第10章多項式
10.1 Add and Subtract Polynomials10.1 多項式の加法と減法
Learning Objectives学習目標
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By the end of this section, you will be able to:
この節を終えると、次のことができるようになる。
- Identify polynomials, monomials, binomials, and trinomials多項式・単項式・二項式・三項式を見分ける
- Determine the degree of polynomials多項式の次数を求める
- Add and subtract monomials単項式の加法と減法
- Add and subtract polynomials多項式の加法と減法
- Evaluate a polynomial for a given value与えられた値に対する多項式の値を求める
Before You Begin (3)準備問題（3題）
Identify Polynomials, Monomials, Binomials, and Trinomials多項式・単項式・二項式・三項式を見分ける
In Evaluate, Simplify, and Translate Expressions, you learned that a term is a constant or the product of a constant and one or more variables. When it is of the form where is a constant and is a whole number, it is called a monomial. A monomial, or a sum and/or difference of monomials, is called a polynomial.
英語のヒント
「式の値・簡単化・文章から式への変換」では、項とは定数、または定数と1つ以上の変数の積であると学んだ。項がの形で、が定数、が非負整数であるとき、これを単項式という。単項式、または単項式どうしを加えたり引いたりしてできる式を、多項式という。
Notice the roots:
語の成り立ちに注目しよう。
- poly- means manypoly-は「多くの」を意味する。
- mono- means onemono-は「1つの」を意味する。
- bi- means twobi-は「2つの」を意味する。
- tri- means threetri-は「3つの」を意味する。
Here are some examples of polynomials:
多項式の例をいくつか挙げる。
Polynomial 多項式 |
|||
Monomial 単項式 |
|||
Binomial 二項式 |
|||
Trinomial 三項式 |
Notice that every monomial, binomial, and trinomial is also a polynomial. They are special members of the family of polynomials and so they have special names. We use the words ‘monomial’, ‘binomial’, and ‘trinomial’ when referring to these special polynomials and just call all the rest ‘polynomials’.
英語のヒント
単項式・二項式・三項式は、いずれも多項式でもある。これらは多項式の仲間のうち特定の種類なので、特別な名前が付いている。この3種類を指すときは「単項式」「二項式」「三項式」という語を使い、それ以外は単に「多項式」と呼ぶ。
Example 10.1例題 10.1
Determine whether each polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial:
それぞれの多項式が、単項式・二項式・三項式、またはそれ以外の多項式のどれかを判定する：
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ
- ⓓ
- ⓔ
Solution解答
Polynomial 多項式 |
Number of terms 項の数 |
Type 種類 |
|
|---|---|---|---|
ⓐ |
3 |
Trinomial 三項式 |
|
ⓑ |
1 |
Monomial 単項式 |
|
ⓒ |
5 |
Polynomial 多項式 |
|
ⓓ |
2 |
Binomial 二項式 |
|
ⓔ |
1 |
Monomial 単項式 |
Try It (2)確認問題（2題）
Determine the Degree of Polynomials多項式の次数を求める
In this section, we will work with polynomials that have only one variable in each term. The degree of a polynomial and the degree of its terms are determined by the exponents of the variable.
英語のヒント
この節では、それぞれの項に変数が1種類だけ含まれる多項式を扱う。多項式の次数と各項の次数は、変数の指数によって決まる。
A monomial that has no variable, just a constant, is a special case. The degree of a constant is —it has no variable.
変数を含まず、定数だけでできた単項式は特別な場合である。定数の次数はである。変数を含まないからだ。
Let's see how this works by looking at several polynomials. We'll take it step by step, starting with monomials, and then progressing to polynomials with more terms.
英語のヒント
いくつかの多項式を見ながら、これがどういうことか確かめよう。まず単項式から始め、項の数が多い多項式へと順に進む。
Remember: Any base written without an exponent has an implied exponent of
英語のヒント
指数を書かずに表した底には、指数が省略されていることを思い出そう。
Example 10.2例題 10.2
Find the degree of the following polynomials:
次の多項式の次数を求める：
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ
- ⓓ
- ⓔ
Solution解答
ⓐ |
|
The exponent of is one. の指数は1である。 |
The degree is 1. 次数は1である。 |
ⓑ |
|
The highest degree of all the terms is 3. すべての項の次数のうち、最も高いものは3である。 |
The degree is 3 次数は3である。 |
ⓒ |
|
The degree of a constant is 0. 定数の次数は0である。 |
The degree is 0. 次数は0である。 |
ⓓ |
|
The highest degree of all the terms is 2. すべての項の次数のうち、最も高いものは2である。 |
The degree is 2. 次数は2である。 |
ⓔ |
|
The highest degree of all the terms is 1. すべての項の次数のうち、最も高いものは1である。 |
The degree is 1. 次数は1である。 |
Try It (2)確認問題（2題）
Working with polynomials is easier when you list the terms in descending order of degrees. When a polynomial is written this way, it is said to be in standard form. Look back at the polynomials in Example 10.2. Notice that they are all written in standard form. Get in the habit of writing the term with the highest degree first.
英語のヒント
多項式は、次数の高い項から順に並べると扱いやすい。このように書いた多項式は、標準形で表されているという。例題10.2の多項式を見直そう。どれも標準形になっている。次数が最も高い項を最初に書く習慣を付けよう。