第10章多項式

Using the Vertical Method縦に並べる方法

The FOIL method is usually the quickest method for multiplying two binomials, but it works only for binomials. You can use the Distributive Property to find the product of any two polynomials. Another method that works for all polynomials is the Vertical Method. It is very much like the method you use to multiply whole numbers. Look carefully at this example of multiplying two-digit numbers.

二項式どうしを掛けるには、通常、FOIL法が最も速い。しかし、二項式にしか使えない。分配法則なら、どのような多項式どうしの積でも求められる。すべての多項式に使えるもう1つの方法は、縦に並べる方法である。非負整数の掛け算とよく似ている。2桁の数どうしを掛ける次の例を注意深く見よう。

23×46の筆算。下に線があり、その下に138、さらに下に92が、それぞれ位をそろえて書かれる。138と92の横には「部分積」とある。その下の線の下に1058があり、横に「積」とある。

You start by multiplying

23

6

to get

138 .

まず、

23

に

6

を掛け、

138

を得る。

Then you multiply

23

4,

lining up the partial product in the correct columns.

英語のヒント

次に、

23

に

4

を掛け、部分積の位を正しくそろえて書く。

Last, you add the partial products.

最後に、部分積どうしを足す。

Now we'll apply this same method to multiply two binomials.

今度は、この同じ方法で二項式どうしを掛ける。

Example 10.42例題 10.42

Multiply using the vertical method:

(5 x - 1) (2 x - 7) .

縦に並べる方法で掛ける：

(5 x - 1) (2 x - 7)

Solution解答

It does not matter which binomial goes on the top. Line up the columns when you multiply as we did when we multiplied

23 (46) .

どちらの二項式を上に書いてもよい。

23 (46)

を計算したときのように、縦の列をそろえて掛ける。


Multiply $2 x - 7$ by $−1$ . $2 x - 7$ に $−1$ を掛ける。
Multiply $2 x - 7$ by $5 x$ . $2 x - 7$ に $5 x$ を掛ける。
Add like terms. 同類項を足す。

Notice the partial products are the same as the terms in the FOIL method.

部分積が、FOIL法で得られる項と同じであることに注目しよう。

左に（5x−1）（2x−7）があり、その下に10x²−35x−2x＋7が示される。最初の2項は青、後の2項は赤。その下は10x²−37x＋7。右には縦の掛け算があり、2xx−7と5x−1の下に線がある。その下に赤で−2x＋7、さらに下に青で10x²−35xがあり、次の線の下に10x²−37x＋7がある。

Try It (2)確認問題（2題）

We have now used three methods for multiplying binomials. Be sure to practice each method, and try to decide which one you prefer. The three methods are listed here to help you remember them.

英語のヒント

これで、二項式どうしを掛ける3つの方法を使った。それぞれを練習し、自分に合う方法を考えてみよう。覚えやすいよう、3つの方法をここに挙げる。

Multiply a Trinomial by a Binomial三項式に二項式を掛ける

We have multiplied monomials by monomials, monomials by polynomials, and binomials by binomials. Now we're ready to multiply a trinomial by a binomial. Remember, the FOIL method will not work in this case, but we can use either the Distributive Property or the Vertical Method. We first look at an example using the Distributive Property.

ここまで、単項式どうし、単項式と多項式、二項式どうしを掛けてきた。いよいよ三項式と二項式の掛け算に進む。この場合はFOIL法が使えないが、分配法則と縦に並べる方法のどちらも使える。まず、分配法則を使う例を見る。

Example 10.43例題 10.43

Multiply using the Distributive Property:

(x + 3) (2 x^{2} - 5 x + 8) .

分配法則を使って掛ける：

(x + 3) (2 x^{2} - 5 x + 8)

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Multiply. 掛ける。	$2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 6 x^{2} - 15 x + 24$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$2 x^{3} + x^{2} - 7 x + 24$

Try It (2)確認問題（2題）

Now let's do this same multiplication using the Vertical Method.

今度は、同じ掛け算を縦に並べる方法で計算しよう。

Example 10.44例題 10.44

Multiply using the Vertical Method:

(x + 3) (2 x^{2} - 5 x + 8) .

縦に並べる方法で掛ける：

(x + 3) (2 x^{2} - 5 x + 8)

Solution解答

It is easier to put the polynomial with fewer terms on the bottom because we get fewer partial products this way.

英語のヒント

項の少ない多項式を下に置くと、部分積が少なくなるので計算しやすい。


Multiply $(2 x^{2} - 5 x + 8)$ by 3. $(2 x^{2} - 5 x + 8)$ に3を掛ける。
Multiply $(2 x^{2} - 5 x + 8)$ by $x$ . $(2 x^{2} - 5 x + 8)$ に $x$ を掛ける。
Add like terms. 同類項を足す。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Use the FOIL method for multiplying two binomials.

FOIL法で二項式どうしを掛ける。

Step 1. Multiply the First terms. 手順1：それぞれの最初の項どうしを掛ける。
Step 2. Multiply the Outer terms. 手順2：外側の項どうしを掛ける。
Step 3. Multiply the Inner terms. 手順3：内側の項どうしを掛ける。
Step 4. Multiply the Last terms. 手順4：それぞれの最後の項どうしを掛ける。
Step 5. Combine like terms, when possible. 手順5：同類項があればまとめる。

Multiplying Two Binomials: To multiply binomials, use the:
二項式どうしの掛け算：次の方法を使う。
- Distributive Property
  分配法則
- FOIL Method
  FOIL法
- Vertical Method
  縦に並べる方法
Multiplying a Trinomial by a Binomial: To multiply a trinomial by a binomial, use the:
三項式と二項式の掛け算：次の方法を使う。
- Distributive Property
  分配法則
- Vertical Method
  縦に並べる方法

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 145–178練習問題 145–178

Multiply a Polynomial by a Monomial

多項式に単項式を掛ける

In the following exercises, multiply.

次の練習問題では、掛け算をする。

Exercise 145問題 145

4 (x + 10)

Solution解き方

4x + 40

Exercise 146問題 146

6 (y + 8)

Exercise 147問題 147

15 (r - 24)

Solution解き方

15r − 360

Exercise 148問題 148

12 (v - 30)

Exercise 149問題 149

−3 (m + 11)

Solution解き方

−3m − 33

Exercise 150問題 150

−4 (p + 15)

Exercise 151問題 151

−8 (z - 5)

Solution解き方

−8z + 40

Exercise 152問題 152

−3 (x - 9)

Exercise 153問題 153

u (u + 5)

Solution解き方

u² + 5u

Exercise 154問題 154

q (q + 7)

Exercise 155問題 155

n (n^{2} - 3 n)

Solution解き方

n³ − 3n²

Exercise 156問題 156

s (s^{2} - 6 s)

Exercise 157問題 157

12 x (x - 10)

Solution解き方

12x² − 120x

Exercise 158問題 158

9 m (m - 11)

Exercise 159問題 159

−9 a (3 a + 5)

Solution解き方

−27a² − 45a

Exercise 160問題 160

−4 p (2 p + 7)

Exercise 161問題 161

6 x (4 x + y)

Solution解き方

24x² + 6xy

Exercise 162問題 162

5 a (9 a + b)

Exercise 163問題 163

5 p (11 p - 5 q)

Solution解き方

55p² − 25pq

Exercise 164問題 164

12 u (3 u - 4 v)

Exercise 165問題 165

3 (v^{2} + 10 v + 25)

Solution解き方

3v² + 30v + 75

Exercise 166問題 166

6 (x^{2} + 8 x + 16)

Exercise 167問題 167

2 n (4 n^{2} - 4 n + 1)

Solution解き方

8n³ − 8n² + 2n

Exercise 168問題 168

3 r (2 r^{2} - 6 r + 2)

Exercise 169問題 169

−8 y (y^{2} + 2 y - 15)

Solution解き方

−8y³ − 16y² + 120y

Exercise 170問題 170

−5 m (m^{2} + 3 m - 18)

Exercise 171問題 171

5 q^{3} (q^{2} - 2 q + 6)

Solution解き方

5q⁵ − 10q⁴ + 30q³

Exercise 172問題 172

9 r^{3} (r^{2} - 3 r + 5)

Exercise 173問題 173

−4 z^{2} (3 z^{2} + 12 z - 1)

Solution解き方

−12z⁴ − 48z³ + 4z²

Exercise 174問題 174

−3 x^{2} (7 x^{2} + 10 x - 1)

Exercise 175問題 175

(2 y - 9) y

Solution解き方

2y² − 9y

Exercise 176問題 176

(8 b - 1) b

Exercise 177問題 177

(w - 6) \cdot 8

Solution解き方

8w − 48

Exercise 178問題 178

(k - 4) \cdot 5

Exercises 179–182練習問題 179–182

Multiply a Binomial by a Binomial

二項式どうしを掛ける

In the following exercises, multiply the following binomials using: ⓐ the Distributive Property ⓑ the FOIL method ⓒ the Vertical method

次の練習問題では、ⓐ分配法則、ⓑFOIL法、ⓒ縦に並べる方法で、次の二項式どうしを掛ける。

Exercise 179問題 179

(x + 4) (x + 6)

Solution解き方

x² + 10x + 24

Exercise 180問題 180

(u + 8) (u + 2)

Exercise 181問題 181

(n + 12) (n - 3)

Solution解き方

n² + 9n − 36

Exercise 182問題 182

(y + 3) (y - 9)

Exercises 183–206練習問題 183–206

In the following exercises, multiply the following binomials. Use any method.

次の練習問題では、好きな方法で次の二項式どうしを掛ける。

Exercise 183問題 183

(y + 8) (y + 3)

Solution解き方

y² + 11y + 24

Exercise 184問題 184

(x + 5) (x + 9)

Exercise 185問題 185

(a + 6) (a + 16)

Solution解き方

a² + 22a + 96

Exercise 186問題 186

(q + 8) (q + 12)

Exercise 187問題 187

(u - 5) (u - 9)

Solution解き方

u² − 14u + 45

Exercise 188問題 188

(r - 6) (r - 2)

Exercise 189問題 189

(z - 10) (z - 22)

Solution解き方

z² − 32z + 220

Exercise 190問題 190

(b - 5) (b - 24)

Exercise 191問題 191

(x - 4) (x + 7)

Solution解き方

x² + 3x − 28

Exercise 192問題 192

(s - 3) (s + 8)

Exercise 193問題 193

(v + 12) (v - 5)

Solution解き方

v² + 7v − 60

Exercise 194問題 194

(d + 15) (d - 4)

Exercise 195問題 195

(6 n + 5) (n + 1)

Solution解き方

6n² + 11n + 5

Exercise 196問題 196

(7 y + 1) (y + 3)

Exercise 197問題 197

(2 m - 9) (10 m + 1)

Solution解き方

20m² − 88m − 9

Exercise 198問題 198

(5 r - 4) (12 r + 1)

Exercise 199問題 199

(4 c - 1) (4 c + 1)

Solution解き方

16c² − 1

Exercise 200問題 200

(8 n - 1) (8 n + 1)

Exercise 201問題 201

(3 u - 8) (5 u - 14)

Solution解き方

15u² − 82u + 112

Exercise 202問題 202

(2 q - 5) (7 q - 11)

Exercise 203問題 203

(a + b) (2 a + 3 b)

Solution解き方

2a² + 5ab + 3b²

Exercise 204問題 204

(r + s) (3 r + 2 s)

Exercise 205問題 205

(5 x - y) (x - 4)

Solution解き方

5x² − 20x − xy + 4y

Exercise 206問題 206

(4 z - y) (z - 6)

Exercises 207–210練習問題 207–210

Multiply a Trinomial by a Binomial

三項式に二項式を掛ける

In the following exercises, multiply using ⓐ the Distributive Property and ⓑ the Vertical Method.

次の練習問題では、ⓐ分配法則とⓑ縦に並べる方法を使って掛け算をする。

Exercise 207問題 207

(u + 4) (u^{2} + 3 u + 2)

Solution解き方

u³ + 7u² + 14u + 8

Exercise 208問題 208

(x + 5) (x^{2} + 8 x + 3)

Exercise 209問題 209

(a + 10) (3 a^{2} + a - 5)

Solution解き方

3a³ + 31a² + 5a − 50

Exercise 210問題 210

(n + 8) (4 n^{2} + n - 7)

Exercises 211–214練習問題 211–214

In the following exercises, multiply. Use either method.

次の練習問題では、どちらかの方法を使って掛け算をする。

Exercise 211問題 211

(y - 6) (y^{2} - 10 y + 9)

Solution解き方

y³ − 16y² + 69y − 54

Exercise 212問題 212

(k - 3) (k^{2} - 8 k + 7)

Exercise 213問題 213

(2 x + 1) (x^{2} - 5 x - 6)

Solution解き方

2x³ − 9x² − 17x − 6

Exercise 214問題 214

(5 v + 1) (v^{2} - 6 v - 10)