第10章多項式

Key Concepts重要な概念

Find the greatest common factor.
最大公約因子を求める。
1. Factor each coefficient into primes. Write all variables with exponents in expanded form.
  各係数を素因数分解する。指数の付いた変数は、すべて繰り返しの積に書き直す。
2. List all factors—matching common factors in a column. In each column, circle the common factors.
  すべての因数を並べ、共通の因数を同じ列にそろえる。各列で、共通の因数を丸で囲む。
3. Bring down the common factors that all expressions share.
  すべての式に共通する因数を下に書き出す。
4. Multiply the factors.
  因数どうしを掛ける。
Distributive Property
分配法則
- If $a$ , $b$ , $c$ are real numbers, then
  $a (b + c) = a b + a c$ and $a b + a c = a (b + c)$
  $a$ 、 $b$ 、 $c$ が実数なら、 $a (b + c) = a b + a c$ および $a b + a c = a (b + c)$ が成り立つ。
Factor the greatest common factor from a polynomial.
多項式から最大公約因子をくくり出す。
1. Find the GCF of all the terms of the polynomial.
  多項式のすべての項の最大公約因子を求める。
2. Rewrite each term as a product using the GCF.
  最大公約因子を使った積の形に、各項を書き直す。
3. Use the Distributive Property ‘in reverse’ to factor the expression.
  分配法則を「逆向き」に使って、式を因数分解する。
4. Check by multiplying the factors.
  因数を掛けて確かめる。

Section Exercises節の練習問題

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 422–441練習問題 422–441

Find the Greatest Common Factor of Two or More Expressions

2つ以上の式の最大公約因子を求める

In the following exercises, find the greatest common factor.

次の練習問題では、最大公約因子を求める。

Exercise 422問題 422

40, 56

Exercise 423問題 423

45, 75

Solution解き方

Exercise 424問題 424

72, 162

Exercise 425問題 425

150, 275

Solution解き方

Exercise 426問題 426

3 x, 12

Exercise 427問題 427

4 y, 28

Solution解き方

Exercise 428問題 428

10 a, 50

Exercise 429問題 429

5 b, 30

Solution解き方

Exercise 430問題 430

16 y, 24 y^{2}

Exercise 431問題 431

9 x, 15 x^{2}

Solution解き方

Exercise 432問題 432

18 m^{3}, 36 m^{2}

Exercise 433問題 433

12 p^{4}, 48 p^{3}

Solution解き方

12p³

Exercise 434問題 434

10 x, 25 x^{2}, 15 x^{3}

Exercise 435問題 435

18 a, 6 a^{2}, 22 a^{3}

Solution解き方

Exercise 436問題 436

24 u, 6 u^{2}, 30 u^{3}

Exercise 437問題 437

40 y, 10 y^{2}, 90 y^{3}

Solution解き方

10y

Exercise 438問題 438

15 a^{4}, 9 a^{5}, 21 a^{6}

Exercise 439問題 439

35 x^{3}, 10 x^{4}, 5 x^{5}

Solution解き方

5x³

Exercise 440問題 440

27 y^{2}, 45 y^{3}, 9 y^{4}

Exercise 441問題 441

14 b^{2}, 35 b^{3}, 63 b^{4}

Solution解き方

7b²

Exercises 442–489練習問題 442–489

Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial

多項式から最大公約因子をくくり出す

In the following exercises, factor the greatest common factor from each polynomial.

次の練習問題では、それぞれの多項式から最大公約因子をくくり出す。

Exercise 442問題 442

2 x + 8

Exercise 443問題 443

5 y + 15

Solution解き方

5(y + 3)

Exercise 444問題 444

3 a - 24

Exercise 445問題 445

4 b - 20

Solution解き方

4(b − 5)

Exercise 446問題 446

9 y - 9

Exercise 447問題 447

7 x - 7

Solution解き方

7(x − 1)

Exercise 448問題 448

5 m^{2} + 20 m + 35

Exercise 449問題 449

3 n^{2} + 21 n + 12

Solution解き方

3(n² + 7n + 4)

Exercise 450問題 450

8 p^{2} + 32 p + 48

Exercise 451問題 451

6 q^{2} + 30 q + 42

Solution解き方

6(q² + 5q + 7)

Exercise 452問題 452

8 q^{2} + 15 q

Exercise 453問題 453

9 c^{2} + 22 c

Solution解き方

c(9c + 22)

Exercise 454問題 454

13 k^{2} + 5 k

Exercise 455問題 455

17 x^{2} + 7 x

Solution解き方

x(17x + 7)

Exercise 456問題 456

5 c^{2} + 9 c

Exercise 457問題 457

4 q^{2} + 7 q

Solution解き方

q(4q + 7)

Exercise 458問題 458

5 p^{2} + 25 p

Exercise 459問題 459

3 r^{2} + 27 r

Solution解き方

3r(r + 9)

Exercise 460問題 460

24 q^{2} - 12 q

Exercise 461問題 461

30 u^{2} - 10 u

Solution解き方

10u(3u − 1)

Exercise 462問題 462

y z + 4 z

Exercise 463問題 463

a b + 8 b

Solution解き方

b(a + 8)

Exercise 464問題 464

60 x - 6 x^{3}

Exercise 465問題 465

55 y - 11 y^{4}

Solution解き方

11y(5 − y³)

Exercise 466問題 466

48 r^{4} - 12 r^{3}

Exercise 467問題 467

45 c^{3} - 15 c^{2}

Solution解き方

15c²(3c − 1)

Exercise 468問題 468

4 a^{3} - 4 a b^{2}

Exercise 469問題 469

6 c^{3} - 6 c d^{2}

Solution解き方

6c(c² − d²)

Exercise 470問題 470

30 u^{3} + 80 u^{2}

Exercise 471問題 471

48 x^{3} + 72 x^{2}

Solution解き方

24x²(2x + 3)

Exercise 472問題 472

120 y^{6} + 48 y^{4}

Exercise 473問題 473

144 a^{6} + 90 a^{3}

Solution解き方

18a³(8a³ + 5)

Exercise 474問題 474

4 q^{2} + 24 q + 28

Exercise 475問題 475

10 y^{2} + 50 y + 40

Solution解き方

10(y² + 5y + 4)

Exercise 476問題 476

15 z^{2} - 30 z - 90

Exercise 477問題 477

12 u^{2} - 36 u - 108

Solution解き方

12(u² − 3u − 9)

Exercise 478問題 478

3 a^{4} - 24 a^{3} + 18 a^{2}

Exercise 479問題 479

5 p^{4} - 20 p^{3} - 15 p^{2}

Solution解き方

5p²(p² − 4p − 3)

Exercise 480問題 480

11 x^{6} + 44 x^{5} - 121 x^{4}

Exercise 481問題 481

8 c^{5} + 40 c^{4} - 56 c^{3}

Solution解き方

8c³(c² + 5c − 7)

Exercise 482問題 482

−3 n - 24

Exercise 483問題 483

−7 p - 84

Solution解き方

−7(p + 12)

Exercise 484問題 484

−15 a^{2} - 40 a

Exercise 485問題 485

−18 b^{2} - 66 b

Solution解き方

−6b(3b + 11)

Exercise 486問題 486

−10 y^{3} + 60 y^{2}

Exercise 487問題 487

−8 a^{3} + 32 a^{2}

Solution解き方

−8a²(a − 4)

Exercise 488問題 488

−4 u^{5} + 56 u^{3}

Exercise 489問題 489

−9 b^{5} + 63 b^{3}

Solution解き方

−9b³(b² − 7)

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 490–491練習問題 490–491

Exercise 490問題 490

Revenue A manufacturer of microwave ovens has found that the revenue received from selling microwaves a cost of

p

dollars each is given by the polynomial

−5 p^{2} + 150 p .

Factor the greatest common factor from this polynomial.

売上高　電子レンジのメーカーは、1台

p

ドルで販売したときの売上高が、多項式

−5 p^{2} + 150 p

で表せることを見いだした。この多項式から最大公約因子をくくり出す。

Exercise 491問題 491

Height of a baseball The height of a baseball hit with velocity

80

feet/second at

4

feet above ground level is

−16 t^{2} + 80 t + 4,

with

t =

the number of seconds since it was hit. Factor the greatest common factor from this polynomial.

野球のボールの高さ　地上

4

フィートの位置で、速さ

80

フィート毎秒で打たれた野球のボールの高さは、

−16 t^{2} + 80 t + 4

で表される。ここで、

t =

打たれてからの秒数である。この多項式から最大公約因子をくくり出す。

Solution解き方

−4(4t² − 20t − 1)

Writing Exercises記述問題

Exercises 492–493練習問題 492–493

Exercise 492問題 492

The greatest common factor of

36

and

60

12 .

Explain what this means.

36

と

60

の最大公約数は

12

である。これは何を意味するか説明する。

Exercise 493問題 493

What is the GCF of

y^{4}

y^{5}

, and

y^{10}

? Write a general rule that tells how to find the GCF of

y^{a}

y^{b}

, and

y^{c}

y^{4}

、

y^{5}

、

y^{10}

の最大公約因子は何か。

y^{a}

、

y^{b}

、

y^{c}

の最大公約因子を求める一般的な規則を書く。

Solution解き方

Answers will vary.

解答は一通りではない。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

ⓑ Overall, after looking at the checklist, do you think you are well-prepared for the next Chapter? Why or why not?

ⓑ チェックリストを全体として見て、次の章に進む準備が十分にできていると思うか。そう思う理由、またはそう思わない理由を述べる。

Chapter Review Exercises章の復習問題

Add and Subtract Polynomials多項式の加法と減法

Exercises 494–497練習問題 494–497

Identify Polynomials, Monomials, Binomials and Trinomials

多項式・単項式・二項式・三項式を見分ける

In the following exercises, determine if each of the following polynomials is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial.

次の練習問題では、各多項式が単項式・二項式・三項式、またはそれ以外の多項式のどれかを判定する。

Exercise 494問題 494

y^{2} + 8 y - 20

Solution解き方

trinomial

三項式

Exercise 495問題 495

−6 a^{4}

Exercise 496問題 496

9 x^{3} - 1

Solution解き方

binomial

二項式

Exercise 497問題 497

n^{3} - 3 n^{2} + 3 n - 1

Exercises 498–501練習問題 498–501

Determine the Degree of Polynomials

多項式の次数を求める

In the following exercises, determine the degree of each polynomial.

次の練習問題では、それぞれの多項式の次数を求める。

Exercise 498問題 498

16 x^{2} - 40 x - 25

Solution解き方

Exercise 499問題 499

5 m + 9

Exercise 500問題 500

−15

Solution解き方

Exercise 501問題 501

y^{2} + 6 y^{3} + 9 y^{4}

Exercises 502–505練習問題 502–505

Add and Subtract Monomials

単項式の加法と減法

In the following exercises, add or subtract the monomials.

次の練習問題では、単項式の足し算または引き算をする。

Exercise 502問題 502

4 p + 11 p

Solution解き方

15p

Exercise 503問題 503

−8 y^{3} - 5 y^{3}

Exercise 504問題 504

Add

4 n^{5}, − n^{5}, −6 n^{5}

足し算をする：

4 n^{5}, − n^{5}, −6 n^{5}

Solution解き方

−3n⁵

Exercise 505問題 505

Subtract

10 x^{2}

from

3 x^{2}

3 x^{2}

から

10 x^{2}

を引く。

Exercises 506–511練習問題 506–511

Add and Subtract Polynomials

多項式の加法と減法

In the following exercises, add or subtract the polynomials.

次の練習問題では、多項式の足し算または引き算をする。

Exercise 506問題 506

(4 a^{2} + 9 a - 11) + (6 a^{2} - 5 a + 10)

Solution解き方

10a² + 4a − 1

Exercise 507問題 507

(8 m^{2} + 12 m - 5) - (2 m^{2} - 7 m - 1)

Exercise 508問題 508

(y^{2} - 3 y + 12) + (5 y^{2} - 9)

Solution解き方

6y² − 3y + 3

Exercise 509問題 509

(5 u^{2} + 8 u) - (4 u - 7)

Exercise 510問題 510

Find the sum of

8 q^{3} - 27

and

q^{2} + 6 q - 2

8 q^{3} - 27

と

q^{2} + 6 q - 2

の和を求める。

Solution解き方

8q³ + q² + 6q − 29

Exercise 511問題 511

Find the difference of

x^{2} + 6 x + 8

and

x^{2} - 8 x + 15

x^{2} + 6 x + 8

と

x^{2} - 8 x + 15

の差を求める。

Exercises 512–519練習問題 512–519

Evaluate a Polynomial for a Given Value of the Variable

与えられた変数の値に対する多項式の値を求める

In the following exercises, evaluate each polynomial for the given value.

次の練習問題では、与えられた値に対する各多項式の値を求める。

Exercise 512問題 512

200 x - \frac{1}{5} x^{2}

when

x = 5

x = 5

のときの

200 x - \frac{1}{5} x^{2}

Solution解き方

995

Exercise 513問題 513

200 x - \frac{1}{5} x^{2}

when

x = 0

x = 0

のときの

200 x - \frac{1}{5} x^{2}

Exercise 514問題 514

200 x - \frac{1}{5} x^{2}

when

x = 15

x = 15

のときの

200 x - \frac{1}{5} x^{2}

Solution解き方

2,955

Exercise 515問題 515

5 + 40 x - \frac{1}{2} x^{2}

when

x = 10

x = 10

のときの

5 + 40 x - \frac{1}{2} x^{2}

Exercise 516問題 516

5 + 40 x - \frac{1}{2} x^{2}

when

x = −4

x = −4

のときの

5 + 40 x - \frac{1}{2} x^{2}

Solution解き方

−163

Exercise 517問題 517

5 + 40 x - \frac{1}{2} x^{2}

when

x = 0

x = 0

のときの

5 + 40 x - \frac{1}{2} x^{2}

Exercise 518問題 518

A pair of glasses is dropped off a bridge

640

feet above a river. The polynomial

−16 t^{2} + 640

gives the height of the glasses

t

seconds after they were dropped. Find the height of the glasses when

t = 6 .

川面から

640

フィートの高さにある橋から、眼鏡を落とした。多項式

−16 t^{2} + 640

は、落として

t

秒後の眼鏡の高さを表す。

t = 6

のときの眼鏡の高さを求める。

Solution解き方

64 feet

64フィート

Exercise 519問題 519

The fuel efficiency (in miles per gallon) of a bus going at a speed of

x

miles per hour is given by the polynomial

- \frac{1}{160} x^{2} + \frac{1}{2} x .

Find the fuel efficiency when

x = 20

mph.

時速

x

マイルで走るバスの燃費（1ガロン当たりの走行マイル数）は、多項式

- \frac{1}{160} x^{2} + \frac{1}{2} x

で表される。時速

x = 20

マイルのときの燃費を求める。