第10章多項式

10.2 Use Multiplication Properties of Exponents10.2　指数の乗法に関する性質を使う

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify expressions with exponents
指数を含む式を簡単にする
Simplify expressions using the Product Property of Exponents
同じ底の累乗の積の性質を使って式を簡単にする
Simplify expressions using the Power Property of Exponents
累乗の累乗の性質を使って式を簡単にする
Simplify expressions using the Product to a Power Property
積の累乗の性質を使って式を簡単にする
Simplify expressions by applying several properties
複数の性質を使って式を簡単にする
Multiply monomials
単項式の乗法

Before You Begin (2)準備問題（2題）

Simplify Expressions with Exponents指数を含む式を簡単にする

Remember that an exponent indicates repeated multiplication of the same quantity. For example,

2^{4}

means to multiply four factors of

2,

2^{4}

means

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 .

This format is known as exponential notation.

英語のヒント

指数は、同じ量を繰り返し掛けることを表す。たとえば、

2^{4}

は

2

という因数を4つ掛けるという意味なので、

2^{4}

は

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

を表す。この書き方を指数表記という。

In the expression

a^{m},

the exponent tells us how many times we use the base

a

as a factor.

式

a^{m}

では、指数が、底

a

を因数として何回使うかを示している。

左は7の3乗。その下に7×7×7があり、さらに下に「3個の因数」と書かれる。右は（−8）の5乗。その下に（−8）×（−8）×（−8）×（−8）×（−8）があり、さらに下に「5個の因数」と書かれる。

Before we begin working with variable expressions containing exponents, let’s simplify a few expressions involving only numbers.

指数を含む文字式を扱う前に、数だけを含む式をいくつか簡単にしてみよう。

Example 10.11例題 10.11

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $5^{3}$
ⓑ $9^{1}$

Solution解答

ⓐ
	$5^{3}$
Multiply 3 factors of 5. 5という因数を3つ掛ける。	$5 \cdot 5 \cdot 5$
Simplify. 簡単にする。	$125$

ⓑ
	$9^{1}$
Multiply 1 factor of 9. 9という因数を1つ使う。	$9$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.12例題 10.12

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ ${(\frac{7}{8})}^{2}$
ⓑ ${(0.74)}^{2}$

Solution解答

ⓐ
	${(\frac{7}{8})}^{2}$
Multiply two factors. 2つの因数を掛ける。	$(\frac{7}{8}) (\frac{7}{8})$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{49}{64}$

ⓑ
	${(0.74)}^{2}$
Multiply two factors. 2つの因数を掛ける。	$(0.74) (0.74)$
Simplify. 簡単にする。	$0.5476$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.13例題 10.13

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ ${(−3)}^{4}$
ⓑ ${−3}^{4}$

Solution解答

ⓐ
	${(−3)}^{4}$
Multiply four factors of −3. −3という因数を4つ掛ける。	$(−3) (−3) (−3) (−3)$
Simplify. 簡単にする。	$81$

ⓑ
	${−3}^{4}$
Multiply two factors. 2つの因数を掛ける。	$- (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$
Simplify. 簡単にする。	$−81$

Notice the similarities and differences in parts ⓐ and ⓑ. Why are the answers different? In part ⓐ the parentheses tell us to raise the (−3) to the 4^th power. In part ⓑ we raise only the 3 to the 4^th power and then find the opposite.

英語のヒント

ⓐとⓑの共通点と相違点に注目しよう。答えはなぜ違うのだろうか。ⓐでは、括弧があるので（−3）を4乗する。ⓑでは、3だけを4乗してから、符号を反対にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions Using the Product Property of Exponents同じ底の累乗の積の性質を使って式を簡単にする

You have seen that when you combine like terms by adding and subtracting, you need to have the same base with the same exponent. But when you multiply and divide, the exponents may be different, and sometimes the bases may be different, too. We’ll derive the properties of exponents by looking for patterns in several examples. All the exponent properties hold true for any real numbers, but right now we will only use whole number exponents.

英語のヒント

足し算と引き算で同類項をまとめるときは、底も指数も同じでなければならないことを見てきた。しかし掛け算と割り算では、指数が異なっていてもよく、場合によっては底が異なっていてもよい。いくつかの例に共通する規則を探して、指数の性質を導こう。指数の性質はどの実数に対しても成り立つが、ここでは指数が非負整数の場合だけを扱う。

First, we will look at an example that leads to the Product Property.

まず、同じ底の累乗の積の性質につながる例を見る。


What does this mean? How many factors altogether? これは何を意味するか。因数は全部で何個あるか。
So, we have したがって、次のようになる。
Notice that 5 is the sum of the exponents, 2 and 3. 5は、指数2と3の和であることに注目する。
We write: 次のように書く：	$x^{2} \cdot x^{3}$ $x^{2 + 3}$ $x^{5}$

The base stayed the same and we added the exponents. This leads to the Product Property for Exponents.

底はそのままで、指数を足した。ここから、同じ底の累乗の積の性質が得られる。

An example with numbers helps to verify this property.

数を使った例で、この性質を確かめられる。

\begin{matrix} 2^{2} \cdot 2^{3} & \overset{?}{=} & 2^{2 + 3} \\ 4 \cdot 8 & \overset{?}{=} & 2^{5} \\ 32 & = & 32 ✓ \end{matrix}

Example 10.14例題 10.14

Simplify:

x^{5} \cdot x^{7} .

次の式を簡単にする：

x^{5} \cdot x^{7}

Solution解答

	$x^{5} \cdot x^{7}$
Use the product property, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$ 同じ底の累乗の積の性質 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$x^{12}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.15例題 10.15

Simplify:

b^{4} \cdot b .

次の式を簡単にする：

b^{4} \cdot b

Solution解答

	$b^{4} \cdot b$
Rewrite, $b = b^{1} .$ $b = b^{1}$ と書き直す。	$b^{4} \cdot b^{1}$
Use the product property, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$ 同じ底の累乗の積の性質 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$b^{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.16例題 10.16

Simplify:

2^{7} \cdot 2^{9} .

次の式を簡単にする：

2^{7} \cdot 2^{9}

Solution解答

	$2^{7} \cdot 2^{9}$
Use the product property, $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$ 同じ底の累乗の積の性質 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$2^{16}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.17例題 10.17

Simplify:

y^{17} \cdot y^{23} .

次の式を簡単にする：

y^{17} \cdot y^{23}

Solution解答

	$y^{17} \cdot y^{23}$
Notice, the bases are the same, so add the exponents. 底が同じなので、指数を足す。
Simplify. 簡単にする。	$y^{40}$

Try It (2)確認問題（2題）

We can extend the Product Property of Exponents to more than two factors.

英語のヒント

同じ底の累乗の積の性質は、因数が3つ以上の場合にも拡張できる。

Example 10.18例題 10.18

Simplify:

x^{3} \cdot x^{4} \cdot x^{2} .

式を簡単にする：

x^{3} \cdot x^{4} \cdot x^{2}

Solution解答

	$x^{3} \cdot x^{4} \cdot x^{2}$
Add the exponents, since the bases are the same. 底が同じなので、指数を足す。
Simplify. 簡単にする。	$x^{9}$

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions Using the Power Property of Exponents累乗の累乗の性質を使って式を簡単にする

Now let’s look at an exponential expression that contains a power raised to a power. See if you can discover a general property.

英語のヒント

次に、累乗をさらに累乗する指数の式を見てみよう。一般に成り立つ性質を見つけられるだろうか。



What does this mean? How many factors altogether? これは何を意味するか。因数は全部で何個あるか。
So, we have したがって、次のようになる。
Notice that 6 is the product of the exponents, 2 and 3. 6は、指数2と3の積であることに注目する。
We write: 次のように書く：	${(x^{2})}^{3}$ $x^{2 \cdot 3}$ $x^{6}$

We multiplied the exponents. This leads to the Power Property for Exponents.

指数どうしを掛けた。ここから、累乗の累乗の性質が得られる。

An example with numbers helps to verify this property.

数を使った例で、この性質を確かめられる。

\begin{matrix} {(5^{2})}^{3} & \overset{?}{=} & 5^{2 \cdot 3} \\ {(25)}^{3} & \overset{?}{=} & 5^{6} \\ 15,625 & = & 15,625 ✓ \end{matrix}

Example 10.19例題 10.19

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ ${(x^{5})}^{7}$
ⓐ ${(3^{6})}^{8}$

Solution解答

ⓐ
	${(x^{5})}^{7}$
Use the Power Property, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$ 累乗の累乗の性質 ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$x^{35}$

ⓑ
	${(3^{6})}^{8}$
Use the Power Property, ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} .$ 累乗の累乗の性質 ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$3^{48}$

Try It (2)確認問題（2題）

第10章多項式

10.2 Use Multiplication Properties of Exponents10.2 指数の乗法に関する性質を使う

Learning Objectives学習目標

Simplify Expressions with Exponents指数を含む式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Simplify Expressions Using the Product Property of Exponents同じ底の累乗の積の性質を使って式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Simplify Expressions Using the Power Property of Exponents累乗の累乗の性質を使って式を簡単にする

Solution解答

10.2 Use Multiplication Properties of Exponents10.2　指数の乗法に関する性質を使う