第10章多項式

Simplify Expressions Using the Product to a Power Property積の累乗の性質を使って式を簡単にする

We will now look at an expression containing a product that is raised to a power. Look for a pattern.

次は、積を累乗する式を見る。規則を探そう。

	${(2 x)}^{3}$
What does this mean? これは何を意味するか。	$2 x \cdot 2 x \cdot 2 x$
We group the like factors together. 同じ因数どうしをまとめる。	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
How many factors of 2 and of $x ?$ 2という因数と $x$ という因数は、それぞれ何個あるか。	$2^{3} \cdot x^{3}$
Notice that each factor was raised to the power. それぞれの因数を累乗していることに注目する。	${(2 x)}^{3} is 2^{3} \cdot x^{3}$ ${(2 x)}^{3} は、次の式になる： 2^{3} \cdot x^{3}$
We write: 次のように書く：	${(2 x)}^{3}$ $2^{3} \cdot x^{3}$

The exponent applies to each of the factors. This leads to the Product to a Power Property for Exponents.

英語のヒント

指数はそれぞれの因数に適用される。ここから、積の累乗の性質が得られる。

An example with numbers helps to verify this property:

数を使った例で、この性質を確かめられる。

\begin{matrix} {(2 \cdot 3)}^{2} & \overset{?}{=} & 2^{2} \cdot 3^{2} \\ 6^{2} & \overset{?}{=} & 4 \cdot 9 \\ 36 & = & 36 ✓ \end{matrix}

Example 10.20例題 10.20

Simplify:

{(−11 x)}^{2} .

次の式を簡単にする：

{(−11 x)}^{2}

Solution解答

	${(−11 x)}^{2}$
Use the Power of a Product Property, ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m} .$ 積の累乗の性質 ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ を使う。
Simplify. 簡単にする。	$121 x^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.21例題 10.21

Simplify:

{(3 x y)}^{3} .

次の式を簡単にする：

{(3 x y)}^{3}

Solution解答

	${(3 x y)}^{3}$
Raise each factor to the third power. それぞれの因数を3乗する。
Simplify. 簡単にする。	$27 x^{3} y^{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions by Applying Several Properties複数の性質を使って式を簡単にする

We now have three properties for multiplying expressions with exponents. Let’s summarize them and then we’ll do some examples that use more than one of the properties.

指数を含む式の掛け算について、3つの性質が分かった。これらをまとめてから、複数の性質を使う例に取り組もう。

Example 10.22例題 10.22

Simplify:

{(x^{2})}^{6} {(x^{5})}^{4} .

次の式を簡単にする：

{(x^{2})}^{6} {(x^{5})}^{4}

Solution解答

	${(x^{2})}^{6} {(x^{5})}^{4}$
Use the Power Property. 累乗の累乗の性質を使う。	$x^{12} \cdot x^{20}$
Add the exponents. 指数を足す。	$x^{32}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.23例題 10.23

Simplify:

{(- 7 x^{3} y^{4})}^{2} .

次の式を簡単にする：

{(- 7 x^{3} y^{4})}^{2}

Solution解答

	${(- 7 x^{3} y^{4})}^{2}$
Take each factor to the second power. それぞれの因数を2乗する。	${(−7)}^{2} {(x^{3})}^{2} {(y^{4})}^{2}$
Use the Power Property. 累乗の累乗の性質を使う。	$49 x^{6} y^{8}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.24例題 10.24

Simplify:

{(6 n)}^{2} (4 n^{3}) .

次の式を簡単にする：

{(6 n)}^{2} (4 n^{3})

Solution解答

	${(6 n)}^{2} (4 n^{3})$
Raise $6 n$ to the second power. $6 n$ を2乗する。	$6^{2} n^{2} \cdot 4 n^{3}$
Simplify. 簡単にする。	$36 n^{2} \cdot 4 n^{3}$
Use the Commutative Property. 交換法則を使う。	$36 \cdot 4 \cdot n^{2} \cdot n^{3}$
Multiply the constants and add the exponents. 定数どうしを掛け、指数を足す。	$144 n^{5}$

Notice that in the first monomial, the exponent was outside the parentheses and it applied to both factors inside. In the second monomial, the exponent was inside the parentheses and so it only applied to the n.

英語のヒント

最初の単項式では、指数が括弧の外にあり、括弧内の両方の因数に適用されていた。2つ目の単項式では、指数が括弧の中にあるので、nだけに適用されていたことに注目しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.25例題 10.25

Simplify:

{(3 p^{2} q)}^{4} {(2 p q^{2})}^{3} .

次の式を簡単にする：

{(3 p^{2} q)}^{4} {(2 p q^{2})}^{3}

Solution解答

	${(3 p^{2} q)}^{4} {(2 p q^{2})}^{3}$
Use the Power of a Product Property. 積の累乗の性質を使う。	$3^{4} {(p^{2})}^{4} q^{4} \cdot 2^{3} p^{3} {(q^{2})}^{3}$
Use the Power Property. 累乗の累乗の性質を使う。	$81 p^{8} q^{4} \cdot 8 p^{3} q^{6}$
Use the Commutative Property. 交換法則を使う。	$81 \cdot 8 \cdot p^{8} \cdot p^{3} \cdot q^{4} \cdot q^{6}$
Multiply the constants and add the exponents for each variable. 定数どうしを掛け、それぞれの変数について指数を足す。	$648 p^{11} q^{10}$

Try It (2)確認問題（2題）

Multiply Monomials単項式の乗法

Since a monomial is an algebraic expression, we can use the properties for simplifying expressions with exponents to multiply the monomials.

単項式は代数式なので、指数を含む式を簡単にする性質を使って、単項式どうしを掛けられる。

Example 10.26例題 10.26

Multiply:

(4 x^{2}) (- 5 x^{3}) .

次の乗法を計算する：

(4 x^{2}) (- 5 x^{3})

Solution解答

	$(4 x^{2}) (- 5 x^{3})$
Use the Commutative Property to rearrange the factors. 交換法則を使って因数を並べ替える。	$4 \cdot (−5) \cdot x^{2} \cdot x^{3}$
Multiply. 掛ける。	$- 20 x^{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.27例題 10.27

Multiply:

(\frac{3}{4} c^{3} d) (12 c d^{2}) .

次の乗法を計算する：

(\frac{3}{4} c^{3} d) (12 c d^{2})

Solution解答

	$(\frac{3}{4} c^{3} d) (12 c d^{2})$
Use the Commutative Property to rearrange the factors. 交換法則を使って因数を並べ替える。	$\frac{3}{4} \cdot 12 \cdot c^{3} \cdot c \cdot d \cdot d^{2}$
Multiply. 掛ける。	$9 c^{4} d^{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Exponential Notation
指数表記

This is read $a$ to the $m^{th}$ power.
英語では「 $a$ to the $m^{th}$ power」と読む。
Product Property of Exponents
同じ底の累乗の積の性質
- If $a$ is a real number and $m, n$ are counting numbers, then
  $a$ が実数で、 $m, n$ が1以上の整数なら、次が成り立つ。
  
  $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
- To multiply with like bases, add the exponents.
  底が同じ累乗どうしを掛けるには、指数を足す。
Power Property for Exponents
累乗の累乗の性質
- If $a$ is a real number and $m, n$ are counting numbers, then
  $a$ が実数で、 $m, n$ が1以上の整数なら、次が成り立つ。
  
  ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$
Product to a Power Property for Exponents
積の累乗の性質
- If $a$ and $b$ are real numbers and $m$ is a whole number, then
  $a$ と $b$ が実数で、 $m$ が非負整数なら、次が成り立つ。
  
  ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 55–70練習問題 55–70

Simplify Expressions with Exponents

指数を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression with exponents.

次の練習問題では、指数を含むそれぞれの式を簡単にする。

Exercise 55問題 55

4^{5}

Solution解き方

1,024

Exercise 56問題 56

10^{3}

Exercise 57問題 57

{(\frac{1}{2})}^{2}

Solution解き方

\frac{1}{4}

Exercise 58問題 58

{(\frac{3}{5})}^{2}

Exercise 59問題 59

{(0.2)}^{3}

Solution解き方

0.008

Exercise 60問題 60

{(0.4)}^{3}

Exercise 61問題 61

{(−5)}^{4}

Solution解き方

625

Exercise 62問題 62

{(−3)}^{5}

Exercise 63問題 63

{−5}^{4}

Solution解き方

−625

Exercise 64問題 64

{−3}^{5}

Exercise 65問題 65

{−10}^{4}

Solution解き方

−10,000

Exercise 66問題 66

{−2}^{6}

Exercise 67問題 67

{(- \frac{2}{3})}^{3}

Solution解き方

- \frac{8}{27}

Exercise 68問題 68

{(- \frac{1}{4})}^{4}

Exercise 69問題 69

- {0.5}^{2}

Solution解き方

−0.25

Exercise 70問題 70

- {0.1}^{4}

Exercises 71–82練習問題 71–82

Simplify Expressions Using the Product Property of Exponents

同じ底の累乗の積の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression using the Product Property of Exponents.

次の練習問題では、同じ底の累乗の積の性質を使って、それぞれの式を簡単にする。

Exercise 71問題 71

x^{3} \cdot x^{6}

Solution解き方

x⁹

Exercise 72問題 72

m^{4} \cdot m^{2}

Exercise 73問題 73

a \cdot a^{4}

Solution解き方

a⁵

Exercise 74問題 74

y^{12} \cdot y

Exercise 75問題 75

3^{5} \cdot 3^{9}

Solution解き方

3¹⁴

Exercise 76問題 76

5^{10} \cdot 5^{6}

Exercise 77問題 77

z \cdot z^{2} \cdot z^{3}

Solution解き方

z⁶

Exercise 78問題 78

a \cdot a^{3} \cdot a^{5}

Exercise 79問題 79

x^{a} \cdot x^{2}

Solution解き方

x^a+2

Exercise 80問題 80

y^{p} \cdot y^{3}

Exercise 81問題 81

y^{a} \cdot y^{b}

Solution解き方

y^a+b

Exercise 82問題 82

x^{p} \cdot x^{q}

Exercises 83–94練習問題 83–94

Simplify Expressions Using the Power Property of Exponents

累乗の累乗の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression using the Power Property of Exponents.

次の練習問題では、累乗の累乗の性質を使って、それぞれの式を簡単にする。

Exercise 83問題 83

{(u^{4})}^{2}

Solution解き方

u⁸

Exercise 84問題 84

{(x^{2})}^{7}

Exercise 85問題 85

{(y^{5})}^{4}

Solution解き方

y²⁰

Exercise 86問題 86

{(a^{3})}^{2}

Exercise 87問題 87

{(10^{2})}^{6}

Solution解き方

10¹²

Exercise 88問題 88

{(2^{8})}^{3}

Exercise 89問題 89

{(x^{15})}^{6}

Solution解き方

x⁹⁰

Exercise 90問題 90

{(y^{12})}^{8}

Exercise 91問題 91

{(x^{2})}^{y}

Solution解き方

x^2y

Exercise 92問題 92

{(y^{3})}^{x}

Exercise 93問題 93

{(5^{x})}^{y}

Solution解き方

5^xy

Exercise 94問題 94

{(7^{a})}^{b}

Exercises 95–102練習問題 95–102

Simplify Expressions Using the Product to a Power Property

積の累乗の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression using the Product to a Power Property.

次の練習問題では、積の累乗の性質を使って、それぞれの式を簡単にする。

Exercise 95問題 95

{(5 a)}^{2}

Solution解き方

25a²

Exercise 96問題 96

{(7 x)}^{2}

Exercise 97問題 97

{(- 6 m)}^{3}

Solution解き方

−216m³

Exercise 98問題 98

{(- 9 n)}^{3}

Exercise 99問題 99

{(4 r s)}^{2}

Solution解き方

16r²s²

Exercise 100問題 100

{(5 a b)}^{3}

Exercise 101問題 101

{(4 x y z)}^{4}

Solution解き方

256x⁴y⁴z⁴

Exercise 102問題 102

{(- 5 a b c)}^{3}

Exercises 103–126練習問題 103–126

Simplify Expressions by Applying Several Properties

複数の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression.

次の練習問題では、それぞれの式を簡単にする。

Exercise 103問題 103

{(x^{2})}^{4} \cdot {(x^{3})}^{2}

Solution解き方

x¹⁴

Exercise 104問題 104

{(y^{4})}^{3} \cdot {(y^{5})}^{2}

Exercise 105問題 105

{(a^{2})}^{6} \cdot {(a^{3})}^{8}

Solution解き方

a³⁶

Exercise 106問題 106

{(b^{7})}^{5} \cdot {(b^{2})}^{6}

Exercise 107問題 107

{(3 x)}^{2} (5 x)

Solution解き方

45x³

Exercise 108問題 108

{(2 y)}^{3} (6 y)

Exercise 109問題 109

{(5 a)}^{2} {(2 a)}^{3}

Solution解き方

200a⁵

Exercise 110問題 110

{(4 b)}^{2} {(3 b)}^{3}

Exercise 111問題 111

{(2 m^{6})}^{3}

Solution解き方

8m¹⁸

Exercise 112問題 112

{(3 y^{2})}^{4}

Exercise 113問題 113

{(10 x^{2} y)}^{3}

Solution解き方

1,000x⁶y³

Exercise 114問題 114

{(2 m n^{4})}^{5}

Exercise 115問題 115

{(−2 a^{3} b^{2})}^{4}

Solution解き方

16a¹²b⁸

Exercise 116問題 116

{(−10 u^{2} v^{4})}^{3}

Exercise 117問題 117

{(\frac{2}{3} x^{2} y)}^{3}

Solution解き方

\frac{8}{27} x^{6} y^{3}

Exercise 118問題 118

{(\frac{7}{9} p q^{4})}^{2}

Exercise 119問題 119

{(8 a^{3})}^{2} {(2 a)}^{4}

Solution解き方

1,024a¹⁰

Exercise 120問題 120

{(5 r^{2})}^{3} {(3 r)}^{2}

Exercise 121問題 121

{(10 p^{4})}^{3} {(5 p^{6})}^{2}

Solution解き方

25,000p²⁴

Exercise 122問題 122

{(4 x^{3})}^{3} {(2 x^{5})}^{4}

Exercise 123問題 123

{(\frac{1}{2} x^{2} y^{3})}^{4} {(4 x^{5} y^{3})}^{2}

Solution解き方

x¹⁸y¹⁸

Exercise 124問題 124

{(\frac{1}{3} m^{3} n^{2})}^{4} {(9 m^{8} n^{3})}^{2}

Exercise 125問題 125

{(3 m^{2} n)}^{2} {(2 m n^{5})}^{4}

Solution解き方

144m⁸n²²

Exercise 126問題 126

{(2 p q^{4})}^{3} {(5 p^{6} q)}^{2}

Exercises 127–138練習問題 127–138

Multiply Monomials

単項式の乗法

In the following exercises, multiply the following monomials.

次の練習問題では、次の単項式どうしを掛ける。

Exercise 127問題 127

(12 x^{2}) (−5 x^{4})

Solution解き方

−60x⁶

Exercise 128問題 128

(−10 y^{3}) (7 y^{2})

Exercise 129問題 129

(−8 u^{6}) (−9 u)

Solution解き方

72u⁷

Exercise 130問題 130

(−6 c^{4}) (−12 c)

Exercise 131問題 131

(\frac{1}{5} r^{8}) (20 r^{3})

Solution解き方

4r¹¹

Exercise 132問題 132

(\frac{1}{4} a^{5}) (36 a^{2})

Exercise 133問題 133

(4 a^{3} b) (9 a^{2} b^{6})

Solution解き方

36a⁵b⁷

Exercise 134問題 134

(6 m^{4} n^{3}) (7 m n^{5})

Exercise 135問題 135

(\frac{4}{7} x y^{2}) (14 x y^{3})

Solution解き方

8x²y⁵

Exercise 136問題 136

(\frac{5}{8} u^{3} v) (24 u^{5} v)

Exercise 137問題 137

(\frac{2}{3} x^{2} y) (\frac{3}{4} x y^{2})

Solution解き方

\frac{1}{2} x^{3} y^{3}

Exercise 138問題 138

(\frac{3}{5} m^{3} n^{2}) (\frac{5}{9} m^{2} n^{3})