第5章積分

Integrals Involving Logarithmic Functions対数関数に関係する積分

Example 5.45例題 5.45

Finding an Antiderivative Involving $\text{ln}x$$\text{ln}x$ に関係する原始関数を求める

Find the antiderivative of the function $\frac{3}{x-10}.$

関数 $\frac{3}{x-10}$ の原始関数を求めよ。

Solution解き方

First factor the 3 outside the integral symbol. Then use the u⁻¹ rule. Thus,

まず3を積分記号の外に出し、その後 u⁻¹ の積分公式を使う。したがって、

$\begin{array}{ll}{\displaystyle \int \frac{3}{x-10}dx}\hfill & =3{\displaystyle \int \frac{1}{x-10}dx}\hfill \\ \\ \\ & =3{\displaystyle \int \frac{du}{u}}\hfill \\ & =3\text{ln}\left|u\right|+C\hfill \\ & =3\text{ln}\left|x-10\right|+C,x\ne 10.\hfill \end{array}$

See Figure 5.39.

図5.39を参照。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Key Concepts重要な概念

• Exponential and logarithmic functions arise in many real-world applications, especially those involving growth and decay.

  指数関数と対数関数は、成長や減衰をはじめとする、さまざまな現実の応用に現れる。
• Substitution is often used to evaluate integrals involving exponential functions or logarithms.

  指数関数や対数を含む積分では、置換がよく使われる。

Key Equations重要な式

Exercises 383–390練習問題 383–390

The following exercises are intended to derive the fundamental properties of the natural log starting from the definition $\text{ln}\left(x\right)={\displaystyle {\int }_1^x\frac{dt}{t}},$ using properties of the definite integral and making no further assumptions.

英語のヒント

以下の問題では、定義 $\text{ln}\left(x\right)={\displaystyle {\int }_1^x\frac{dt}{t}}$ から出発し、定積分の性質だけを使って、自然対数の基本性質を導く。それ以外の性質は仮定しないこと。

Exercise 383問題 383

Use the identity $\text{ln}\left(x\right)={\displaystyle {\int }_1^x\frac{dt}{t}}$ to derive the identity $\text{ln}\left(\frac{1}{x}\right)=\text{−}\text{ln}x.$

恒等式 $\text{ln}\left(x\right)={\displaystyle {\int }_1^x\frac{dt}{t}}$ を使って、$\text{ln}\left(\frac{1}{x}\right)=\text{−}\text{ln}x$ を導け。

Solution解き方

We may assume that $x>1,\text{so}\frac{1}{x}<1.$ Then, ${\displaystyle {\int }_1^{1\text{/}x}\frac{dt}{t}}.$ Now make the substitution $u=\frac{1}{t},$ so $du=-\frac{dt}{t^2}$ and $\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t},$ and change endpoints: ${\displaystyle {\int }_1^{1\text{/}x}\frac{dt}{t}}=\text{−}{\displaystyle {\int }_1^x\frac{du}{u}}=\text{−}\text{ln}x.$

$x>1,\text{したがって}\frac{1}{x}<1$ としてよい。考える積分は ${\displaystyle {\int }_1^{1\text{/}x}\frac{dt}{t}}$ である。$u=\frac{1}{t}$ と置換すると $du=-\frac{dt}{t^2}$、$\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t}$ となる。端点も変えると、${\displaystyle {\int }_1^{1\text{/}x}\frac{dt}{t}}=\text{−}{\displaystyle {\int }_1^x\frac{du}{u}}=\text{−}\text{ln}x$ が得られる。

Exercise 384問題 384

Use a change of variable in the integral ${\displaystyle {\int }_1^{xy}\frac{1}{t}dt}$ to show that $\text{ln}xy=\text{ln}x+\text{ln}y\text{for}x,y>0.$

積分 ${\displaystyle {\int }_1^{xy}\frac{1}{t}dt}$ で変数変換を行い、$\text{ln}xy=\text{ln}x+\text{ln}y\text{ただし}x,y>0$ を示せ。

Exercise 385問題 385

Use the identity $\text{ln}x={\displaystyle {\int }_1^x\frac{dt}{t}}$ to show that $\text{ln}(x)$ is an increasing function of x on $(0,\infty ),$ and use the previous exercises to show that the range of $\text{ln}(x)$ is $\left(\text{−}\infty ,\infty \right).$ Without any further assumptions, conclude that $\text{ln}(x)$ has an inverse function defined on $\left(\text{−}\infty ,\infty \right).$

恒等式 $\text{ln}x={\displaystyle {\int }_1^x\frac{dt}{t}}$ を使い、$\text{ln}(x)$ が区間 $(0,\infty )$ 上で x の増加関数であることを示せ。前の各問を使って、$\text{ln}(x)$ の値域が $\left(\text{−}\infty ,\infty \right)$ であることも示せ。追加の仮定をせずに、$\text{ln}(x)$ が $\left(\text{−}\infty ,\infty \right)$ 上で定義された逆関数を持つと結論せよ。

Solution解き方

Answers will vary.

解答は一通りではない。

Exercise 386問題 386

Pretend, for the moment, that we do not know that $e^x$ is the inverse function of $\text{ln}(x),$ but keep in mind that $\text{ln}(x)$ has an inverse function defined on $\left(\text{−}\infty ,\infty \right).$ Call it E. Use the identity $\text{ln}xy=\text{ln}x+\text{ln}y$ to deduce that $E\left(a+b\right)=E\left(a\right)E\left(b\right)$ for any real numbers a, b.

英語のヒント

いったん、$e^x$ が $\text{ln}(x)$ の逆関数であることを知らないとしよう。ただし、$\text{ln}(x)$ が $\left(\text{−}\infty ,\infty \right)$ 上で定義された逆関数を持つことは使ってよい。その逆関数を E と呼ぶ。恒等式 $\text{ln}xy=\text{ln}x+\text{ln}y$ から、任意の実数 a、b について $E\left(a+b\right)=E\left(a\right)E\left(b\right)$ が成り立つことを導け。

Exercise 387問題 387

Pretend, for the moment, that we do not know that $e^x$ is the inverse function of $\text{ln}x,$ but keep in mind that $\text{ln}x$ has an inverse function defined on $\left(\text{−}\infty ,\infty \right).$ Call it E. Show that $E\text{'}\left(t\right)=E\left(t\right).$

いったん、$e^x$ が $\text{ln}x$ の逆関数であることを知らないとする。ただし、$\text{ln}x$ が $\left(\text{−}\infty ,\infty \right)$ 上で定義された逆関数を持つことは使ってよい。その逆関数を E と呼び、$E\text{'}\left(t\right)=E\left(t\right)$ を示せ。

Solution解き方

$x=E\left(\text{ln}\left(x\right)\right).$ Then, $1=\frac{E\text{'}\left(\text{ln}x\right)}{x}\text{or}x=E\text{'}\left(\text{ln}x\right).$ Since any number t can be written $t=\text{ln}x$ for some x, and for such t we have $x=E\left(t\right),$ it follows that for any $t,E\text{'}\left(t\right)=E\left(t\right).$

$x=E\left(\text{ln}\left(x\right)\right)$ である。微分すると $1=\frac{E\text{'}\left(\text{ln}x\right)}{x}\text{または}x=E\text{'}\left(\text{ln}x\right)$ となる。任意の数 t は、ある x を使って $t=\text{ln}x$ と書け、そのとき $x=E\left(t\right)$ である。したがって、任意の $t,E\text{'}\left(t\right)=E\left(t\right)$ が成り立つ。

Exercise 388問題 388

The sine integral, defined as $S\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^x\frac{\text{sin}t}{t}dt}$ is an important quantity in engineering. Although it does not have a simple closed formula, it is possible to estimate its behavior for large x. Show that for $k\ge 1,\left|S\left(2\pi k\right)-S\left(2\pi \left(k+1\right)\right)\right|\le \frac{1}{k\left(2k+1\right)\pi }.$ $\text{(}Hint\text{:}\text{sin}\left(t+\pi \right)=\text{−}\text{sin}t\text{)}$

英語のヒント

$S\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^x\frac{\text{sin}t}{t}dt}$ で定義される正弦積分は、工学で重要な量である。簡単な閉じた式では表せないが、大きい x での振る舞いは評価できる。$k\ge 1,\left|S\left(2\pi k\right)-S\left(2\pi \left(k+1\right)\right)\right|\le \frac{1}{k\left(2k+1\right)\pi }$ を示せ。$\text{(}Hint\text{:}\text{sin}\left(t+\pi \right)=\text{−}\text{sin}t\text{)}$

Exercise 389問題 389

[T] The normal distribution in probability is given by $p\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{\text{−}{\left(x-\mu \right)}^2\text{/}2{\sigma }^2},$ where σ is the standard deviation and μ is the average. The standard normal distribution in probability, $p_s,$ corresponds to $\mu =0\text{and}\sigma =1.$ Compute the right endpoint estimates $R_{10}\text{and}{R}_{100}$ of ${\int }_{\mathrm{-1}}^1\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\text{−}\frac{x^2}{2}}dx.$

[T] 確率の正規分布は $p\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{\text{−}{\left(x-\mu \right)}^2\text{/}2{\sigma }^2}$ で与えられる。σ は標準偏差、μ は平均である。標準正規分布 $p_s$ は、$\mu =0\text{および}\sigma =1$ の場合に対応する。${\int }_{\mathrm{-1}}^1\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\text{−}\frac{x^2}{2}}dx$ の右端近似 $R_{10}\text{および}{R}_{100}$ を求めよ。

Solution解き方

$R_{10}=0.6811,R_{100}=0.6827$

$R_{10}=0.6811,R_{100}=0.6827$

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 390問題 390

[T] Compute the right endpoint estimates $R_{50}\text{and}{R}_{100}$ of ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-3}}^5\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{\text{−}{\left(x-1\right)}^2\text{/}8}.}$

[T] ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-3}}^5\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{\text{−}{\left(x-1\right)}^2\text{/}8}}$ の右端近似 $R_{50}\text{および}{R}_{100}$ を求めよ。