大学を卒業した学生全員
  7. the average cumulative GPA of students in the study who graduated from the college last year
    調査対象のうち、昨年その大学を卒業した学生の累積GPAの平均
Solution解き方
  • 1. f
  • 2. g
  • 3. e
  • 4. d
  • 5. b
  • 6. c
Example 1.3例題 1.3
Determine what the key terms refer to in the following study.
次の調査で、各重要用語が何を指すかを答えよ。
As part of a study designed to test the safety of electric automobiles, the National Transportation Safety Board collected and reviewed data about the effects of a crash on test dummies. Here is the criterion they used:
英語のヒント
電気自動車の安全性を試す調査の一環として、米国国家運輸安全委員会は、衝突が試験用ダミー人形に及ぼす影響についてデータを集め、検討した。使った基準は次のとおりである。
Speed at which Cars Crashed
自動車が衝突したときの速度
Location of “drivers” (i.e. dummies)
「運転者」（ダミー人形）の位置
35 miles/hour
時速35マイル
Front Seat
前部座席
Table 1.1表 1.1
Cars with dummies in the front seats were crashed into a wall at a speed of 35 miles per hour. We want to know the proportion of dummies in the driver’s seat that would have had head injuries, if they had been actual drivers. We start with a simple random sample of 75 cars.
英語のヒント
前部座席にダミー人形を載せた自動車を、時速35マイルで壁に衝突させた。運転席のダミーが実際の運転者だったとしたら、頭部にけがをしたであろう割合を知りたい。まず、75台の自動車からなる単純無作為標本を取る。
Solution解き方
The population is all cars containing dummies in the front seat.
母集団は、前部座席にダミー人形を載せた自動車すべてである。
The sample is the 75 cars, selected by a simple random sample.
標本は、単純無作為抽出によって選んだ75台の自動車である。
The parameter is the proportion of driver dummies (if they had been real people) who would have suffered head injuries in the population.
母数は、母集団の運転席のダミー人形のうち、実際の人だったなら頭部にけがをしたであろうものの割合である。
The statistic is proportion of driver dummies (if they had been real people) who would have suffered head injuries in the sample.
統計量は、標本の運転席のダミー人形のうち、実際の人だったなら頭部にけがをしたであろうものの割合である。
The variable X = whether a dummy (if it had been a real person) who would have suffered head injuries.
変数X = ダミー人形が実際の人だったなら、頭部にけがをしたかどうか。
The data are either: yes, had head injury, or no, did not.
データは、「はい、頭部にけがをした」または「いいえ、しなかった」のいずれかである。
Example 1.4例題 1.4
Determine what the key terms refer to in the following study.
次の調査で、各重要用語が何を指すかを答えよ。
An insurance company would like to determine the proportion of all medical doctors who have been involved in one or more malpractice lawsuits. The company selects 500 doctors at random from a professional directory and determines the number in the sample who have been involved in a malpractice lawsuit.
英語のヒント
ある保険会社が、全医師のうち、1件以上の医療過誤訴訟に関わったことのある医師の割合を知りたいと考えている。会社は医師名簿から500人を無作為に選び、その標本の中で、医療過誤訴訟に関わったことのある人数を調べる。
Solution解き方
The population is all medical doctors listed in the professional directory.
母集団は、医師名簿に載っている医師全員である。
The parameter is the proportion of medical doctors who have been involved in one or more malpractice suits in the population.
母数は、母集団の医師のうち、1件以上の医療過誤訴訟に関わったことのある医師の割合である。
The sample is the 500 doctors selected at random from the professional directory.
標本は、医師名簿から無作為に選んだ500人の医師である。
The statistic is the proportion of medical doctors who have been involved in one or more malpractice suits in the sample.
統計量は、標本の医師のうち、1件以上の医療過誤訴訟に関わったことのある医師の割合である。
The variable X = whether an individual doctor has been involved in a malpractice suit.
変数X = 医師1人が、医療過誤訴訟に関わったことがあるかどうか。
The data are either: yes, was involved in one or more malpractice lawsuits, or no, was not.
データは、「はい、1件以上の医療過誤訴訟に関わった」または「いいえ、関わっていない」のいずれかである。
Collaborative Exercise共同演習