第10章多項式

Add and Subtract Monomials単項式の加法と減法

In The Language of Algebra, you simplified expressions by combining like terms. Adding and subtracting monomials is the same as combining like terms. Like terms must have the same variable with the same exponent. Recall that when combining like terms only the coefficients are combined, never the exponents.

英語のヒント

「代数の言葉」では、同類項をまとめて式を簡単にした。単項式の足し算と引き算も、同類項をまとめることと同じである。同類項は、変数もその指数も同じでなければならない。同類項をまとめるときは係数だけを加減し、指数は加減しないことを思い出そう。

Example 10.3例題 10.3

Add:

17 x^{2} + 6 x^{2} .

次の加法を計算する：

17 x^{2} + 6 x^{2}

Solution解答

	$17 x^{2} + 6 x^{2}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$23 x^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.4例題 10.4

Subtract:

11 n - (−8 n) .

次の減法を計算する：

11 n - (−8 n)

Solution解答

	$11 n - (−8 n)$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$19 n$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.5例題 10.5

Simplify:

a^{2} + 4 b^{2} - 7 a^{2} .

次の式を簡単にする：

a^{2} + 4 b^{2} - 7 a^{2}

Solution解答

	$a^{2} + 4 b^{2} - 7 a^{2}$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$−6 a^{^{2}} + 4 b^{2}$

Remember,

−6 a^{2}

and

4 b^{2}

are not like terms. The variables are not the same.

−6 a^{2}

と

4 b^{2}

は同類項ではないことに注意しよう。変数が異なる。

Try It (2)確認問題（2題）

Add and Subtract Polynomials多項式の加法と減法

Adding and subtracting polynomials can be thought of as just adding and subtracting like terms. Look for like terms—those with the same variables with the same exponent. The Commutative Property allows us to rearrange the terms to put like terms together. It may also be helpful to underline, circle, or box like terms.

英語のヒント

多項式の足し算と引き算は、同類項の足し算と引き算だと考えられる。変数も指数も同じ項を探そう。交換法則を使えば、項を並べ替えて同類項をまとめられる。同類項に下線を引いたり、丸や四角で囲んだりするのも役に立つ。

Example 10.6例題 10.6

Find the sum:

(4 x^{2} - 5 x + 1) + (3 x^{2} - 8 x - 9) .

和を求める：

(4 x^{2} - 5 x + 1) + (3 x^{2} - 8 x - 9)

Solution解答


Identify like terms. 同類項を見つける。
Rearrange to get the like terms together. 同類項がまとまるように並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Parentheses are grouping symbols. When we add polynomials as we did in Example 10.6, we can rewrite the expression without parentheses and then combine like terms. But when we subtract polynomials, we must be very careful with the signs.

括弧は、式のまとまりを示す記号である。例題10.6のように多項式を足すときは、括弧を外してから同類項をまとめられる。しかし、多項式を引くときは符号に十分注意しなければならない。

Example 10.7例題 10.7

Find the difference:

(7 u^{2} - 5 u + 3) - (4 u^{2} - 2) .

差を求める：

(7 u^{2} - 5 u + 3) - (4 u^{2} - 2)

Solution解答


Distribute and identify like terms. 分配法則を使い、同類項を見つける。
Rearrange the terms. 項を並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.8例題 10.8

Subtract:

(m^{2} - 3 m + 8)

from

(9 m^{2} - 7 m + 4) .

(9 m^{2} - 7 m + 4)

から

(m^{2} - 3 m + 8)

を引く。

Solution解答


Distribute and identify like terms. 分配法則を使い、同類項を見つける。
Rearrange the terms. 項を並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate a Polynomial for a Given Value与えられた値に対する多項式の値を求める

In The Language of Algebra we evaluated expressions. Since polynomials are expressions, we'll follow the same procedures to evaluate polynomials—substitute the given value for the variable into the polynomial, and then simplify.

英語のヒント

「代数の言葉」では、式の値を求めた。多項式も式なので、同じ手順を使う。与えられた値を多項式の変数に代入してから、式を簡単にすればよい。

Example 10.9例題 10.9

Evaluate

3 x^{2} - 9 x + 7

when

次の条件のもとで、

3 x^{2} - 9 x + 7

の値を求める。

ⓐ $x = 3$
ⓑ $x = −1$

Solution解答

ⓐ $x = 3$
	$3 x^{2} - 9 x + 7$
Substitute 3 for $x$ $x$ に3を代入する。	$3 {(3)}^{2} - 9 (3) + 7$
Simplify the expression with the exponent. 指数を含む式を簡単にする。	$3 \cdot 9 - 9 (3) + 7$
Multiply. 掛ける。	$27 - 27 + 7$
Simplify. 簡単にする。	$7$

ⓑ $x = −1$
	$3 x^{2} - 9 x + 7$
Substitute −1 for $x$ $x$ に−1を代入する。	$3 {(−1)}^{2} - 9 (−1) + 7$
Simplify the expression with the exponent. 指数を含む式を簡単にする。	$3 \cdot 1 - 9 (−1) + 7$
Multiply. 掛ける。	$3 + 9 + 7$
Simplify. 簡単にする。	$19$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.10例題 10.10

The polynomial

−16 t^{2} + 300

gives the height of an object

t

seconds after it is dropped from a

300

foot tall bridge. Find the height after

t = 3

seconds.

多項式

−16 t^{2} + 300

は、高さ

300

フィートの橋から物を落として

t

秒後の高さを表す。

t = 3

秒後の高さを求める。

Solution解答


Substitute 3 for $t$ $t$ に3を代入する。
Simplify the expression with the exponent. 指数を含む式を簡単にする。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–8練習問題 1–8

Identify Polynomials, Monomials, Binomials and Trinomials

多項式・単項式・二項式・三項式を見分ける

In the following exercises, determine if each of the polynomials is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial.

次の練習問題では、それぞれの多項式が単項式・二項式・三項式、またはそれ以外の多項式のどれかを判定する。

Exercise 1問題 1

5 x + 2

Solution解き方

binomial

二項式

Exercise 2問題 2

z^{2} - 5 z - 6

Exercise 3問題 3

a^{2} + 9 a + 18

Solution解き方

trinomial

三項式

Exercise 4問題 4

−12 p^{4}

Exercise 5問題 5

y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16

Solution解き方

polynomial

多項式

Exercise 6問題 6

10 - 9 x

Exercise 7問題 7

23 y^{2}

Solution解き方

monomial

単項式

Exercise 8問題 8

m^{4} + 4 m^{3} + 6 m^{2} + 4 m + 1

Exercises 9–14練習問題 9–14

Determine the Degree of Polynomials

多項式の次数を求める

In the following exercises, determine the degree of each polynomial.

次の練習問題では、それぞれの多項式の次数を求める。

Exercise 9問題 9

8 a^{5} - 2 a^{3} + 1

Solution解き方

Exercise 10問題 10

5 c^{3} + 11 c^{2} - c - 8

Exercise 11問題 11

3 x - 12

Solution解き方

Exercise 12問題 12

4 y + 17

Exercise 13問題 13

−13

Solution解き方

Exercise 14問題 14

−22

Exercises 15–26練習問題 15–26

Add and Subtract Monomials

単項式の加法と減法

In the following exercises, add or subtract the monomials.

次の練習問題では、単項式の足し算または引き算をする。

Exercise 15問題 15

{6x}^{2} + 9 x^{2}

Solution解き方

15x²

Exercise 16問題 16

{4y}^{3} + 6 y^{3}

Exercise 17問題 17

−12 u + 4 u

Solution解き方

−8u

Exercise 18問題 18

−3 m + 9 m

Exercise 19問題 19

5 a + 7 b

Solution解き方

5a + 7b

Exercise 20問題 20

8 y + 6 z

Exercise 21問題 21

Add:

4 a, - 3 b, - 8 a

次の加法を計算する：

4 a, - 3 b, - 8 a

Solution解き方

−4a −3b

Exercise 22問題 22

Add:

4 x, 3 y, - 3 x

次の加法を計算する：

4 x, 3 y, - 3 x

Exercise 23問題 23

18 x - 2 x

Solution解き方

16x

Exercise 24問題 24

13 a - 3 a

Exercise 25問題 25

Subtract

5 x^{6} from - 12 x^{6}

引き算をする：

5 x^{6} を次の式から引く： - 12 x^{6}

Solution解き方

−17x⁶

Exercise 26問題 26

Subtract

2 p^{4} from - 7 p^{4}

引き算をする：

2 p^{4} を次の式から引く： - 7 p^{4}

Exercises 27–44練習問題 27–44

Add and Subtract Polynomials

多項式の加法と減法

In the following exercises, add or subtract the polynomials.

次の練習問題では、多項式の足し算または引き算をする。

Exercise 27問題 27

(4 y^{2} + 10 y + 3) + (8 y^{2} - 6 y + 5)

Solution解き方

12y² + 4y + 8

Exercise 28問題 28

(7 x^{2} - 9 x + 2) + (6 x^{2} - 4 x + 3)

Exercise 29問題 29

(x^{2} + 6 x + 8) + (−4 x^{2} + 11 x - 9)

Solution解き方

−3x² + 17x − 1

Exercise 30問題 30

(y^{2} + 9 y + 4) + (−2 y^{2} - 5 y - 1)

Exercise 31問題 31

(3 a^{2} + 7) + (a^{2} - 7 a - 18)

Solution解き方

4a² − 7a − 11

Exercise 32問題 32

(p^{2} - 5 p - 11) + (3 p^{2} + 9)

Exercise 33問題 33

(6 m^{2} - 9 m - 3) - (2 m^{2} + m - 5)

Solution解き方

4m² − 10m + 2

Exercise 34問題 34

(3 n^{2} - 4 n + 1) - (4 n^{2} - n - 2)

Exercise 35問題 35

(z^{2} + 8 z + 9) - (z^{2} - 3 z + 1)

Solution解き方

11z + 8

Exercise 36問題 36

(z^{2} - 7 z + 5) - (z^{2} - 8 z + 6)

Exercise 37問題 37

(12 s^{2} - 15 s) - (s - 9)

Solution解き方

12s² − 16s + 9

Exercise 38問題 38

(10 r^{2} - 20 r) - (r - 8)

Exercise 39問題 39

Find the sum of

(2 p^{3} - 8)

and

(p^{2} + 9 p + 18)

(2 p^{3} - 8)

と

(p^{2} + 9 p + 18)

の和を求める。

Solution解き方

2p³ + p² + 9p + 10

Exercise 40問題 40

Find the sum of

(q^{2} + 4 q + 13)

and

(7 q^{3} - 3)

(q^{2} + 4 q + 13)

と

(7 q^{3} - 3)

の和を求める。

Exercise 41問題 41

Subtract

(7 x^{2} - 4 x + 2)

from

(8 x^{2} - x + 6)

(8 x^{2} - x + 6)

から

(7 x^{2} - 4 x + 2)

を引く。

Solution解き方

x² + 3x + 4

Exercise 42問題 42

Subtract

(5 x^{2} - x + 12)

from

(9 x^{2} - 6 x - 20)

(9 x^{2} - 6 x - 20)

から

(5 x^{2} - x + 12)

を引く。

Exercise 43問題 43

Find the difference of

(w^{2} + w - 42)

and

(w^{2} - 10 w + 24)

(w^{2} + w - 42)

と

(w^{2} - 10 w + 24)

の差を求める。

Solution解き方

11w − 66

Exercise 44問題 44

Find the difference of

(z^{2} - 3 z - 18)

and

(z^{2} + 5 z - 20)

(z^{2} - 3 z - 18)

と

(z^{2} + 5 z - 20)

の差を求める。

Exercises 45–50練習問題 45–50

Evaluate a Polynomial for a Given Value

与えられた値に対する多項式の値を求める

In the following exercises, evaluate each polynomial for the given value.

次の練習問題では、与えられた値に対する各多項式の値を求める。

Exercise 45問題 45

Evaluate 8 y^{2} - 3 y + 2

値を求める： 8 y^{2} - 3 y + 2

ⓐ $y = 5$
ⓑ $y = −2$
ⓒ $y = 0$

Solution解き方

ⓐ 187
ⓑ 40
ⓒ 2

Exercise 46問題 46

Evaluate 5 y^{2} - y - 7 when:

値を求める： 5 y^{2} - y - 7 （次の条件のとき）

ⓐ $y = −4$
ⓑ $y = 1$
ⓒ $y = 0$

Exercise 47問題 47

Evaluate 4 - 36 x when:

値を求める： 4 - 36 x （次の条件のとき）

ⓐ $x = 3$
ⓑ $x = 0$
ⓒ $x = −1$

Solution解き方

ⓐ −104
ⓑ 4
ⓒ 40

Exercise 48問題 48

Evaluate 16 - 36 x^{2} when:

値を求める： 16 - 36 x^{2} （次の条件のとき）

ⓐ $x = −1$
ⓑ $x = 0$
ⓒ $x = 2$

Exercise 49問題 49

A window washer drops a squeegee from a platform

275

feet high. The polynomial

−16 t^{2} + 275

gives the height of the squeegee

t

seconds after it was dropped. Find the height after

t = 4

seconds.

英語のヒント

窓拭きの作業員が、高さ

275

フィートの作業台から水切り用のスクイージーを落とした。多項式

−16 t^{2} + 275

は、落としてから

t

秒後のスクイージーの高さを表す。

t = 4

秒後の高さを求める。

Solution解き方

19 feet

19フィート

Exercise 50問題 50

A manufacturer of microwave ovens has found that the revenue received from selling microwaves at a cost of p dollars each is given by the polynomial

−5 p^{2} + 350 p .

Find the revenue received when

p = 50

dollars.

英語のヒント

電子レンジのメーカーは、1台pドルで販売したときの売上高が、多項式

−5 p^{2} + 350 p

で表せることを見いだした。

p = 50

ドルのときの売上高を求める。