第10章多項式

Simplify Expressions with Integer Exponents整数の指数を含む式を簡単にする

All the exponent properties we developed earlier in this chapter with whole number exponents apply to integer exponents, too. We restate them here for reference.

英語のヒント

この章の前半で非負整数の指数について導いた性質は、すべて整数の指数にも適用できる。参照できるように、ここに再掲する。

Example 10.68例題 10.68

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $x^{−4} \cdot x^{6}$
ⓑ $y^{−6} \cdot y^{4}$
ⓒ $z^{−5} \cdot z^{−3}$

Solution解答

ⓐ
	$x^{−4} \cdot x^{6}$
Use the Product Property, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$ 同じ底の累乗の積の性質 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ を使う。	$x^{−4 + 6}$
Simplify. 簡単にする。	$x^{2}$

ⓑ
	$y^{−6} \cdot y^{4}$
The bases are the same, so add the exponents. 底が同じなので、指数を足す。	$y^{−6 + 4}$
Simplify. 簡単にする。	$y^{−2}$
Use the definition of a negative exponent, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$\frac{1}{y^{2}}$

ⓒ
	$z^{−5} \cdot z^{−3}$
The bases are the same, so add the exponents. 底が同じなので、指数を足す。	$z^{−5−3}$
Simplify. 簡単にする。	$z^{−8}$
Use the definition of a negative exponent, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$\frac{1}{z^{8}}$

Try It (2)確認問題（2題）

In the next two examples, we’ll start by using the Commutative Property to group the same variables together. This makes it easier to identify the like bases before using the Product Property of Exponents.

次の2つの例では、まず交換法則を使って同じ変数どうしをまとめる。これにより、同じ底の累乗の積の性質を使う前に、同じ底を見分けやすくなる。

Example 10.69例題 10.69

Simplify:

(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2}) .

次の式を簡単にする：

(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2})

Solution解答

	$(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2})$
Use the Commutative Property to get like bases together. 交換法則を使い、同じ底どうしをまとめる。	$m^{4} m^{−5} \cdot n^{−2} n^{−3}$
Add the exponents for each base. それぞれの底について、指数を足す。	$m^{−1} \cdot n^{−5}$
Take reciprocals and change the signs of the exponents. 逆数にして、指数の符号を変える。	$\frac{1}{m^{1}} \cdot \frac{1}{n^{5}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{m n^{5}}$

Try It (2)確認問題（2題）

If the monomials have numerical coefficients, we multiply the coefficients, just as we did in Use Multiplication Properties of Exponents.

単項式に数の係数が付いていれば、「指数の乗法に関する性質を使う」で行ったように、係数どうしを掛ける。

Example 10.70例題 10.70

Simplify:

(2 x^{−6} y^{8}) (−5 x^{5} y^{−3}) .

次の式を簡単にする：

(2 x^{−6} y^{8}) (−5 x^{5} y^{−3})

Solution解答

	$(2 x^{−6} y^{8}) (−5 x^{5} y^{−3})$
Rewrite with the like bases together. 同じ底どうしをまとめて書き直す。	$2 (−5) \cdot (x^{−6} x^{5}) \cdot (y^{8} y^{−3})$
Simplify. 簡単にする。	$−10 \cdot x^{−1} \cdot y^{5}$
Use the definition of a negative exponent, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$−10 \cdot \frac{1}{x^{1}} \cdot y^{5}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{−10 y^{5}}{x}$

Try It (2)確認問題（2題）

In the next two examples, we’ll use the Power Property and the Product to a Power Property.

次の2つの例では、累乗の累乗の性質と積の累乗の性質を使う。

Example 10.71例題 10.71

Simplify:

{(k^{3})}^{−2} .

次の式を簡単にする：

{(k^{3})}^{−2}

Solution解答

	${(k^{3})}^{−2}$
Use the Product to a Power Property, ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} .$ 積の累乗の性質 ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ を使う。	$k^{3 (−2)}$
Simplify. 簡単にする。	$k^{−6}$
Rewrite with a positive exponent. 正の指数を使って書き直す。	$\frac{1}{k^{6}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.72例題 10.72

Simplify:

{(5 x^{−3})}^{2} .

次の式を簡単にする：

{(5 x^{−3})}^{2}

Solution解答

	${(5 x^{−3})}^{2}$
Use the Product to a Power Property, ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} .$ 積の累乗の性質 ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ を使う。	$5^{2} {(x^{−3})}^{2}$
Simplify $5^{2}$ and multiply the exponents of $x$ using the Power Property, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$ $5^{2}$ を簡単にし、累乗の累乗の性質 ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ を使って $x$ の指数どうしを掛ける。	$25 x^{−6}$
Rewrite $x^{−6}$ by using the definition of a negative exponent, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使って、 $x^{−6}$ を書き直す。	$25 \cdot \frac{1}{x^{6}}$
Simplify 簡単にする。	$\frac{25}{x^{6}}$

Try It (2)確認問題（2題）

To simplify a fraction, we use the Quotient Property.

分数を簡単にするには、同じ底の累乗の商の性質を使う。

Example 10.73例題 10.73

Simplify:

\frac{r^{5}}{r^{−4}} .

次の式を簡単にする：

\frac{r^{5}}{r^{−4}}

Solution解答


Use the Quotient Property, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ . 同じ底の累乗の商の性質 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ を使う。

Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Convert from Decimal Notation to Scientific Notation通常の小数表記から科学的記数法に直す

Remember working with place value for whole numbers and decimals? Our number system is based on powers of

10 .

We use tens, hundreds, thousands, and so on. Our decimal numbers are also based on powers of tens—tenths, hundredths, thousandths, and so on.

非負整数や小数の位の値を学んだことを思い出そう。私たちの数の表し方は、

10

の累乗に基づいている。十、百、千などを使う。小数もまた10の累乗に基づいており、十分の一、百分の一、千分の一などを使う。

Consider the numbers

4000

and

0.004 .

We know that

4000

means

4 \times 1000

and

0.004

means

4 \times \frac{1}{1000} .

If we write the

1000

as a power of ten in exponential form, we can rewrite these numbers in this way:

4000

と

0.004

という数を考えよう。

4000

は

4 \times 1000

、

0.004

は

4 \times \frac{1}{1000}

を意味する。

1000

を10の累乗として指数表記すれば、これらの数を次のように書き直せる。

\begin{matrix} 4000 & 0.004 \\ 4 \times 1000 & 4 \times \frac{1}{1000} \\ 4 \times 10^{3} & 4 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 4 \times 10^{−3} \end{matrix}

When a number is written as a product of two numbers, where the first factor is a number greater than or equal to one but less than

10,

and the second factor is a power of

10

written in exponential form, it is said to be in scientific notation.

ある数を2つの数の積として書き、最初の因数が1以上

10

未満、2つ目の因数が指数表記された

10

の累乗であるとき、その数は科学的記数法で表されているという。

It is customary in scientific notation to use

\times

as the multiplication sign, even though we avoid using this sign elsewhere in algebra.

英語のヒント

代数のほかの場面ではこの記号を避けるが、科学的記数法では、掛け算の記号に

\times

を使うのが慣例である。

Scientific notation is a useful way of writing very large or very small numbers. It is used often in the sciences to make calculations easier.

科学的記数法は、とても大きい数やとても小さい数を書くために役立つ。計算をしやすくするため、科学でよく使われる。

If we look at what happened to the decimal point, we can see a method to easily convert from decimal notation to scientific notation.

英語のヒント

小数点がどう動いたかを見ると、通常の小数表記から科学的記数法へ簡単に変換する方法が分かる。

左は4000＝4×10³。その下にも同じ式があり、4000の最後の0の後から4と最初の0の間へ矢印が引かれる。下に「小数点を左へ3桁動かした」とある。右は0.004＝4×10⁻³。その下にも同じ式があり、小数点から4の後へ矢印が引かれる。下に「小数点を右へ3桁動かした」とある。

In both cases, the decimal was moved

3

places to get the first factor,

4,

by itself.

どちらの場合も、最初の因数を

4

だけにするため、小数点を

3

桁動かした。

The power of $10$ is positive when the number is larger than $1 : 4000 = 4 \times 10^{3} .$
数が1より大きいとき、 $10$ の指数は正になる： $1 : 4000 = 4 \times 10^{3}$
The power of $10$ is negative when the number is between $0$ and $1 : 0.004 = 4 \times 10^{- 3} .$
数が $0$ と1の間にあるとき、 $10$ の指数は負になる： $1 : 0.004 = 4 \times 10^{- 3}$

Example 10.74例題 10.74

Write

37,000

in scientific notation.

37,000

を科学的記数法で表す。

Solution解答

Step 1: Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10. 手順1：最初の因数が1以上10未満になるように、小数点を動かす。
Step 2: Count the number of decimal places, $n$ , that the decimal point was moved. 手順2：小数点を動かした桁数 $n$ を数える。	3.70000 4 places 3.70000　4桁
Step 3: Write the number as a product with a power of 10. 手順3：10の累乗との積として数を表す。	$3.7 \times 10^{4}$
If the original number is: 元の数が次の範囲にある場合： greater than 1, the power of 10 will be $10^{n}$ . 1より大きければ、10の累乗は $10^{n}$ になる。 between 0 and 1, the power of 10 will be $10^{−n}$ 0と1の間なら、10の累乗は $10^{−n}$ になる。
Step 4: Check. 手順4：確かめる。
$10^{4}$ is 10,000 and 10,000 times 3.7 will be 37,000. $10^{4}$ は10,000であり、10,000に3.7を掛けると37,000になる。
	$37,000 = 3.7 \times 10^{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.75例題 10.75

Write in scientific notation:

0.0052 .

科学的記数法で表す：

0.0052

Solution解答

	0.0052
Move the decimal point to get 5.2, a number between 1 and 10. 小数点を動かし、1と10の間の数である5.2にする。
Count the number of decimal places the point was moved. 小数点を動かした桁数を数える。	3 places 3桁
Write as a product with a power of 10. 10の累乗との積として書く。	$5.2 \times 10^{−3}$
Check your answer: $\begin{matrix} 5.2 \times 10^{−3} \\ 5.2 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 5.2 \times \frac{1}{1000} \\ 5.2 \times 0.001 \\ 0.0052 \end{matrix}$ 答えを確かめる： $\begin{matrix} 5.2 \times 10^{−3} \\ 5.2 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 5.2 \times \frac{1}{1000} \\ 5.2 \times 0.001 \\ 0.0052 \end{matrix}$
	$0.0052 = 5.2 \times 10^{−3}$

Try It (2)確認問題（2題）