第10章多項式

10.4 Divide Monomials10.4　単項式の除法

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify expressions using the Quotient Property of Exponents
同じ底の累乗の商の性質を使って式を簡単にする
Simplify expressions with zero exponents
指数が0の式を簡単にする
Simplify expressions using the Quotient to a Power Property
商の累乗の性質を使って式を簡単にする
Simplify expressions by applying several properties
複数の性質を使って式を簡単にする
Divide monomials
単項式の除法

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Simplify Expressions Using the Quotient Property of Exponents同じ底の累乗の商の性質を使って式を簡単にする

Earlier in this chapter, we developed the properties of exponents for multiplication. We summarize these properties here.

この章の前半で、指数の乗法に関する性質を導いた。ここにまとめておこう。

Now we will look at the exponent properties for division. A quick memory refresher may help before we get started. In Fractions you learned that fractions may be simplified by dividing out common factors from the numerator and denominator using the Equivalent Fractions Property. This property will also help us work with algebraic fractions—which are also quotients.

英語のヒント

次に、指数の除法に関する性質を見る。始める前に、少し記憶を呼び戻そう。「分数」では、等しい分数の性質を使い、分子と分母を共通の因数で割って分数を簡単にできると学んだ。この性質は、商でもある分数式を扱うときにも役立つ。

As before, we'll try to discover a property by looking at some examples.

これまでと同じように、いくつかの例から性質を見つけよう。

\begin{matrix} Consider & \frac{x^{5}}{x^{2}} & and & \frac{x^{2}}{x^{3}} \\ What do they mean? & \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x} & \frac{x \cdot x}{x \cdot x \cdot x} \\ Use the Equivalent Fractions Property. & \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x \cdot 1} & \frac{x \cdot x \cdot 1}{x \cdot x \cdot x} \\ Simplify. & x^{3} & \frac{1}{x} \end{matrix}

\begin{matrix} 次の式を考える： & \frac{x^{5}}{x^{2}} & と & \frac{x^{2}}{x^{3}} \\ 何を意味するか。 & \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x} & \frac{x \cdot x}{x \cdot x \cdot x} \\ 等しい分数の性質を使う。 & \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x \cdot 1} & \frac{x \cdot x \cdot 1}{x \cdot x \cdot x} \\ 簡単にする。 & x^{3} & \frac{1}{x} \end{matrix}

Notice that in each case the bases were the same and we subtracted the exponents.

どの場合も底は同じで、指数を引いていることに注目しよう。

When the larger exponent was in the numerator, we were left with factors in the numerator and $1$ in the denominator, which we simplified.
大きい指数が分子にあるときは、分子に因数が残り、分母は $1$ になるので、さらに簡単にした。
When the larger exponent was in the denominator, we were left with factors in the denominator, and $1$ in the numerator, which could not be simplified.
大きい指数が分母にあるときは、分母に因数が残り、分子は $1$ になるので、それ以上は簡単にできなかった。

We write:

次のように書く：

\begin{matrix} \frac{x^{5}}{x^{2}} & \frac{x^{2}}{x^{3}} \\ x^{5 - 2} & \frac{1}{x^{3 - 2}} \\ x^{3} & \frac{1}{x} \end{matrix}

A couple of examples with numbers may help to verify this property.

数を使った例を2つほど見ると、この性質を確かめやすい。

\begin{matrix} \frac{3^{4}}{3^{2}} \overset{?}{=} 3^{4 - 2} & \frac{5^{2}}{5^{3}} \overset{?}{=} \frac{1}{5^{3 - 2}} \\ \frac{81}{9} \overset{?}{=} 3^{2} & \frac{25}{125} \overset{?}{=} \frac{1}{5^{1}} \\ 9 = 9 ✓ & \frac{1}{5} = \frac{1}{5} ✓ \end{matrix}

When we work with numbers and the exponent is less than or equal to

3,

we will apply the exponent. When the exponent is greater than

3

, we leave the answer in exponential form.

数を扱う場合、指数が

3

以下なら累乗を計算する。指数が

3

より大きいときは、答えを指数表記のままにする。

Example 10.45例題 10.45

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $\frac{x^{10}}{x^{8}}$
ⓑ $\frac{2^{9}}{2^{2}}$

Solution解答

To simplify an expression with a quotient, we need to first compare the exponents in the numerator and denominator.

商を含む式を簡単にするには、まず分子と分母の指数を比べる必要がある。

ⓐ
Since 10 > 8, there are more factors of $x$ in the numerator. 10＞8なので、 $x$ という因数は分子の方が多い。	$\frac{x^{10}}{x^{8}}$
Use the quotient property with $m > n, \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ . 同じ底の累乗の商の性質 $m > n, \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$x^{2}$

ⓑ
Since 9 > 2, there are more factors of 2 in the numerator. 9＞2なので、2という因数は分子の方が多い。	$\frac{2^{9}}{2^{2}}$
Use the quotient property with $m > n, \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} .$ $m > n, \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ について、同じ底の累乗の商の性質を使う。
Simplify. 簡単にする。	$2^{7}$

Notice that when the larger exponent is in the numerator, we are left with factors in the numerator.

大きい指数が分子にあるとき、因数は分子に残ることに注目しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.46例題 10.46

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $\frac{b^{10}}{b^{15}}$
ⓑ $\frac{3^{3}}{3^{5}}$

Solution解答

To simplify an expression with a quotient, we need to first compare the exponents in the numerator and denominator.

商を含む式を簡単にするには、まず分子と分母の指数を比べる必要がある。

ⓐ
Since 15 > 10, there are more factors of $b$ in the denominator. 15＞10なので、 $b$ という因数は分母の方が多い。	$\frac{b^{10}}{b^{15}}$
Use the quotient property with $n > m, \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}} .$ $n > m, \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ について、同じ底の累乗の商の性質を使う。
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{b^{5}}$

ⓑ
Since 5 > 3, there are more factors of 3 in the denominator. 5＞3なので、3という因数は分母の方が多い。	$\frac{3^{3}}{3^{5}}$
Use the quotient property with $n > m, \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}} .$ $n > m, \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ について、同じ底の累乗の商の性質を使う。
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{3^{2}}$
Apply the exponent. 累乗を計算する。	$\frac{1}{9}$

Notice that when the larger exponent is in the denominator, we are left with factors in the denominator and

1

in the numerator.

大きい指数が分母にあるときは、分母に因数が残り、分子は

1

になることに注目しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.47例題 10.47

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $\frac{a^{5}}{a^{9}}$
ⓑ $\frac{x^{11}}{x^{7}}$

Solution解答

ⓐ
Since 9 > 5, there are more $a$ 's in the denominator and so we will end up with factors in the denominator. 9＞5なので、 $a$ という因数は分母の方が多い。そのため、因数は分母に残る。	$\frac{a^{5}}{a^{9}}$
Use the Quotient Property for $n > m, \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}} .$ 同じ底の累乗の商の性質 $n > m, \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{a^{4}}$

ⓑ
Notice there are more factors of $x$ in the numerator, since 11 > 7. So we will end up with factors in the numerator. 11＞7なので、 $x$ という因数は分子の方が多い。そのため、因数は分子に残る。	$\frac{x^{11}}{x^{7}}$
Use the Quotient Property for $m > n, \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{n - m} .$ 同じ底の累乗の商の性質 $m > n, \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{n - m}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$x^{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

第10章多項式

10.4 Divide Monomials10.4 単項式の除法

Learning Objectives学習目標

Simplify Expressions Using the Quotient Property of Exponents同じ底の累乗の商の性質を使って式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

10.4 Divide Monomials10.4　単項式の除法