第10章多項式

10.6 Introduction to Factoring Polynomials10.6　多項式の因数分解への導入

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Find the greatest common factor of two or more expressions
2つ以上の式の最大公約因子を求める
Factor the greatest common factor from a polynomial
多項式から最大公約因子をくくり出す

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions2つ以上の式の最大公約因子を求める

Earlier we multiplied factors together to get a product. Now, we will be reversing this process; we will start with a product and then break it down into its factors. Splitting a product into factors is called factoring.

英語のヒント

これまでは、因数どうしを掛けて積を求めた。今度はその手順を逆にし、積から始めて因数に分けていく。積を因数に分けることを、因数分解という。

左に8×7＝56があり、8と7は「因数」、56は「積」と示される。右に2x（x＋3）＝2x²＋6xがあり、2xとx＋3は「因数」、2x²＋6xは「積」と示される。上の右向き矢印には赤で「掛ける」、下の左向き矢印には赤で「因数分解する」と書かれる。

In The Language of Algebra we factored numbers to find the least common multiple (LCM) of two or more numbers. Now we will factor expressions and find the greatest common factor of two or more expressions. The method we use is similar to what we used to find the LCM.

英語のヒント

「代数の言葉」では、2つ以上の数の最小公倍数（LCM）を求めるため、数を因数分解した。今度は式を因数分解し、2つ以上の式の最大公約因子を求める。使う方法は、最小公倍数を求めた方法と似ている。

First we will find the greatest common factor of two numbers.

まず、2つの数の最大公約数を求める。

Example 10.80例題 10.80

Find the greatest common factor of

24

and

36 .

24

と

36

の最大公約数を求める。

Solution解答

Step 1: Factor each coefficient into primes. Write all variables with exponents in expanded form. 手順1：各係数を素因数分解する。指数の付いた変数は、すべて繰り返しの積に書き直す。	Factor 24 and 36. 24と36を素因数分解する。
Step 2: List all factors--matching common factors in a column. 手順2：すべての因数を並べ、共通の因数を同じ列にそろえる。
In each column, circle the common factors. 各列で、共通の因数を丸で囲む。	Circle the 2, 2, and 3 that are shared by both numbers. 両方の数に共通する2、2、3を丸で囲む。
Step 3: Bring down the common factors that all expressions share. 手順3：すべての式に共通する因数を下に書き出す。	Bring down the 2, 2, 3 and then multiply. 2、2、3を下に書き出して掛ける。
Step 4: Multiply the factors. 手順4：因数どうしを掛ける。		The GCF of 24 and 36 is 12. 24と36の最大公約数は12である。

Notice that since the GCF is a factor of both numbers,

24

and

36

can be written as multiples of

12 .

最大公約数は両方の数の約数なので、

24

と

36

は

12

の倍数として書けることに注目しよう。

\begin{matrix} 24 = 12 \cdot 2 \\ 36 = 12 \cdot 3 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

In the previous example, we found the greatest common factor of constants. The greatest common factor of an algebraic expression can contain variables raised to powers along with coefficients. We summarize the steps we use to find the greatest common factor.

英語のヒント

前の例では、定数の最大公約数を求めた。代数式の最大公約因子には、係数に加えて、累乗された変数も含まれることがある。最大公約因子を求める手順をまとめよう。

Example 10.81例題 10.81

Find the greatest common factor of

5 x and 15 .

5 x と 15

の最大公約因子を求める。

Solution解答

Factor each number into primes. Circle the common factors in each column. Bring down the common factors. 各数を素因数分解する。各列で共通の因数を丸で囲み、下に書き出す。
	The GCF of 5x and 15 is 5. 5xと15の最大公約因子は5である。

Try It (2)確認問題（2題）

In the examples so far, the greatest common factor was a constant. In the next two examples we will get variables in the greatest common factor.

これまでの例では、最大公約因子は定数だった。次の2つの例では、最大公約因子に変数が含まれる。

Example 10.82例題 10.82

Find the greatest common factor of

12 x^{2}

and

18 x^{3} .

12 x^{2}

と

18 x^{3}

の最大公約因子を求める。

Solution解答

Factor each coefficient into primes and write the variables with exponents in expanded form. Circle the common factors in each column. Bring down the common factors. Multiply the factors. 各係数を素因数分解し、指数の付いた変数を繰り返しの積に書き直す。各列で共通の因数を丸で囲み、下に書き出して掛ける。
	$The GCF of 12 x^{2} and 18 x^{3} is 6 x^{2}$ $最大公約因子： 12 x^{2} と 18 x^{3} → 6 x^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.83例題 10.83

Find the greatest common factor of

14 x^{3}, 8 x^{2}, 10 x .

14 x^{3}, 8 x^{2}, 10 x

の最大公約因子を求める。

Solution解答

Factor each coefficient into primes and write the variables with exponents in expanded form. Circle the common factors in each column. Bring down the common factors. Multiply the factors. 各係数を素因数分解し、指数の付いた変数を繰り返しの積に書き直す。各列で共通の因数を丸で囲み、下に書き出して掛ける。
	$The GCF of 14 x^{3} and 8 x^{2}, and 10 x is 2 x$ $最大公約因子： 14 x^{3} と 8 x^{2} 、および 10 x → 2 x$

Try It (2)確認問題（2題）

Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial多項式から最大公約因子をくくり出す

Just like in arithmetic, where it is sometimes useful to represent a number in factored form (for example,

12

2 \cdot 6 or 3 \cdot 4),

in algebra it can be useful to represent a polynomial in factored form. One way to do this is by finding the greatest common factor of all the terms. Remember that you can multiply a polynomial by a monomial as follows:

算術で数を因数の積として表すと便利な場合があるのと同じように（たとえば、

12

を

2 \cdot 6 または 3 \cdot 4)

と表す）、代数でも多項式を因数の積で表すと便利なことがある。その方法の1つは、すべての項の最大公約因子を見つけることである。多項式に単項式を掛けるときは、次のように計算できることを思い出そう。

\begin{matrix} 2 (x & + & 7) factors \\ 2 \cdot x & + & 2 \cdot 7 \\ 2 x & + & 14 product \end{matrix}

\begin{matrix} 2 (x & + & 7) 因数 \\ 2 \cdot x & + & 2 \cdot 7 \\ 2 x & + & 14 積 \end{matrix}

Here, we will start with a product, like

2 x + 14,

and end with its factors,

2 (x + 7) .

To do this we apply the Distributive Property “in reverse”.

英語のヒント

ここでは、

2 x + 14

のような積から始め、

2 (x + 7)

という因数の積の形にする。そのために、分配法則を「逆向き」に使う。

The form on the left is used to multiply. The form on the right is used to factor.

左の形は掛け算に、右の形は因数分解に使う。

So how do we use the Distributive Property to factor a polynomial? We find the GCF of all the terms and write the polynomial as a product!

では、分配法則を使って多項式を因数分解するには、どうすればよいだろうか。すべての項の最大公約因子を見つけ、多項式を積として書けばよい。

Example 10.84例題 10.84

Factor:

2 x + 14 .

次の式を因数分解する：

2 x + 14

Solution解答

Step 1: Find the GCF of all the terms of the polynomial. 手順1：多項式のすべての項の最大公約因子を求める。	Find the GCF of 2x and 14. 2xと14の最大公約因子を求める。
Step 2: Rewrite each term as a product using the GCF. 手順2：最大公約因子を使った積として、各項を書き直す。	Rewrite 2x and 14 as products of their GCF, 2. $2 x = 2 \cdot x$ $14 = 2 \cdot 7$ 2xと14を、それらの最大公約因子2を使った積として書き直す。 $2 x = 2 \cdot x$ $14 = 2 \cdot 7$
Step 3: Use the Distributive Property 'in reverse' to factor the expression. 手順3：分配法則を「逆向き」に使って、式を因数分解する。		$2 (x + 7)$
Step 4: Check by multiplying the factors. 手順4：因数どうしを掛けて確かめる。		Check: 確認：

Try It (2)確認問題（2題）

Notice that in Example 10.84, we used the word factor as both a noun and a verb:

英語のヒント

例題10.84では、factorという語を名詞としても動詞としても使っていることに注目しよう。

\begin{matrix} Noun & 7 is a factor of 14 \\ Verb & factor 2 from 2 x + 14 \end{matrix}

\begin{matrix} 名詞 & 7 は次の数の因数である： 14 \\ 動詞 & くくり出す因数： 2 ；元の式： 2 x + 14 \end{matrix}

Example 10.85例題 10.85

Factor:

3 a + 3 .

次の式を因数分解する：

3 a + 3

Solution解答



Rewrite each term as a product using the GCF. 最大公約因子を使った積の形に、各項を書き直す。
Use the Distributive Property 'in reverse' to factor the GCF. 分配法則を「逆向き」に使って、最大公約因子をくくり出す。
Check by multiplying the factors to get the original polynomial. 因数どうしを掛け、元の多項式に戻るか確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

The expressions in the next example have several factors in common. Remember to write the GCF as the product of all the common factors.

次の例の式には、共通の因数がいくつもある。共通するすべての因数の積として最大公約因子を書くことを忘れないようにしよう。

Example 10.86例題 10.86

Factor:

12 x - 60 .

次の式を因数分解する：

12 x - 60

Solution解答



Rewrite each term as a product using the GCF. 最大公約因子を使った積の形に、各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check by multiplying the factors. 因数を掛けて確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Now we’ll factor the greatest common factor from a trinomial. We start by finding the GCF of all three terms.

次は、三項式から最大公約因子をくくり出す。まず、3つの項すべての最大公約因子を求める。

Example 10.87例題 10.87

Factor:

3 y^{2} + 6 y + 9 .

次の式を因数分解する：

3 y^{2} + 6 y + 9

Solution解答



Rewrite each term as a product using the GCF. 最大公約因子を使った積の形に、各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check by multiplying. 掛け算をして確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, we factor a variable from a binomial.

次の例では、二項式から変数をくくり出す。

Example 10.88例題 10.88

Factor:

6 x^{2} + 5 x .

次の式を因数分解する：

6 x^{2} + 5 x

Solution解答

	$6 x^{2} + 5 x$
Find the GCF of $6 x^{2}$ and $5 x$ and the math that goes with it. $6 x^{2}$ と $5 x$ の最大公約因子を求め、それに対応する計算を示す。
Rewrite each term as a product. 各項を積として書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。	$x (6 x + 5)$
Check by multiplying. 掛け算をして確かめる。
$x (6 x + 5)$ $x \cdot 6 x + x \cdot 5$ $6 x^{2} + 5 x ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

When there are several common factors, as we’ll see in the next two examples, good organization and neat work helps!

英語のヒント

次の2つの例のように、共通の因数がいくつもあるときは、整理して丁寧に書くことが役に立つ。

Example 10.89例題 10.89

Factor:

4 x^{3} - 20 x^{2} .

次の式を因数分解する：

4 x^{3} - 20 x^{2}

Solution解答



Rewrite each term. 各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.90例題 10.90

Factor:

21 y^{2} + 35 y .

次の式を因数分解する：

21 y^{2} + 35 y

Solution解答

Find the GCF of $21 y^{2}$ and $35 y$ $21 y^{2}$ と $35 y$ の最大公約因子を求める。

Rewrite each term. 各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.91例題 10.91

Factor:

14 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x .

次の式を因数分解する：

14 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x

Solution解答

Previously, we found the GCF of

14 x^{3}, 8 x^{2}, and 10 x

to be

2 x .

先ほど、

14 x^{3}, 8 x^{2}, と 10 x

の最大公約因子は

2 x

であると求めた。

	$14 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x$
Rewrite each term using the GCF, 2x. 最大公約因子2xを使って、各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。	$2 x (7 x^{2} + 4 x - 5)$

Try It (2)確認問題（2題）

When the leading coefficient, the coefficient of the first term, is negative, we factor the negative out as part of the GCF.

英語のヒント

先頭の項の係数である最高次係数が負のときは、負号も最大公約因子の一部としてくくり出す。

Example 10.92例題 10.92

Factor:

−9 y - 27 .

次の式を因数分解する：

−9 y - 27

Solution解答

When the leading coefficient is negative, the GCF will be negative. Ignoring the signs of the terms, we first find the GCF of 9y and 27 is 9. 最高次係数が負のときは、最大公約因子も負にする。まず各項の符号を無視すると、9yと27の最大公約因子は9である。
Since the expression −9y−27 has a negative leading coefficient, we use −9 as the GCF. 式−9y−27の最高次係数は負なので、最大公約因子として−9を使う。
	$- 9 y - 27$
Rewrite each term using the GCF. 最大公約因子を使って、各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。	$- 9 (y + 3)$

Try It (2)確認問題（2題）

Pay close attention to the signs of the terms in the next example.

次の例では、各項の符号によく注意しよう。

Example 10.93例題 10.93

Factor:

−4 a^{2} + 16 a .

次の式を因数分解する：

−4 a^{2} + 16 a

Solution解答

The leading coefficient is negative, so the GCF will be negative. 最高次係数が負なので、最大公約因子も負にする。

Since the leading coefficient is negative, the GCF is negative, −4a. 最高次係数が負なので、最大公約因子も負の−4aにする。
	$−4 a^{2} + 16 a$
Rewrite each term. 各項を書き直す。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。	$- 4 a (a - 4)$
Check on your own by multiplying. 各自で掛け算をして確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

第10章多項式

10.6 Introduction to Factoring Polynomials10.6 多項式の因数分解への導入

Learning Objectives学習目標

Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions2つ以上の式の最大公約因子を求める

Solution解答

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Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial多項式から最大公約因子をくくり出す

Solution解答

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10.6 Introduction to Factoring Polynomials10.6　多項式の因数分解への導入