第1章標本抽出とデータ

Frequency度数

Twenty students were asked how many hours they worked per day. Their responses, in hours, are as follows:

学生20人に、1日に何時間働くかを尋ねた。回答を時間単位で以下に示す。

Table 1.18 lists the different data values in ascending order and their frequencies.

英語のヒント

表1.18では、異なるデータの値を小さい順に並べ、度数を示す。

Frequency Table of Student Work Hours学生の労働時間の度数表

Table 1.18表 1.18
DATA VALUE データの値	FREQUENCY 度数
2	3
3	5
4	3
5	6
6	2
7	1

A frequency is the number of times a value of the data occurs. According to Table 1.18, there are three students who work two hours, five students who work three hours, and so on. The sum of the values in the frequency column, 20, represents the total number of students included in the sample.

度数とは、あるデータの値が現れる回数である。表1.18によると、2時間働く学生は3人、3時間働く学生は5人、といった具合である。度数の列の合計20は、標本に含まれる学生の総数を表す。

A relative frequency is the ratio (fraction or proportion) of the number of times a value of the data occurs in the set of all outcomes to the total number of outcomes. To find the relative frequencies, divide each frequency by the total number of students in the sample–in this case, 20. Relative frequencies can be written as fractions, percents, or decimals.

相対度数とは、ある値がすべての結果の中に現れる回数を、結果の総数で割った比、つまり分数や比率である。各度数を、標本の学生総数、この場合は20で割ると求められる。相対度数は、分数、百分率、小数で表せる。

Frequency Table of Student Work Hours with Relative Frequencies相対度数を含めた学生の労働時間の度数表

Table 1.19表 1.19
DATA VALUE データの値	FREQUENCY 度数	RELATIVE FREQUENCY 相対度数
2	3	$\frac{3}{20}$ or 0.15 $\frac{3}{20}$ 、すなわち0.15
3	5	$\frac{5}{20}$ or 0.25 $\frac{5}{20}$ 、すなわち0.25
4	3	$\frac{3}{20}$ or 0.15 $\frac{3}{20}$ 、すなわち0.15
5	6	$\frac{6}{20}$ or 0.30 $\frac{6}{20}$ 、すなわち0.30
6	2	$\frac{2}{20}$ or 0.10 $\frac{2}{20}$ 、すなわち0.10
7	1	$\frac{1}{20}$ or 0.05 $\frac{1}{20}$ 、すなわち0.05

The sum of the values in the relative frequency column of Table 1.19 is

\frac{20}{20}

, or 1.

表1.19の相対度数の列の合計は、

\frac{20}{20}

、すなわち1である。

Cumulative relative frequency is the accumulation of the previous relative frequencies. To find the cumulative relative frequencies, add all the previous relative frequencies to the relative frequency for the current row, as shown in Table 1.20.

英語のヒント

累積相対度数は、それまでの相対度数を積み重ねたものである。表1.20のように、その行の相対度数に、それより前のすべての相対度数を足すと求められる。

Frequency Table of Student Work Hours with Relative and Cumulative Relative Frequencies相対度数と累積相対度数を含めた学生の労働時間の度数表

Table 1.20表 1.20
DATA VALUE データの値	FREQUENCY 度数	RELATIVE FREQUENCY 相対度数	CUMULATIVE RELATIVE FREQUENCY 累積相対度数
2	3	$\frac{3}{20}$ or 0.15 $\frac{3}{20}$ 、すなわち0.15	0.15
3	5	$\frac{5}{20}$ or 0.25 $\frac{5}{20}$ 、すなわち0.25	0.15 + 0.25 = 0.40
4	3	$\frac{3}{20}$ or 0.15 $\frac{3}{20}$ 、すなわち0.15	0.40 + 0.15 = 0.55
5	6	$\frac{6}{20}$ or 0.30 $\frac{6}{20}$ 、すなわち0.30	0.55 + 0.30 = 0.85
6	2	$\frac{2}{20}$ or 0.10 $\frac{2}{20}$ 、すなわち0.10	0.85 + 0.10 = 0.95
7	1	$\frac{1}{20}$ or 0.05 $\frac{1}{20}$ 、すなわち0.05	0.95 + 0.05 = 1.00

The last entry of the cumulative relative frequency column is one, indicating that one hundred percent of the data has been accumulated.

英語のヒント

累積相対度数の列の最後の値は1であり、データの100%が積み上がったことを示している。

Table 1.21 represents the heights, in inches, of a sample of 100 semiprofessional soccer players.

表1.21は、セミプロのサッカー選手100人の標本について、身長をインチ単位で示している。

Frequency Table of Soccer Player Heightサッカー選手の身長の度数表

Table 1.21表 1.21
HEIGHTS (INCHES) 身長（インチ）	FREQUENCY 度数	RELATIVE FREQUENCY 相対度数	CUMULATIVE RELATIVE FREQUENCY 累積相対度数
59.95–61.95	5	$\frac{5}{100}$ = 0.05	0.05
61.95–63.95	3	$\frac{3}{100}$ = 0.03	0.05 + 0.03 = 0.08
63.95–65.95	15	$\frac{15}{100}$ = 0.15	0.08 + 0.15 = 0.23
65.95–67.95	40	$\frac{40}{100}$ = 0.40	0.23 + 0.40 = 0.63
67.95–69.95	17	$\frac{17}{100}$ = 0.17	0.63 + 0.17 = 0.80
69.95–71.95	12	$\frac{12}{100}$ = 0.12	0.80 + 0.12 = 0.92
71.95–73.95	7	$\frac{7}{100}$ = 0.07	0.92 + 0.07 = 0.99
73.95–75.95	1	$\frac{1}{100}$ = 0.01	0.99 + 0.01 = 1.00
	Total = 100 合計 = 100	Total = 1.00 合計 = 1.00

The data in this table have been grouped into the following intervals:

この表のデータは、次の区間にまとめてある。

59.95 to 61.95 inches
59.95～61.95インチ
61.95 to 63.95 inches
61.95～63.95インチ
63.95 to 65.95 inches
63.95～65.95インチ
65.95 to 67.95 inches
65.95～67.95インチ
67.95 to 69.95 inches
67.95～69.95インチ
69.95 to 71.95 inches
69.95～71.95インチ
71.95 to 73.95 inches
71.95～73.95インチ
73.95 to 75.95 inches
73.95～75.95インチ

In this sample, there are five players whose heights fall within the interval 59.95–61.95 inches, three players whose heights fall within the interval 61.95–63.95 inches, 15 players whose heights fall within the interval 63.95–65.95 inches, 40 players whose heights fall within the interval 65.95–67.95 inches, 17 players whose heights fall within the interval 67.95–69.95 inches, 12 players whose heights fall within the interval 69.95–71.95, seven players whose heights fall within the interval 71.95–73.95, and one player whose heights fall within the interval 73.95–75.95. All heights fall between the endpoints of an interval and not at the endpoints.

英語のヒント

この標本では、身長が59.95～61.95インチの選手は5人、61.95～63.95インチは3人、63.95～65.95インチは15人、65.95～67.95インチは40人である。67.95～69.95インチは17人、69.95～71.95インチは12人、71.95～73.95インチは7人、73.95～75.95インチは1人である。すべての身長は各区間の端点の間にあり、端点そのものに一致するものはない。

Example 1.14例題 1.14

From Table 1.21, find the percentage of heights that are less than 65.95 inches.

表1.21から、身長が65.95インチ未満の人の百分率を求めよ。

Solution解き方

If you look at the first, second, and third rows, the heights are all less than 65.95 inches. There are 5 + 3 + 15 = 23 players whose heights are less than 65.95 inches. The percentage of heights less than 65.95 inches is then

\frac{23}{100}

or 23%. This percentage is the cumulative relative frequency entry in the third row.

1～3行目を見ると、身長はすべて65.95インチ未満である。該当する選手は5 + 3 + 15 = 23人いる。したがって割合は

\frac{23}{100}

、すなわち23%である。これは3行目の累積相対度数に当たる。

Try Itやってみよう

Table 1.22 shows the amount, in inches, of annual rainfall in a sample of towns.

表1.22は、町の標本について、年間降水量をインチ単位で示している。

Table 1.22表 1.22
Rainfall (Inches) 降水量（インチ）	Frequency 度数	Relative Frequency 相対度数	Cumulative Relative Frequency 累積相対度数
2.95–4.97	6	$\frac{6}{50}$ = 0.12	0.12
4.97–6.99	7	$\frac{7}{50}$ = 0.14	0.12 + 0.14 = 0.26
6.99–9.01	15	$\frac{15}{50}$ = 0.30	0.26 + 0.30 = 0.56
9.01–11.03	8	$\frac{8}{50}$ = 0.16	0.56 + 0.16 = 0.72
11.03–13.05	9	$\frac{9}{50}$ = 0.18	0.72 + 0.18 = 0.90
13.05–15.07	5	$\frac{5}{50}$ = 0.10	0.90 + 0.10 = 1.00
	Total = 50 合計 = 50	Total = 1.00 合計 = 1.00

From Table 1.22, find the percentage of rainfall that is less than 9.01 inches.

表1.22から、降水量が9.01インチ未満の町の百分率を求めよ。

Example 1.15例題 1.15

From Table 1.21, find the percentage of heights that fall between 61.95 and 65.95 inches.

表1.21から、身長が61.95～65.95インチの人の百分率を求めよ。

Solution解き方

Add the relative frequencies in the second and third rows: 0.03 + 0.15 = 0.18 or 18%.

2行目と3行目の相対度数を足す。0.03 + 0.15 = 0.18、すなわち18%である。

Example 1.16例題 1.16

Use the heights of the 100 semiprofessional soccer players in Table 1.21. Fill in the blanks and check your answers.

表1.21のセミプロのサッカー選手100人の身長を使う。空欄を埋め、答えを確認せよ。

The percentage of heights that are from 67.95 to 71.95 inches is: ____.
身長が67.95～71.95インチの人の百分率は、____である。
The percentage of heights that are from 67.95 to 73.95 inches is: ____.
身長が67.95～73.95インチの人の百分率は、____である。
The percentage of heights that are more than 65.95 inches is: ____.
身長が65.95インチを超える人の百分率は、____である。
The number of players in the sample who are between 61.95 and 71.95 inches tall is: ____.
標本のうち、身長が61.95～71.95インチの選手は、____人である。
What kind of data are the heights?
身長はどの種類のデータか。
Describe how you could gather this data (the heights) so that the data are characteristic of all semiprofessional soccer players.
セミプロのサッカー選手全体の特徴を表すように、身長のデータを集めるにはどうすればよいか説明せよ。

Remember, you count frequencies. To find the relative frequency, divide the frequency by the total number of data values. To find the cumulative relative frequency, add all of the previous relative frequencies to the relative frequency for the current row.

度数は数えて求めることを思い出そう。相対度数は、度数をデータの総数で割って求める。累積相対度数は、その行の相対度数に、それより前の相対度数をすべて加えて求める。

Solution解き方

29%
36%
77%
87
quantitative continuous
量的連続
get rosters from each team and choose a simple random sample from each
各チームの名簿を入手し、それぞれから単純無作為標本を選ぶ。

Collaborative Exercise共同演習

In your class, have someone conduct a survey of the number of siblings each student has. Create a frequency table. Add to it a relative frequency column and a cumulative relative frequency column. Answer the following questions:

英語のヒント

クラスの誰かに、各学生のきょうだいの人数を調べてもらう。度数表を作り、相対度数と累積相対度数の列も加える。次の問いに答えよ。

What percentage of the students in your class have no siblings?
クラスの学生のうち、きょうだいがいない人は何%か。
What percentage of the students have from one to three siblings?
きょうだいが1～3人いる学生は何%か。
What percentage of the students have fewer than three siblings?
きょうだいが3人未満の学生は何%か。

Example 1.17例題 1.17

Nineteen people were asked how many miles, to the nearest mile, they commute to work each day. The data are as follows:

19人に、毎日の通勤距離を最も近い整数のマイル数で答えてもらった。データは次のとおりである。

. Table 1.23 was produced:

表1.23が作られた。

Frequency of Commuting Distances通勤距離の度数

Table 1.23表 1.23
DATA データ	FREQUENCY 度数	RELATIVE FREQUENCY 相対度数	CUMULATIVE RELATIVE FREQUENCY 累積相対度数
2	2	$\frac{2}{19}$	$\frac{2}{19}$
3	1	$\frac{1}{19}$	$\frac{3}{19}$
4	1	$\frac{1}{19}$	$\frac{4}{19}$
5	3	$\frac{3}{19}$	$\frac{7}{19}$
7	2	$\frac{2}{19}$	$\frac{9}{19}$
10	3	$\frac{3}{19}$	$\frac{12}{19}$
12	2	$\frac{2}{19}$	$\frac{14}{19}$
13	1	$\frac{1}{19}$	$\frac{15}{19}$
15	1	$\frac{1}{19}$	$\frac{16}{19}$
18	1	$\frac{1}{19}$	$\frac{17}{19}$
20	1	$\frac{1}{19}$	$\frac{19}{19}$

Is the table correct? If it is not correct, what is wrong?
この表は正しいか。正しくなければ、何が誤っているか。
True or False: Three percent of the people surveyed commute three miles or less. If the statement is not correct, what should it be? If the table is incorrect, make the corrections.
正誤を答えよ。「調査した人の3%は、通勤距離が3マイル以下である。」誤りなら、正しくはどうなるか。表が誤っていれば修正せよ。
What fraction of the people surveyed commute five or seven miles?
通勤距離が5マイルまたは7マイルの人の割合を、分数で表すといくつか。
What fraction of the people surveyed commute 12 miles or more? Less than 12 miles? Between five and 13 miles (not including five and 13 miles)? The cumulative relative frequency column should read: $\frac{2}{19}, \frac{3}{19}, \frac{4}{19}, \frac{7}{19}, \frac{9}{19}, \frac{12}{19}, \frac{14}{19}, \frac{15}{19}, \frac{16}{19}, \frac{18}{19}, \frac{19}{19}$
通勤距離が12マイル以上の人の割合を、分数で表すといくつか。12マイル未満ではどうか。5マイルと13マイルの間（両端を含まない）ではどうか。累積相対度数の列は、次のようになるべきである。 $\frac{2}{19}, \frac{3}{19}, \frac{4}{19}, \frac{7}{19}, \frac{9}{19}, \frac{12}{19}, \frac{14}{19}, \frac{15}{19}, \frac{16}{19}, \frac{18}{19}, \frac{19}{19}$

Solution解き方

No. The frequency column sums to 18, not 19. Not all cumulative relative frequencies are correct.
正しくない。度数の列の合計が19ではなく18になっている。累積相対度数も、すべてが正しいわけではない。
False. The frequency for three miles is one; for two miles, two.
誤り。3マイルの度数は1で、2マイルの度数は2である。
$\frac{5}{19}$
$\frac{7}{19}$ , $\frac{12}{19}$ , $\frac{7}{19}$

Example 1.18例題 1.18

Table 1.24 contains data for the number of years of service for 70 federal employees.

表1.24は、連邦職員70人の勤続年数を示す。

Table 1.24表 1.24
Number of Years of Service 勤続年数	Number of Federal Employees 連邦職員数
24	2
25	1
26	3
27	0
28	4
29	6
30	11
31	12
32	7
33	8
34	6
35	10

Answer the following questions.

次の問いに答えよ。

What is the cumulative frequency for years of service between 30 and 35 (inclusive)?
勤続年数30年以上35年以下の累積度数はいくつか。
What is the relative frequency for 30 years of service?
勤続30年の相対度数はいくつか。
What is the relative frequency for 30 years of service or less?
勤続30年以下の相対度数はいくつか。
What is the relative frequency for 25 years of service or more?
勤続25年以上の相対度数はいくつか。

Solution解き方

Cumulative frequency is 54.
累積度数は54である。
11/70 or 0.157 or 15.7%
11/70、すなわち0.157、すなわち15.7%
27/70 or 0.386 or 38.6%
27/70、すなわち0.386、すなわち38.6%
68/70 or 0.971 or 97.1%
68/70、すなわち0.971、すなわち97.1%

Try Itやってみよう

Table 1.25 contains the total number of fatal motor vehicle traffic crashes in the United States for a period of 18 years.

表1.25は、米国の18年間の自動車死亡交通事故の総数を示す。

Table 1.25表 1.25
Year 年	Total Number of Crashes 事故総数	Year 年	Total Number of Crashes 事故総数
Year 1 第1年	36,254	Year 11 第11年	38,444
Year 2 第2年	37,241	Year 12 第12年	39,252
Year 3 第3年	37,494	Year 13 第13年	38,648
Year 4 第4年	37,324	Year 14 第14年	37,435
Year 5 第5年	37,107	Year 15 第15年	34,172
Year 6 第6年	37,140	Year 16 第16年	30,862
Year 7 第7年	37,526	Year 17 第17年	30,296
Year 8 第8年	37,862	Year 18 第18年	29,757
Year 9 第9年	38,491	Total 合計	653,782
Year 10 第10年	38,477

Answer the following questions.

次の問いに答えよ。

What is the frequency of deaths measured from Year 7 through Year 11?
第7年から第11年までに記録された死亡の度数はいくつか。
What percentage of deaths occurred after Year 13?
第13年より後に生じた死亡は何％か。
What is the relative frequency of deaths that occurred in Year 7 or before?
第7年以前に生じた死亡の相対度数はいくつか。
What is the percentage of deaths that occurred in Year 18?
第18年に生じた死亡の百分率はいくつか。
What is the cumulative relative frequency for Year 13? Explain what this number tells you about the data.
第13年の累積相対度数はいくつか。この数値がデータについて何を示すか説明せよ。