第10章多項式

Divide Monomials単項式の除法

We have now seen all the properties of exponents. We'll use them to divide monomials. Later, you'll use them to divide polynomials.

これで指数の性質をすべて見てきた。これらを使って、単項式どうしを割る。後には、多項式の割り算にも使うことになる。

Example 10.58例題 10.58

Find the quotient:

56 x^{5} \div 7 x^{2} .

商を求める：

56 x^{5} \div 7 x^{2}

Solution解答

	$56 x^{5} \div 7 x^{2}$
Rewrite as a fraction. 分数として書き直す。	$\frac{56 x^{5}}{7 x^{2}}$
Use fraction multiplication to separate the number part from the variable part. 分数の掛け算の形を使って、数の部分と変数の部分を分ける。	$\frac{56}{7} \cdot \frac{x^{5}}{x^{2}}$
Use the Quotient Property. 同じ底の累乗の商の性質を使う。	$8 x^{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

When we divide monomials with more than one variable, we write one fraction for each variable.

変数を2種類以上含む単項式どうしを割るときは、変数ごとに1つの分数を書く。

Example 10.59例題 10.59

Find the quotient:

\frac{42 x^{2} y^{3}}{−7 x y^{5}} .

商を求める：

\frac{42 x^{2} y^{3}}{−7 x y^{5}}

Solution解答

	$\frac{42 x^{2} y^{3}}{−7 x y^{5}}$
Use fraction multiplication. 分数の掛け算の形を使う。	$\frac{42}{−7} \cdot \frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{3}}{y^{5}}$
Simplify and use the Quotient Property. 式を簡単にし、同じ底の累乗の商の性質を使う。	$−6 \cdot x \cdot \frac{1}{y^{2}}$
Multiply. 掛ける。	$- \frac{6 x}{y^{2}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.60例題 10.60

Find the quotient:

\frac{24 a^{5} b^{3}}{48 a b^{4}} .

商を求める：

\frac{24 a^{5} b^{3}}{48 a b^{4}}

Solution解答

	$\frac{24 a^{5} b^{3}}{48 a b^{4}}$
Use fraction multiplication. 分数の掛け算の形を使う。	$\frac{24}{48} \cdot \frac{a^{5}}{a} \cdot \frac{b^{3}}{b^{4}}$
Simplify and use the Quotient Property. 式を簡単にし、同じ底の累乗の商の性質を使う。	$\frac{1}{2} \cdot a^{4} \cdot \frac{1}{b}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{a^{4}}{2 b}$

Try It (2)確認問題（2題）

Once you become familiar with the process and have practiced it step by step several times, you may be able to simplify a fraction in one step.

英語のヒント

手順に慣れ、段階を追って何回か練習すれば、分数を1つの手順で簡単にできるようになるだろう。

Example 10.61例題 10.61

Find the quotient:

\frac{14 x^{7} y^{12}}{21 x^{11} y^{6}} .

商を求める：

\frac{14 x^{7} y^{12}}{21 x^{11} y^{6}}

Solution解答

	$\frac{14 x^{7} y^{12}}{21 x^{11} y^{6}}$
Simplify and use the Quotient Property. 式を簡単にし、同じ底の累乗の商の性質を使う。	$\frac{2 y^{6}}{3 x^{4}}$

Be very careful to simplify

\frac{14}{21}

by dividing out a common factor, and to simplify the variables by subtracting their exponents.

\frac{14}{21}

は共通の因数で割って簡単にし、変数の部分は指数を引いて簡単にすることに、十分注意しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

In all examples so far, there was no work to do in the numerator or denominator before simplifying the fraction. In the next example, we'll first find the product of two monomials in the numerator before we simplify the fraction.

これまでの例では、分数を簡単にする前に分子や分母で行う計算はなかった。次の例では、まず分子の2つの単項式の積を求めてから、分数を簡単にする。

Example 10.62例題 10.62

Find the quotient:

\frac{(3 x^{3} y^{2}) (10 x^{2} y^{3})}{6 x^{4} y^{5}} .

商を求める：

\frac{(3 x^{3} y^{2}) (10 x^{2} y^{3})}{6 x^{4} y^{5}}

Solution解答

Remember, the fraction bar is a grouping symbol. We will simplify the numerator first.

分数線はまとまりを示す記号でもあることを思い出そう。まず分子を簡単にする。

	$\frac{(3 x^{3} y^{2}) (10 x^{2} y^{3})}{6 x^{4} y^{5}}$
Simplify the numerator. 分子を簡単にする。	$\frac{30 x^{5} y^{5}}{6 x^{4} y^{5}}$
Simplify, using the Quotient Rule. 同じ底の累乗の商の性質を使って、式を簡単にする。	$5 x$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Equivalent Fractions Property
等しい分数の性質
- If $a, b, c$ are whole numbers where $b \neq 0, c \neq 0,$ then
  $a, b, c$ が非負整数で、 $b \neq 0, c \neq 0$ なら、次が成り立つ。
  
  $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} and \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$
  $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} と \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$
Zero Exponent
指数が0の場合
- If $a$ is a non-zero number, then $a^{0} = 1 .$
  $a$ が0でない数なら、 $a^{0} = 1$ が成り立つ。
- Any nonzero number raised to the zero power is $1 .$
  0でない数を0乗すると、 $1$ になる。
Quotient Property for Exponents
同じ底の累乗の商の性質
- If $a$ is a real number, $a \neq 0,$ and $m, n$ are whole numbers, then
  $a$ が実数で、 $a \neq 0$ であり、 $m, n$ が非負整数なら、次が成り立つ。
  
  $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, m > n and \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}, n > m$
  $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, m > n と \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}, n > m$
Quotient to a Power Property for Exponents
商の累乗の性質
- If $a$ and $b$ are real numbers, $b \neq 0,$ and $m$ is a counting number, then
  $a$ と $b$ が実数で、 $b \neq 0$ であり、 $m$ が1以上の整数なら、次が成り立つ。
  
  ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$
- To raise a fraction to a power, raise the numerator and denominator to that power.
  分数を累乗するには、分子と分母をそれぞれその指数で累乗する。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 219–230練習問題 219–230

Simplify Expressions Using the Quotient Property of Exponents

同じ底の累乗の商の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 219問題 219

\frac{4^{8}}{4^{2}}

Solution解き方

4⁶

Exercise 220問題 220

\frac{3^{12}}{3^{4}}

Exercise 221問題 221

\frac{x^{12}}{x^{3}}

Solution解き方

x⁹

Exercise 222問題 222

\frac{u^{9}}{u^{3}}

Exercise 223問題 223

\frac{r^{5}}{r}

Solution解き方

r⁴

Exercise 224問題 224

\frac{y^{4}}{y}

Exercise 225問題 225

\frac{y^{4}}{y^{20}}

Solution解き方

\frac{1}{y^{16}}

Exercise 226問題 226

\frac{x^{10}}{x^{30}}

Exercise 227問題 227

\frac{10^{3}}{10^{15}}

Solution解き方

\frac{1}{10^{12}}

Exercise 228問題 228

\frac{r^{2}}{r^{8}}

Exercise 229問題 229

\frac{a}{a^{9}}

Solution解き方

\frac{1}{a^{8}}

Exercise 230問題 230

\frac{2}{2^{5}}

Exercises 231–244練習問題 231–244

Simplify Expressions with Zero Exponents

指数が0の式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 231問題 231

5^{0}

Solution解き方

Exercise 232問題 232

10^{0}

Exercise 233問題 233

a^{0}

Solution解き方

Exercise 234問題 234

x^{0}

Exercise 235問題 235

- 7^{0}

Solution解き方

−1

Exercise 236問題 236

- 4^{0}

Exercise 237問題 237

ⓐ ${(10 p)}^{0}$
ⓑ $10 p^{0}$

Solution解き方

ⓐ 1
ⓑ 10

Exercise 238問題 238

ⓐ ${(3 a)}^{0}$
ⓑ $3 a^{0}$

Exercise 239問題 239

ⓐ ${(−27 x^{5} y)}^{0}$
ⓑ $−27 x^{5} y^{0}$

Solution解き方

ⓐ 1
ⓑ −27x⁵

Exercise 240問題 240

ⓐ ${(−92 y^{8} z)}^{0}$
ⓑ $−92 y^{8} z^{0}$

Exercise 241問題 241

ⓐ $15^{0}$
ⓑ $15^{1}$

Solution解き方

ⓐ 1
ⓑ 15

Exercise 242問題 242

ⓐ $- 6^{0}$
ⓑ $- 6^{1}$

Exercise 243問題 243

2 \cdot x^{0} + 5 \cdot y^{0}

Solution解き方

Exercise 244問題 244

8 \cdot m^{0} - 4 \cdot n^{0}

Exercises 245–252練習問題 245–252

Simplify Expressions Using the Quotient to a Power Property

商の累乗の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 245問題 245

{(\frac{3}{2})}^{5}

Solution解き方

\frac{243}{32}

Exercise 246問題 246

{(\frac{4}{5})}^{3}

Exercise 247問題 247

{(\frac{m}{6})}^{3}

Solution解き方

\frac{m^{3}}{216}

Exercise 248問題 248

{(\frac{p}{2})}^{5}

Exercise 249問題 249

{(\frac{x}{y})}^{10}

Solution解き方

\frac{x^{10}}{y^{10}}

Exercise 250問題 250

{(\frac{a}{b})}^{8}

Exercise 251問題 251

{(\frac{a}{3 b})}^{2}

Solution解き方

\frac{a^{2}}{9 b^{2}}

Exercise 252問題 252

{(\frac{2 x}{y})}^{4}

Exercises 253–276練習問題 253–276

Simplify Expressions by Applying Several Properties

複数の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 253問題 253

\frac{{(x^{2})}^{4}}{x^{5}}

Solution解き方

x³

Exercise 254問題 254

\frac{{(y^{4})}^{3}}{y^{7}}

Exercise 255問題 255

\frac{{(u^{3})}^{4}}{u^{10}}

Solution解き方

u²

Exercise 256問題 256

\frac{{(y^{2})}^{5}}{y^{6}}

Exercise 257問題 257

\frac{y^{8}}{{(y^{5})}^{2}}

Solution解き方

\frac{1}{y^{2}}

Exercise 258問題 258

\frac{p^{11}}{{(p^{5})}^{3}}

Exercise 259問題 259

\frac{r^{5}}{r^{4} \cdot r}

Solution解き方

Exercise 260問題 260

\frac{a^{3} \cdot a^{4}}{a^{7}}

Exercise 261問題 261

{(\frac{x^{2}}{x^{8}})}^{3}

Solution解き方

\frac{1}{x^{18}}

Exercise 262問題 262

{(\frac{u}{u^{10}})}^{2}

Exercise 263問題 263

{(\frac{a^{4} \cdot a^{6}}{a^{3}})}^{2}

Solution解き方

a¹⁴

Exercise 264問題 264

{(\frac{x^{3} \cdot x^{8}}{x^{4}})}^{3}

Exercise 265問題 265

\frac{{(y^{3})}^{5}}{{(y^{4})}^{3}}

Solution解き方

y³

Exercise 266問題 266

\frac{{(z^{6})}^{2}}{{(z^{2})}^{4}}

Exercise 267問題 267

\frac{{(x^{3})}^{6}}{{(x^{4})}^{7}}

Solution解き方

\frac{1}{x^{10}}

Exercise 268問題 268

\frac{{(x^{4})}^{8}}{{(x^{5})}^{7}}

Exercise 269問題 269

{(\frac{2 r^{3}}{5 s})}^{4}

Solution解き方

\frac{16 r^{12}}{625 s^{4}}

Exercise 270問題 270

{(\frac{3 m^{2}}{4 n})}^{3}

Exercise 271問題 271

{(\frac{3 y^{2} \cdot y^{5}}{y^{15} \cdot y^{8}})}^{0}

Solution解き方

Exercise 272問題 272

{(\frac{15 z^{4} \cdot z^{9}}{0.3 z^{2}})}^{0}

Exercise 273問題 273

\frac{{(r^{2})}^{5} {(r^{4})}^{2}}{{(r^{3})}^{7}}

Solution解き方

\frac{1}{r^{3}}

Exercise 274問題 274

\frac{{(p^{4})}^{2} {(p^{3})}^{5}}{{(p^{2})}^{9}}

Exercise 275問題 275

\frac{{(3 x^{4})}^{3} {(2 x^{3})}^{2}}{{(6 x^{5})}^{2}}

Solution解き方

3x⁸

Exercise 276問題 276

\frac{{(−2 y^{3})}^{4} {(3 y^{4})}^{2}}{{(−6 y^{3})}^{2}}

Exercises 277–295練習問題 277–295

Divide Monomials

単項式の除法

In the following exercises, divide the monomials.

次の練習問題では、単項式どうしを割る。

Exercise 277問題 277

48 b^{8} \div 6 b^{2}

Solution解き方

8b⁶

Exercise 278問題 278

42 a^{14} \div 6 a^{2}

Exercise 279問題 279

36 x^{3} \div (−2 x^{9})

Solution解き方

\frac{−18}{x^{6}}

Exercise 280問題 280

20 u^{8} \div (−4 u^{6})

Exercise 281問題 281

\frac{18 x^{3}}{9 x^{2}}

Solution解き方

Exercise 282問題 282

\frac{36 y^{9}}{4 y^{7}}

Exercise 283問題 283

\frac{−35 x^{7}}{−42 x^{13}}

Solution解き方

\frac{5}{6 x^{6}}

Exercise 284問題 284

\frac{18 x^{5}}{−27 x^{9}}

Exercise 285問題 285

\frac{18 r^{5} s}{3 r^{3} s^{9}}

Solution解き方

\frac{6 r^{2}}{s^{8}}

Exercise 286問題 286

\frac{24 p^{7} q}{6 p^{2} q^{5}}

Exercise 287問題 287

\frac{8 m n^{10}}{64 m n^{4}}

Solution解き方

\frac{n^{6}}{8}

Exercise 288問題 288

\frac{10 a^{4} b}{50 a^{2} b^{6}}

Exercise 289問題 289

\frac{−12 x^{4} y^{9}}{15 x^{6} y^{3}}

Solution解き方

- \frac{4 y^{6}}{5 x^{2}}

Exercise 290問題 290

\frac{48 x^{11} y^{9} z^{3}}{36 x^{6} y^{8} z^{5}}

Exercise 291問題 291

\frac{64 x^{5} y^{9} z^{7}}{48 x^{7} y^{12} z^{6}}

Solution解き方

\frac{4 z}{3 x^{2} y^{3}}

Exercise 292問題 292

\frac{(10 u^{2} v) (4 u^{3} v^{6})}{5 u^{9} v^{2}}

Exercise 293問題 293

\frac{(6 m^{2} n) (5 m^{4} n^{3})}{3 m^{10} n^{2}}

Solution解き方

\frac{10 n^{2}}{m^{4}}

Exercise 294問題 294

\frac{(6 a^{4} b^{3}) (4 a b^{5})}{(12 a^{8} b) (a^{3} b)}

Exercise 295問題 295

\frac{(4 u^{5} v^{4}) (15 u^{8} v)}{(12 u^{3} v) (u^{6} v)}

Solution解き方

5u⁴v³

Mixed Practice総合練習

Exercises 296–309練習問題 296–309

Exercise 296問題 296

ⓐ $24 a^{5} + 2 a^{5}$
ⓑ $24 a^{5} - 2 a^{5}$
ⓓ $24 a^{5} \div 2 a^{5}$

Exercise 297問題 297

ⓐ $15 n^{10} + 3 n^{10}$
ⓑ $15 n^{10} - 3 n^{10}$
ⓓ $15 n^{10} \div 3 n^{10}$

Solution解き方

ⓐ $18 n^{10}$
ⓑ $12 n^{10}$
ⓒ $45 n^{20}$
ⓓ $5$

Exercise 298問題 298

ⓐ $p^{4} \cdot p^{6}$
ⓑ ${(p^{4})}^{6}$

Exercise 299問題 299

ⓐ $q^{5} \cdot q^{3}$
ⓑ ${(q^{5})}^{3}$

Solution解き方

ⓐ $q^{8}$
ⓑ $q^{15}$

Exercise 300問題 300

ⓐ $\frac{y^{3}}{y}$
ⓑ $\frac{y}{y^{3}}$

Exercise 301問題 301

ⓐ $\frac{z^{6}}{z^{5}}$
ⓑ $\frac{z^{5}}{z^{6}}$

Solution解き方

ⓐ $z$
ⓑ $\frac{1}{z}$

Exercise 302問題 302

(8 x^{5}) (9 x) \div 6 x^{3}

Exercise 303問題 303

(4 y) (12 y^{7}) \div 8 y^{2}

Solution解き方

6 y^{6}

Exercise 304問題 304

\frac{27 a^{7}}{3 a^{3}} + \frac{54 a^{9}}{9 a^{5}}

Exercise 305問題 305

\frac{32 c^{11}}{4 c^{5}} + \frac{42 c^{9}}{6 c^{3}}

Solution解き方

15 c^{6}

Exercise 306問題 306

\frac{32 y^{5}}{8 y^{2}} - \frac{60 y^{10}}{5 y^{7}}

Exercise 307問題 307

\frac{48 x^{6}}{6 x^{4}} - \frac{35 x^{9}}{7 x^{7}}

Solution解き方

3 x^{2}

Exercise 308問題 308

\frac{63 r^{6} s^{3}}{9 r^{4} s^{2}} - \frac{72 r^{2} s^{2}}{6 s}

Exercise 309問題 309

\frac{56 y^{4} z^{5}}{7 y^{3} z^{3}} - \frac{45 y^{2} z^{2}}{5 y}

Solution解き方

- y z^{2}