プリンキピア

第5章積分

5.3 The Fundamental Theorem of Calculus5.3　微積分の基本定理

Learning Objectives学習目標

  • Describe the meaning of the Mean Value Theorem for Integrals.
    積分の平均値の定理の意味を説明する。
  • State the meaning of the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1.
    微積分の基本定理・第1部の意味を述べる。
  • Use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to evaluate derivatives of integrals.
    微積分の基本定理・第1部を使い、積分で定義された関数を微分する。
  • State the meaning of the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.
    微積分の基本定理・第2部の意味を述べる。
  • Use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, to evaluate definite integrals.
    微積分の基本定理・第2部を使って定積分を求める。
  • Explain the relationship between differentiation and integration.
    微分と積分の関係を説明する。
In the previous two sections, we looked at the definite integral and its relationship to the area under the curve of a function. Unfortunately, so far, the only tools we have available to calculate the value of a definite integral are geometric area formulas and limits of Riemann sums, and both approaches are extremely cumbersome. In this section we look at some more powerful and useful techniques for evaluating definite integrals.
英語のヒント
前の二つの節では、定積分と、関数の曲線の下の面積との関係を学んだ。しかし、ここまでに使える計算法は、幾何学の面積公式とリーマン和の極限だけであり、どちらもかなり手間がかかる。この節では、定積分を求めるための、もっと強力で役立つ方法を学ぶ。
These new techniques rely on the relationship between differentiation and integration. This relationship was discovered and explored by both Sir Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz (among others) during the late 1600s and early 1700s, and it is codified in what we now call the Fundamental Theorem of Calculus, which has two parts that we examine in this section. Its very name indicates how central this theorem is to the entire development of calculus.
英語のヒント
新しい方法の土台となるのは、微分と積分の関係である。この関係は、1600年代後半から1700年代初頭にかけて、アイザック・ニュートンやゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツらによって発見され、研究された。それをまとめたものが、現在「微積分の基本定理」と呼ばれる定理である。この節では、その二つの部分を調べる。名前からも、微積分の展開全体にとって、どれほど中心的な定理であるかがわかる。
Before we get to this crucial theorem, however, let’s examine another important theorem, the Mean Value Theorem for Integrals, which is needed to prove the Fundamental Theorem of Calculus.
この重要な定理に進む前に、その証明に必要なもう一つの定理、積分の平均値の定理を調べよう。

The Mean Value Theorem for Integrals積分の平均値の定理

The Mean Value Theorem for Integrals states that a continuous function on a closed interval takes on its average value at some point in that interval. The theorem guarantees that if f(x) is continuous, a point c exists in an interval [a,b] such that the value of the function at c is equal to the average value of f(x) over [a,b]. We state this theorem mathematically with the help of the formula for the average value of a function that we presented at the end of the preceding section.
英語のヒント
積分の平均値の定理は、閉区間上の連続関数が、その区間内のどこかで平均値と等しい値をとることを述べている。つまり、f(x) が連続ならば、区間 [a,b] の中に点 c が存在し、c での関数値が、区間 [a,b] 上での f(x) の平均値に等しくなる。前節の最後で示した平均値の公式を使い、これを数式で表そう。

Proof証明

Since f(x) is continuous on [a,b], by the extreme value theorem (see Maxima and Minima), it assumes minimum and maximum values—m and M, respectively—on [a,b]. Then, for all x in [a,b], we have m≤f(x)≤M. Therefore, by the comparison theorem (see The Definite Integral), we have
英語のヒント
f(x) は区間 [a,b] 上で連続なので、最大値・最小値の定理（「最大値と最小値」参照）より、区間 [a,b] で最小値 m と最大値 M をとる。したがって、区間 [a,b] のすべての x について m≤f(x)≤M が成り立つ。積分の比較定理（「定積分」参照）より、
m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).
m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)
Dividing by b−a gives us
b−a で割ると、
m≤1b−a∫abf(x)dx≤M.
m≤1b−a∫abf(x)dx≤M
Since 1b−a∫abf(x)dx is a number between m and M, and since f(x) is continuous and assumes the values m and M over [a,b], by the Intermediate Value Theorem (see Continuity), there is a number c over [a,b] such that
1b−a∫abf(x)dx は m と M の間の数である。また、f(x) は連続であり、区間 [a,b] で m と M の値をとる。よって中間値の定理（「連続性」参照）より、区間 [a,b] に、次式を満たす数 c が存在する。
f(c)=1b−a∫abf(x)dx,
f(c)=1b−a∫abf(x)dx
and the proof is complete.
これで証明が完了する。
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Example 5.15例題 5.15
Finding the Average Value of a Function関数の平均値を求める
Find the average value of the function f(x)=8−2x over the interval [0,4] and find c such that f(c) equals the average value of the function over [0,4].
区間 [0,4] 上での関数 f(x)=8−2x の平均値を求めよ。また、f(c) が区間 [0,4] 上での関数の平均値に等しくなるような c を求めよ。
Solution解き方
The formula states the mean value of f(x) is given by
公式によれば、f(x) の平均値は次式で与えられる。
14−0∫04(8−2x)dx.
14−0∫04(8−2x)dx
We can see in Figure 5.26 that the function represents a straight line and forms a right triangle bounded by the x- and y-axes. The area of the triangle is A=12(base)(height). We have
図5.26から、この関数のグラフは直線であり、x 軸と y 軸とともに直角三角形を作ることがわかる。三角形の面積は A=12(底辺)(高さ) なので、
A=12(4)(8)=16.
A=12(4)(8)=16
The average value is found by multiplying the area by 1/(4−0). Thus, the average value of the function is
面積に 1/(4−0) を掛けると平均値が得られる。したがって、関数の平均値は、
14(16)=4.
14(16)=4
Set the average value equal to f(c) and solve for c.
平均値を f(c) と等しくおき、c について解く。
8−2c=4c=2
At c=2,f(2)=4.
すなわち、c=2,f(2)=4 である。
右下がりの直線 f(x)=8−2x のグラフ。区間[0,4]に水平線 y=4 を描き、交点(2,4)から x 軸へ線を下ろしている。高さ4、幅4の長方形の領域を塗り、平均値を示している。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 5.26図 5.26
By the Mean Value Theorem, the continuous function f(x) takes on its average value at c at least once over a closed interval.
積分の平均値の定理により、閉区間上の連続関数 f(x) は、その区間内の少なくとも一つの c で平均値をとる。
Example 5.16例題 5.16
Finding the Point Where a Function Takes on Its Average Value関数が平均値をとる点を求める
Given ∫03x2dx=9, find c such that f(c) equals the average value of f(x)=x2 over [0,3].
∫03x2dx=9 とする。f(c) が、区間 [0,3] 上での f(x)=x2 の平均値に等しくなるような c を求めよ。
Solution解き方
We are looking for the value of c such that
求めたいのは、次式を満たす c の値である。
f(c)=13−0∫03x2dx=13(9)=3.
f(c)=13−0∫03x2dx=13(9)=3
Replacing f(c) with c2, we have
f(c) を c2 で置き換えると、
c2=3c=±3.
Since −3 is outside the interval, take only the positive value. Thus, c=3 (Figure 5.27).
−3 は区間の外にあるので、正の値だけを採用する。したがって、c=3 である（図5.27）。
放物線 f(x)=x² のグラフ。区間[0,3]で曲線と x 軸の間を塗り、平均値3をとる点(√3,3)を示している。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 5.27図 5.27
Over the interval [0,3], the function f(x)=x2 takes on its average value at c=3.
区間 [0,3] 上で、関数 f(x)=x2 は c=3 において平均値をとる。