第10章多項式

10.5 Integer Exponents and Scientific Notation10.5　整数の指数と科学的記数法

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Use the definition of a negative exponent
負の指数の定義を使う
Simplify expressions with integer exponents
整数の指数を含む式を簡単にする
Convert from decimal notation to scientific notation
通常の小数表記から科学的記数法に直す
Convert scientific notation to decimal form
科学的記数法から通常の小数表記に直す
Multiply and divide using scientific notation
科学的記数法を使って掛け算と割り算をする

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Use the Definition of a Negative Exponent負の指数の定義を使う

The Quotient Property of Exponents, introduced in Divide Monomials, had two forms depending on whether the exponent in the numerator or denominator was larger.

英語のヒント

「単項式の除法」で紹介した同じ底の累乗の商の性質には、分子と分母のどちらの指数が大きいかによって、2つの形があった。

What if we just subtract exponents, regardless of which is larger? Let’s consider

\frac{x^{2}}{x^{5}} .

英語のヒント

どちらが大きいかにかかわらず、単に指数を引いたらどうなるだろうか。

\frac{x^{2}}{x^{5}}

を考えよう。

We subtract the exponent in the denominator from the exponent in the numerator.

分子の指数から分母の指数を引く。

\frac{x^{2}}{x^{5}}

x^{2 - 5}

x^{−3}

We can also simplify

\frac{x^{2}}{x^{5}}

by dividing out common factors:

\frac{x^{2}}{x^{5}} .

共通の因数で割って、

\frac{x^{2}}{x^{5}}

を簡単にすることもできる：

\frac{x^{2}}{x^{5}}

分子がx×x、分母がx×x×x×x×xの分数。分子と分母でそれぞれ2つのxに赤い取り消し線がある。その下に1/x³が示される。

This implies that

x^{−3} = \frac{1}{x^{3}}

and it leads us to the definition of a negative exponent.

英語のヒント

このことは

x^{−3} = \frac{1}{x^{3}}

を意味し、ここから負の指数の定義が導かれる。

The negative exponent tells us to re-write the expression by taking the reciprocal of the base and then changing the sign of the exponent. Any expression that has negative exponents is not considered to be in simplest form. We will use the definition of a negative exponent and other properties of exponents to write an expression with only positive exponents.

英語のヒント

負の指数は、底を逆数にして指数の符号を変えることで式を書き直すように示している。負の指数がある式は、最も簡単な形とはみなさない。負の指数の定義と、指数に関するほかの性質を使い、正の指数だけを使った式に書き直す。

Example 10.63例題 10.63

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $4^{−2}$
ⓑ $10^{−3}$

Solution解答

ⓐ
	$4^{−2}$
Use the definition of a negative exponent, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$\frac{1}{4^{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{16}$

ⓑ
	$10^{−3}$
Use the definition of a negative exponent, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$\frac{1}{10^{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{1000}$

Try It (2)確認問題（2題）

When simplifying any expression with exponents, we must be careful to correctly identify the base that is raised to each exponent.

指数を含む式を簡単にするときは、それぞれの指数がどの底に付いているのか、正しく見分けるよう注意しなければならない。

Example 10.64例題 10.64

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ ${(−3)}^{−2}$
ⓑ ${−3}^{−2}$

Solution解答

The negative in the exponent does not affect the sign of the base.

指数が負であることは、底の符号には影響しない。

ⓐ
The exponent applies to the base, $- 3$ . 指数は底 $- 3$ に適用される。	${(−3)}^{−2}$
Take the reciprocal of the base and change the sign of the exponent. 底を逆数にし、指数の符号を変える。	$\frac{1}{{(−3)}^{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{9}$

ⓑ
The expression $- 3^{−2}$ means "find the opposite of $3^{−2}$ ". The exponent applies only to the base, 3. 式 $- 3^{−2}$ は「 $3^{−2}$ の符号を反対にした数を求める」という意味である。指数は底の3だけに適用される。	$- 3^{−2}$
Rewrite as a product with −1. −1との積として書き直す。	$−1 \cdot 3^{−2}$
Take the reciprocal of the base and change the sign of the exponent. 底を逆数にし、指数の符号を変える。	$−1 \cdot \frac{1}{3^{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{1}{9}$

Try It (2)確認問題（2題）

We must be careful to follow the order of operations. In the next example, parts ⓐ and ⓑ look similar, but we get different results.

計算の順序に注意しなければならない。次の例のⓐとⓑは似ているが、結果は異なる。

Example 10.65例題 10.65

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $4 \cdot 2^{−1}$
ⓑ ${(4 \cdot 2)}^{−1}$

Solution解答

Remember to always follow the order of operations.

常に計算の順序に従うことを忘れないようにしよう。

ⓐ
Do exponents before multiplication. 掛け算の前に累乗を計算する。	$4 \cdot 2^{−1}$
Use $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$4 \cdot \frac{1}{2^{1}}$
Simplify. 簡単にする。	$2$

ⓑ	${(4 \cdot 2)}^{−1}$
Simplify inside the parentheses first. まず括弧内を簡単にする。	${(8)}^{−1}$
Use $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$\frac{1}{8^{1}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{8}$

Try It (2)確認問題（2題）

When a variable is raised to a negative exponent, we apply the definition the same way we did with numbers.

変数に負の指数が付くときも、数の場合と同じように定義を適用する。

Example 10.66例題 10.66

Simplify:

x^{−6} .

次の式を簡単にする：

x^{−6}

Solution解答

	$x^{−6}$
Use the definition of a negative exponent, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 負の指数の定義 $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使う。	$\frac{1}{x^{6}}$

Try It (2)確認問題（2題）

When there is a product and an exponent we have to be careful to apply the exponent to the correct quantity. According to the order of operations, expressions in parentheses are simplified before exponents are applied. We’ll see how this works in the next example.

積と指数がある場合は、指数を正しい量に適用するよう注意が必要である。計算の順序では、括弧内の式を簡単にしてから累乗を計算する。次の例で確かめよう。

Example 10.67例題 10.67

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $5 y^{−1}$
ⓑ ${(5 y)}^{−1}$

Solution解答

ⓐ
Notice the exponent applies to just the base $y$ . 指数は底 $y$ だけに適用されることに注目する。	$5 y^{−1}$
Take the reciprocal of $y$ and change the sign of the exponent. $y$ を逆数にし、指数の符号を変える。	$5 \cdot \frac{1}{y^{1}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{5}{y}$

ⓑ
Here the parentheses make the exponent apply to the base $5 y$ . ここでは括弧があるため、指数は底 $5 y$ 全体に適用される。	${(5 y)}^{−1}$
Take the reciprocal of $5 y$ and change the sign of the exponent. $5 y$ を逆数にし、指数の符号を変える。	$\frac{1}{{(5 y)}^{1}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{5 y}$

ⓒ
	${(−5 y)}^{−1}$
The base is $- 5 y$ . Take the reciprocal of $- 5 y$ and change the sign of the exponent. 底は $- 5 y$ である。 $- 5 y$ を逆数にし、指数の符号を変える。	$\frac{1}{{(−5 y)}^{1}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{−5 y}$
Use $\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b} .$ $\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$ を使う。	$- \frac{1}{5 y}$

Try It (2)確認問題（2題）

Now that we have defined negative exponents, the Quotient Property of Exponents needs only one form,

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n},

where

a \neq 0

and m and n are integers.

負の指数を定義したので、同じ底の累乗の商の性質は、

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

という1つの形だけで表せる。ここで、

a \neq 0

であり、mとnは整数である。

When the exponent in the denominator is larger than the exponent in the numerator, the exponent of the quotient will be negative. If the result gives us a negative exponent, we will rewrite it by using the definition of negative exponents,

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .

分母の指数が分子の指数より大きいとき、商の指数は負になる。計算結果に負の指数が現れたら、負の指数の定義

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

を使って書き直す。

第10章多項式

10.5 Integer Exponents and Scientific Notation10.5 整数の指数と科学的記数法

Learning Objectives学習目標

Use the Definition of a Negative Exponent負の指数の定義を使う

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

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