第10章多項式

10.3 Multiply Polynomials10.3　多項式の乗法

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Multiply a polynomial by a monomial
多項式に単項式を掛ける
Multiply a binomial by a binomial
二項式どうしを掛ける
Multiply a trinomial by a binomial
三項式に二項式を掛ける

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Multiply a Polynomial by a Monomial多項式に単項式を掛ける

In Distributive Property you learned to use the Distributive Property to simplify expressions such as

2 (x - 3) .

You multiplied both terms in the parentheses,

x and 3,

2,

to get

2 x - 6 .

With this chapter's new vocabulary, you can say you were multiplying a binomial,

x - 3,

by a monomial,

2 .

Multiplying a binomial by a monomial is nothing new for you!

「分配法則」では、

2 (x - 3)

のような式を分配法則で簡単にする方法を学んだ。括弧内の両方の項

x と 3

に

2

を掛け、

2 x - 6

を得た。この章の新しい用語でいえば、二項式

x - 3

に単項式

2

を掛けていたことになる。二項式に単項式を掛けることは、初めてのことではない。

Example 10.28例題 10.28

Multiply:

3 (x + 7) .

次の乗法を計算する：

3 (x + 7)

Solution解答

	$3 (x + 7)$
Distribute. 分配法則を使う。
	$3 \cdot x + 3 \cdot 7$
Simplify. 簡単にする。	$3 x + 21$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.29例題 10.29

Multiply:

x (x - 8) .

次の乗法を計算する：

x (x - 8)

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。

Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.30例題 10.30

Multiply:

10 x (4 x + y) .

次の乗法を計算する：

10 x (4 x + y)

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。

Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Multiplying a monomial by a trinomial works in much the same way.

単項式と三項式を掛けるときも、ほぼ同じように計算できる。

Example 10.31例題 10.31

Multiply:

−2 x (5 x^{2} + 7 x - 3) .

次の乗法を計算する：

−2 x (5 x^{2} + 7 x - 3)

Solution解答

	$−2 x (5 x^{2} + 7 x - 3)$
Distribute. 分配法則を使う。
	$−2 x \cdot 5 x^{2} + (−2 x) \cdot 7 x - (−2 x) \cdot 3$
Simplify. 簡単にする。	$−10 x^{3} - 14 x^{2} + 6 x$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.32例題 10.32

Multiply:

4 y^{3} (y^{2} - 8 y + 1) .

次の乗法を計算する：

4 y^{3} (y^{2} - 8 y + 1)

Solution解答

	$4 y^{3} (y^{2} - 8 y + 1)$
Distribute. 分配法則を使う。
	$4 y^{3} \cdot y^{2} - 4 y^{3} \cdot 8 y + 4 y^{3} \cdot 1$
Simplify. 簡単にする。	$4 y^{5} - 32 y^{4} + 4 y^{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Now we will have the monomial as the second factor.

今度は、単項式を2つ目の因数にする。

Example 10.33例題 10.33

Multiply:

(x + 3) p .

次の乗法を計算する：

(x + 3) p

Solution解答

	$(x + 3) p$
Distribute. 分配法則を使う。
	$x \cdot p + 3 \cdot p$
Simplify. 簡単にする。	$x p + 3 p$

Try It (2)確認問題（2題）

Multiply a Binomial by a Binomial二項式どうしを掛ける

Just like there are different ways to represent multiplication of numbers, there are several methods that can be used to multiply a binomial times a binomial.

数の掛け算にいくつもの表し方があるように、二項式どうしの掛け算にもいくつかの方法がある。

Using the Distributive Property分配法則を使う方法

We will start by using the Distributive Property. Look again at Example 10.33.

まず分配法則を使う。例題10.33をもう一度見よう。


We distributed the $p$ to get $p$ を分配して、次の式を得た。
What if we have $(x + 7)$ instead of $p$ ? $p$ の代わりに $(x + 7)$ だったら、どうなるだろうか。
Distribute $(x + 7)$ . $(x + 7)$ を分配する。
Distribute again. もう一度、分配法則を使う。	$x^{2} + 7 x + 3 x + 21$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$x^{2} + 10 x + 21$

Notice that before combining like terms, we had four terms. We multiplied the two terms of the first binomial by the two terms of the second binomial—four multiplications.

同類項をまとめる前には、4つの項があったことに注目しよう。最初の二項式の2つの項に、2つ目の二項式の2つの項をそれぞれ掛けたので、掛け算は4回になる。

Be careful to distinguish between a sum and a product.

英語のヒント

和と積を区別するように注意しよう。

\begin{matrix} Sum & Product \\ x + x & x \cdot x \\ 2 x & x^{2} \\ combine like terms & add exponents of like bases \end{matrix}

\begin{matrix} 和 & 積 \\ x + x & x \cdot x \\ 2 x & x^{2} \\ 同類項をまとめる & 底が同じ累乗の指数を足す \end{matrix}

Example 10.34例題 10.34

Multiply:

(x + 6) (x + 8) .

次の乗法を計算する：

(x + 6) (x + 8)

Solution解答

	$(x + 6) (x + 8)$

Distribute $(x + 8)$ . $(x + 8)$ を分配する。
Distribute again. もう一度、分配法則を使う。	$x^{2} + 8 x + 6 x + 48$
Simplify. 簡単にする。	$x^{2} + 14 x + 48$

Try It (2)確認問題（2題）

Now we'll see how to multiply binomials where the variable has a coefficient.

次に、変数に係数が付いている二項式どうしの掛け算を見てみよう。

Example 10.35例題 10.35

Multiply:

(2 x + 9) (3 x + 4) .

次の乗法を計算する：

(2 x + 9) (3 x + 4)

Solution解答

	$(2 x + 9) (3 x + 4)$
Distribute. $(3 x + 4)$ $(3 x + 4)$ を分配する。
Distribute again. もう一度、分配法則を使う。	$6 x^{2} + 8 x + 27 x + 36$
Simplify. 簡単にする。	$6 x^{2} + 35 x + 36$

Try It (2)確認問題（2題）

In the previous examples, the binomials were sums. When there are differences, we pay special attention to make sure the signs of the product are correct.

英語のヒント

これまでの例では、二項式は和だった。差がある場合には、積の符号が正しいかどうか、特に注意する。

Example 10.36例題 10.36

Multiply:

(4 y + 3) (6 y - 5) .

次の乗法を計算する：

(4 y + 3) (6 y - 5)

Solution解答

	$(4 y + 3) (6 y - 5)$
Distribute. 分配法則を使う。
Distribute again. もう一度、分配法則を使う。	$24 y^{2} - 20 y + 18 y - 15$
Simplify. 簡単にする。	$24 y^{2} - 2 y - 15$

Try It (2)確認問題（2題）

Up to this point, the product of two binomials has been a trinomial. This is not always the case.

英語のヒント

ここまでの二項式どうしの積は、三項式になっていた。しかし、いつもそうなるわけではない。

Example 10.37例題 10.37

Multiply:

(x + 2) (x - y) .

次の乗法を計算する：

(x + 2) (x - y)

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Distribute again. もう一度、分配法則を使う。
Simplify. 簡単にする。	There are no like terms to combine. まとめられる同類項はない。

Try It (2)確認問題（2題）

Using the FOIL MethodFOIL法を使う方法

Remember that when you multiply a binomial by a binomial you get four terms. Sometimes you can combine like terms to get a trinomial, but sometimes there are no like terms to combine. Let's look at the last example again and pay particular attention to how we got the four terms.

二項式どうしを掛けると、4つの項ができることを思い出そう。同類項をまとめて三項式にできる場合もあれば、まとめる同類項がない場合もある。直前の例をもう一度見て、4つの項をどのように得たのかに特に注目しよう。

(x + 2) (x - y)

x^{2} - xy + 2 x - 2 y

Where did the first term,

x^{2},

come from?

最初の項

x^{2}

は、どこから出てきたのだろうか。

It is the product of

x and x,

the first terms in

(x + 2) and (x - y) .

これは、

(x + 2) と (x - y)

のそれぞれ最初の項である

x と x

の積である。

The next term,

- xy,

is the product of

x and - y,

the two outer terms.

次の項

- xy

は、外側の2つの項

x と - y

の積である。

The third term,

+2 x,

is the product of

2 and x,

the two inner terms.

3つ目の項

+2 x

は、内側の2つの項

2 と x

の積である。

And the last term,

−2 y,

came from multiplying the two last terms.

最後の項

−2 y

は、それぞれの最後の項を掛けて得られた。

（x＋2）（x−y）が示される。最初のxから2つ目のx、最初のxからy、2からxへ黒い矢印がある。2からyへ赤い矢印があり、上に赤で「Last（最後の項）」と書かれる。

We abbreviate “First, Outer, Inner, Last” as FOIL. The letters stand for ‘First, Outer, Inner, Last’. The word FOIL is easy to remember and ensures we find all four products. We might say we use the FOIL method to multiply two binomials.

英語のヒント

「First、Outer、Inner、Last」を略してFOILと呼ぶ。それぞれの文字は「最初・外側・内側・最後」を表す。FOILという語は覚えやすく、4つの積を漏れなく求めるために役立つ。二項式どうしを掛けるときに、FOIL法を使うといえる。

（a＋b）（c＋d）が示される。aとcの上に「最初」、bとdの上に「最後」と書かれる。aとdを結ぶ波括弧に「外側」、bとcを結ぶ波括弧に「内側」と書かれる。

Let's look at

(x + 3) (x + 7)

again. Now we will work through an example where we use the FOIL pattern to multiply two binomials.

(x + 3) (x + 7)

をもう一度見よう。今度は、FOILの順序で二項式どうしを掛ける例を解いていく。

Example 10.38例題 10.38

Multiply using the FOIL method:

(x + 6) (x + 9) .

FOIL法を使って掛ける：

(x + 6) (x + 9)

Solution解答

Step 1: Multiply the First terms. 手順1：それぞれの最初の項どうしを掛ける。
Step 2: Multiply the Outer terms. 手順2：外側の項どうしを掛ける。
Step 3: Multiply the Inner terms. 手順3：内側の項どうしを掛ける。
Step 4: Multiply the Last terms. 手順4：それぞれの最後の項どうしを掛ける。
Step 5: Combine like terms, when possible. 手順5：同類項があればまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

We summarize the steps of the FOIL method below. The FOIL method only applies to multiplying binomials, not other polynomials!

FOIL法の手順を以下にまとめる。FOIL法が使えるのは二項式どうしの掛け算だけで、ほかの多項式には使えない。

Example 10.39例題 10.39

Multiply:

(y - 8) (y + 6) .

次の乗法を計算する：

(y - 8) (y + 6)

Solution解答

Step 1: Multiply the First terms. 手順1：それぞれの最初の項どうしを掛ける。
Step 2: Multiply the Outer terms. 手順2：外側の項どうしを掛ける。
Step 3: Multiply the Inner terms. 手順3：内側の項どうしを掛ける。
Step 4: Multiply the Last terms. 手順4：それぞれの最後の項どうしを掛ける。
Step 5: Combine like terms 手順5：同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.40例題 10.40

Multiply:

(2 a + 3) (3 a - 1) .

次の乗法を計算する：

(2 a + 3) (3 a - 1)

Solution解答



Multiply the First terms. それぞれの最初の項どうしを掛ける。
Multiply the Outer terms. 外側の項どうしを掛ける。
Multiply the Inner terms. 内側の項どうしを掛ける。
Multiply the Last terms. それぞれの最後の項どうしを掛ける。
Combine like terms. 同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.41例題 10.41

Multiply:

(5 x - y) (2 x - 7) .

次の乗法を計算する：

(5 x - y) (2 x - 7)

Solution解答



Multiply the First terms. それぞれの最初の項どうしを掛ける。
Multiply the Outer terms. 外側の項どうしを掛ける。
Multiply the Inner terms. 内側の項どうしを掛ける。
Multiply the Last terms. それぞれの最後の項どうしを掛ける。
Combine like terms. There are none. 同類項をまとめる。ここでは同類項はない。

Try It (2)確認問題（2題）

第10章多項式

10.3 Multiply Polynomials10.3 多項式の乗法

Learning Objectives学習目標

Multiply a Polynomial by a Monomial多項式に単項式を掛ける

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Multiply a Binomial by a Binomial二項式どうしを掛ける

Using the Distributive Property分配法則を使う方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Using the FOIL MethodFOIL法を使う方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

10.3 Multiply Polynomials10.3　多項式の乗法