第10章多項式

Convert Scientific Notation to Decimal Form科学的記数法から通常の小数表記に直す

How can we convert from scientific notation to decimal form? Let’s look at two numbers written in scientific notation and see.

科学的記数法から通常の小数表記へは、どう直せるだろうか。科学的記数法で書かれた2つの数を見て確かめよう。

\begin{matrix} 9.12 \times 10^{4} & 9.12 \times 10^{−4} \\ 9.12 \times 10,000 & 9.12 \times 0.0001 \\ 91,200 & 0.000912 \end{matrix}

If we look at the location of the decimal point, we can see an easy method to convert a number from scientific notation to decimal form.

小数点の位置を見ると、科学的記数法から通常の小数表記へ簡単に直す方法が分かる。

左は9.12×10⁴＝91,200。その下は9.12の後に2つの空所があり、小数点から2つ目の空所の後へ矢印が引かれ、×10⁴＝91,200と続く。右は9.12×10⁻⁴＝0.000912。その下は3つの空所の後に9.12があり、小数点から最初の空所の後へ矢印が引かれ、×10⁻⁴＝0.000912と続く。

In both cases the decimal point moved 4 places. When the exponent was positive, the decimal moved to the right. When the exponent was negative, the decimal point moved to the left.

どちらの場合も、小数点は4桁動いた。指数が正のときは右へ、負のときは左へ動いた。

Example 10.76例題 10.76

Convert to decimal form:

6.2 \times 10^{3} .

通常の小数表記に直す：

6.2 \times 10^{3}

Solution解答

Step 1: Determine the exponent, $n$ , on the factor 10. 手順1：10に付いている指数 $n$ を確かめる。	$6.2 \times 10^{3}$
Step 2: Move the decimal point $n$ places, adding zeros if needed. 手順2：必要なら0を補い、小数点を $n$ 桁動かす。
If the exponent is positive, move the decimal point $n$ places to the right. 指数が正なら、小数点を右へ $n$ 桁動かす。 If the exponent is negative, move the decimal point $\| n \|$ places to the left. 指数が負なら、小数点を左へ $\| n \|$ 桁動かす。	6,200
Step 3: Check to see if your answer makes sense. 手順3：答えが妥当かどうか確かめる。
$10^{3}$ is 1000 and 1000 times 6.2 will be 6,200. $10^{3}$ は1000であり、1000に6.2を掛けると6,200になる。	$6.2 \times 10^{3} = 6,200$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.77例題 10.77

Convert to decimal form:

8.9 \times 10^{−2} .

通常の小数表記に直す：

8.9 \times 10^{−2}

Solution解答

	$8.9 \times 10^{−2}$
Determine the exponent $n$ , on the factor 10. 10に付いている指数 $n$ を確かめる。	The exponent is −2. 指数は−2である。
Move the decimal point 2 places to the left. 小数点を左へ2桁動かす。
Add zeros as needed for placeholders. 英語のヒント位を保つため、必要に応じて0を補う。	0.089
	$8.9 \times 10^{−2} = 0.089$
The Check is left to you. 確認は各自で行う。

Try It (2)確認問題（2題）

Multiply and Divide Using Scientific Notation科学的記数法を使って掛け算と割り算をする

We use the Properties of Exponents to multiply and divide numbers in scientific notation.

科学的記数法で表された数の掛け算と割り算には、指数の性質を使う。

Example 10.78例題 10.78

Multiply. Write answers in decimal form:

(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7}) .

掛け算をし、答えを通常の小数表記で書く：

(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7})

Solution解答

	$(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7})$
Use the Commutative Property to rearrange the factors. 交換法則を使って因数を並べ替える。	$4 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 10^{−7}$
Multiply 4 by 2 and use the Product Property to multiply $10^{5}$ by $10^{−7}$ . 4と2を掛け、同じ底の累乗の積の性質を使って $10^{5}$ と $10^{−7}$ を掛ける。	$8 \times 10^{−2}$
Change to decimal form by moving the decimal two places left. 小数点を左へ2桁動かし、通常の小数表記に直す。	$0.08$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.79例題 10.79

Divide. Write answers in decimal form:

\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}} .

割り算をし、答えを通常の小数表記で書く：

\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}}

Solution解答

	$\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}}$
Separate the factors. 因数を分ける。	$\frac{9}{3} \times \frac{10^{3}}{10^{−2}}$
Divide 9 by 3 and use the Quotient Property to divide $10^{3}$ by $10^{−2}$ . 9を3で割り、同じ底の累乗の商の性質を使って $10^{3}$ を $10^{−2}$ で割る。	$3 \times 10^{5}$
Change to decimal form by moving the decimal five places right. 小数点を右へ5桁動かし、通常の小数表記に直す。	$300,000$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Summary of Exponent Properties
指数に関する性質のまとめ
- If $a, b$ are real numbers and $m, n$ are integers, then
  $a, b$ が実数で、 $m, n$ が整数なら、次が成り立つ。
  
  $\begin{matrix} Product Property & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ Power Property & {(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} \\ Product to a Power Property & {(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} \\ Quotient Property & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0 \\ Zero Exponent Property & a^{0} = 1, a \neq 0 \\ Quotient to a Power Property & {(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0 \\ Definition of Negative Exponent & a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} \end{matrix}$
  $\begin{matrix} 同じ底の累乗の積の性質 & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ 累乗の累乗の性質 & {(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} \\ 積の累乗の性質 & {(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} \\ 同じ底の累乗の商の性質 & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0 \\ 指数が0の場合の性質 & a^{0} = 1, a \neq 0 \\ 商の累乗の性質 & {(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0 \\ 負の指数の定義 & a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} \end{matrix}$
Convert from Decimal Notation to Scientific Notation: To convert a decimal to scientific notation:
通常の小数表記から科学的記数法への変換：次の手順で行う。
1. Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10.
  最初の因数が1以上10未満になるように、小数点を動かす。
2. Count the number of decimal places, $n$ , that the decimal point was moved.
  小数点を動かした桁数 $n$ を数える。
3. Write the number as a product with a power of 10.
  10の累乗との積として数を表す。
  - If the original number is greater than 1, the power of 10 will be $10^{n}$ .
    元の数が1より大きければ、10の累乗は $10^{n}$ になる。
  - If the original number is between 0 and 1, the power of 10 will be $10^{- n}$ .
    元の数が0と1の間なら、10の累乗は $10^{- n}$ になる。
4. Check.
  確かめる。
Convert Scientific Notation to Decimal Form: To convert scientific notation to decimal form:
科学的記数法から通常の小数表記への変換：次の手順で行う。
1. Determine the exponent, $n$ , on the factor 10.
  10に付いている指数 $n$ を確かめる。
2. Move the decimal $n$ places, adding zeros if needed.
  必要なら0を補い、小数点を $n$ 桁動かす。
  - If the exponent is positive, move the decimal point $n$ places to the right.
    指数が正なら、小数点を右へ $n$ 桁動かす。
  - If the exponent is negative, move the decimal point $| n |$ places to the left.
    指数が負なら、小数点を左へ $| n |$ 桁動かす。
3. Check.
  確かめる。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 316–343練習問題 316–343

Use the Definition of a Negative Exponent

負の指数の定義を使う

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 316問題 316

5^{−3}

Exercise 317問題 317

8^{−2}

Solution解き方

\frac{1}{64}

Exercise 318問題 318

3^{−4}

Exercise 319問題 319

2^{−5}

Solution解き方

\frac{1}{32}

Exercise 320問題 320

7^{−1}

Exercise 321問題 321

10^{−1}

Solution解き方

\frac{1}{10}

Exercise 322問題 322

2^{−3} + 2^{−2}

Exercise 323問題 323

3^{−2} + 3^{−1}

Solution解き方

\frac{4}{9}

Exercise 324問題 324

3^{−1} + 4^{−1}

Exercise 325問題 325

10^{−1} + 2^{−1}

Solution解き方

\frac{3}{5}

Exercise 326問題 326

10^{0} - 10^{−1} + 10^{−2}

Exercise 327問題 327

2^{0} - 2^{−1} + 2^{−2}

Solution解き方

\frac{3}{4}

Exercise 328問題 328

ⓐ ${(−6)}^{−2}$
ⓑ $- 6^{−2}$

Exercise 329問題 329

ⓐ ${(−8)}^{−2}$
ⓑ $- 8^{−2}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{1}{64}$
ⓑ $- \frac{1}{64}$

Exercise 330問題 330

ⓐ ${(−10)}^{−4}$
ⓑ $- 10^{−4}$

Exercise 331問題 331

ⓐ ${(−4)}^{−6}$
ⓑ $- 4^{−6}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{1}{4096}$
ⓑ $- \frac{1}{4096}$

Exercise 332問題 332

ⓐ $5 \cdot 2^{−1}$
ⓑ ${(5 \cdot 2)}^{−1}$

Exercise 333問題 333

ⓐ $10 \cdot 3^{−1}$
ⓑ ${(10 \cdot 3)}^{−1}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{10}{3}$
ⓑ $\frac{1}{30}$

Exercise 334問題 334

ⓐ $4 \cdot 10^{−3}$
ⓑ ${(4 \cdot 10)}^{−3}$

Exercise 335問題 335

ⓐ $3 \cdot 5^{−2}$
ⓑ ${(3 \cdot 5)}^{−2}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{3}{25}$
ⓑ $\frac{1}{225}$

Exercise 336問題 336

n^{−4}

Exercise 337問題 337

p^{−3}

Solution解き方

\frac{1}{p^{3}}

Exercise 338問題 338

c^{−10}

Exercise 339問題 339

m^{−5}

Solution解き方

\frac{1}{m^{5}}

Exercise 340問題 340

ⓐ $4 x^{−1}$
ⓑ ${(4 x)}^{−1}$
ⓒ ${(−4 x)}^{−1}$

Exercise 341問題 341

ⓐ $3 q^{−1}$
ⓑ ${(3 q)}^{−1}$
ⓒ ${(−3 q)}^{−1}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{3}{q}$
ⓑ $\frac{1}{3 q}$
ⓒ $- \frac{1}{3 q}$

Exercise 342問題 342

ⓐ $6 m^{−1}$
ⓑ ${(6 m)}^{−1}$
ⓒ ${(−6 m)}^{−1}$

Exercise 343問題 343

ⓐ $10 k^{−1}$
ⓑ ${(10 k)}^{−1}$
ⓒ ${(−10 k)}^{−1}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{10}{k}$
ⓑ $\frac{1}{10 k}$
ⓒ $- \frac{1}{10 k}$

Exercises 344–383練習問題 344–383

Simplify Expressions with Integer Exponents

整数の指数を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 344問題 344

p^{−4} \cdot p^{8}

Exercise 345問題 345

r^{−2} \cdot r^{5}

Solution解き方

r³

Exercise 346問題 346

n^{−10} \cdot n^{2}

Exercise 347問題 347

q^{−8} \cdot q^{3}

Solution解き方

\frac{1}{q^{5}}

Exercise 348問題 348

k^{−3} \cdot k^{−2}

Exercise 349問題 349

z^{−6} \cdot z^{−2}

Solution解き方

\frac{1}{z^{8}}

Exercise 350問題 350

a \cdot a^{−4}

Exercise 351問題 351

m \cdot m^{−2}

Solution解き方

\frac{1}{m}

Exercise 352問題 352

p^{5} \cdot p^{−2} \cdot p^{−4}

Exercise 353問題 353

x^{4} \cdot x^{−2} \cdot x^{−3}

Solution解き方

\frac{1}{x}

Exercise 354問題 354

a^{3} b^{−3}

Exercise 355問題 355

u^{2} v^{−2}

Solution解き方

\frac{u^{2}}{v^{2}}

Exercise 356問題 356

(x^{5} y^{−1}) (x^{−10} y^{−3})

Exercise 357問題 357

(a^{3} b^{−3}) (a^{−5} b^{−1})

Solution解き方

\frac{1}{a^{2} b^{4}}

Exercise 358問題 358

(u v^{−2}) (u^{−5} v^{−4})

Exercise 359問題 359

(p q^{−4}) (p^{−6} q^{−3})

Solution解き方

\frac{1}{p^{5} q^{7}}

Exercise 360問題 360

(−2 r^{−3} s^{9}) (6 r^{4} s^{−5})

Exercise 361問題 361

(−3 p^{−5} q^{8}) (7 p^{2} q^{−3})

Solution解き方

- \frac{21 q^{5}}{p^{3}}

Exercise 362問題 362

(−6 m^{−8} n^{−5}) (−9 m^{4} n^{2})

Exercise 363問題 363

(−8 a^{−5} b^{−4}) (−4 a^{2} b^{3})

Solution解き方

\frac{32}{a^{3} b}

Exercise 364問題 364

{(a^{3})}^{−3}

Exercise 365問題 365

{(q^{10})}^{−10}

Solution解き方

\frac{1}{q^{100}}

Exercise 366問題 366

{(n^{2})}^{−1}

Exercise 367問題 367

{(x^{4})}^{−1}

Solution解き方

\frac{1}{x^{4}}

Exercise 368問題 368

{(y^{−5})}^{4}

Exercise 369問題 369

{(p^{−3})}^{2}

Solution解き方

\frac{1}{p^{6}}

Exercise 370問題 370

{(q^{−5})}^{−2}

Exercise 371問題 371

{(m^{−2})}^{−3}

Solution解き方

m⁶

Exercise 372問題 372

{(4 y^{−3})}^{2}

Exercise 373問題 373

{(3 q^{−5})}^{2}

Solution解き方

\frac{9}{q^{10}}

Exercise 374問題 374

{(10 p^{−2})}^{−5}

Exercise 375問題 375

{(2 n^{−3})}^{−6}

Solution解き方

\frac{n^{18}}{64}

Exercise 376問題 376

\frac{u^{9}}{u^{−2}}

Exercise 377問題 377

\frac{b^{5}}{b^{−3}}

Solution解き方

b⁸

Exercise 378問題 378

\frac{x^{−6}}{x^{4}}

Exercise 379問題 379

\frac{m^{5}}{m^{−2}}

Solution解き方

m⁷

Exercise 380問題 380

\frac{q^{3}}{q^{12}}

Exercise 381問題 381

\frac{r^{6}}{r^{9}}

Solution解き方

\frac{1}{r^{3}}

Exercise 382問題 382

\frac{n^{−4}}{n^{−10}}

Exercise 383問題 383

\frac{p^{−3}}{p^{−6}}

Solution解き方

p³

Exercises 384–395練習問題 384–395

Convert from Decimal Notation to Scientific Notation

通常の小数表記から科学的記数法に直す

In the following exercises, write each number in scientific notation.

次の練習問題では、それぞれの数を科学的記数法で表す。

Exercise 384問題 384

45,000

Exercise 385問題 385

280,000

Solution解き方

2.8 × 10⁵

Exercise 386問題 386

8,750,000

Exercise 387問題 387

1,290,000

Solution解き方

1.29 × 10⁶

Exercise 388問題 388

0.036

Exercise 389問題 389

0.041

Solution解き方

4.1 × 10⁻²

Exercise 390問題 390

0.00000924

Exercise 391問題 391

0.0000103

Solution解き方

1.03 × 10⁻⁵

Exercise 392問題 392

The population of the United States on July 4, 2010 was almost

310,000,000 .

2010年7月4日の米国の人口は、およそ

310,000,000

だった。

Exercise 393問題 393

The population of the world on July 4, 2010 was more than

6,850,000,000 .

2010年7月4日の世界の人口は、

6,850,000,000

を超えていた。

Solution解き方

6.85 × 10⁹

Exercise 394問題 394

The average width of a human hair is

0.0018

centimeters.

人の髪の毛の平均の太さは、

0.0018

センチメートルである。

Exercise 395問題 395

The probability of winning the

2010

Megamillions lottery is about

0.0000000057 .

英語のヒント

2010

年のメガミリオンズ宝くじに当たる確率は、約

0.0000000057

である。

Solution解き方

5.7 × 10⁻⁹

Exercises 396–407練習問題 396–407

Convert Scientific Notation to Decimal Form

科学的記数法から通常の小数表記に直す

In the following exercises, convert each number to decimal form.

次の練習問題では、それぞれの数を通常の小数表記に直す。

Exercise 396問題 396

4.1 \times 10^{2}

Exercise 397問題 397

8.3 \times 10^{2}

Solution解き方

830

Exercise 398問題 398

5.5 \times 10^{8}

Exercise 399問題 399

1.6 \times 10^{10}

Solution解き方

16,000,000,000

Exercise 400問題 400

3.5 \times 10^{−2}

Exercise 401問題 401

2.8 \times 10^{−2}

Solution解き方

0.028

Exercise 402問題 402

1.93 \times 10^{−5}

Exercise 403問題 403

6.15 \times 10^{−8}

Solution解き方

0.0000000615

Exercise 404問題 404

In 2010, the number of Facebook users each day who changed their status to ‘engaged’ was

2 \times 10^{4} .

英語のヒント

2010年には、毎日

2 \times 10^{4}

人のFacebook利用者が、交際ステータスを「婚約中」に変えていた。

Exercise 405問題 405

At the start of 2012, the US federal budget had a deficit of more than

$1.5 \times 10^{13} .

英語のヒント

2012年の初め、米国連邦予算の赤字は

$1.5 \times 10^{13}

を超えていた。

Solution解き方

$15,000,000,000,000

Exercise 406問題 406

The concentration of carbon dioxide in the atmosphere is

3.9 \times 10^{−4} .

英語のヒント

大気中の二酸化炭素の濃度は

3.9 \times 10^{−4}

である。

Exercise 407問題 407

The width of a proton is

1 \times 10^{−5}

of the width of an atom.

陽子の幅は、原子の幅の

1 \times 10^{−5}

倍である。

Solution解き方

0.00001

Exercises 408–415練習問題 408–415

Multiply and Divide Using Scientific Notation

科学的記数法を使って掛け算と割り算をする

In the following exercises, multiply or divide and write your answer in decimal form.

次の練習問題では、掛け算または割り算をし、答えを通常の小数表記で書く。

Exercise 408問題 408

(2 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−9})

Exercise 409問題 409

(3 \times 10^{2}) (1 \times 10^{−5})

Solution解き方

0.003

Exercise 410問題 410

(1.6 \times 10^{−2}) (5.2 \times 10^{−6})

Exercise 411問題 411

(2.1 \times 10^{−4}) (3.5 \times 10^{−2})

Solution解き方

0.00000735

Exercise 412問題 412

\frac{6 \times 10^{4}}{3 \times 10^{−2}}

Exercise 413問題 413

\frac{8 \times 10^{6}}{4 \times 10^{−1}}

Solution解き方

20,000,000

Exercise 414問題 414

\frac{7 \times 10^{−2}}{1 \times 10^{−8}}

Exercise 415問題 415

\frac{5 \times 10^{−3}}{1 \times 10^{−10}}

Solution解き方

50,000,000