第5章積分

Fundamental Theorem of Calculus Part 1: Integrals and Antiderivatives微積分の基本定理・第1部：積分と原始関数

As mentioned earlier, the Fundamental Theorem of Calculus is an extremely powerful theorem that establishes the relationship between differentiation and integration, and gives us a way to evaluate definite integrals without using Riemann sums or calculating areas. The theorem is comprised of two parts, the first of which, the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, is stated here. Part 1 establishes the relationship between differentiation and integration.

英語のヒント

微積分の基本定理は、微分と積分の関係を明らかにする強力な定理である。リーマン和や面積計算を使わずに定積分を求める方法も与えてくれる。この定理は二つの部分からなる。まず第1部を示そう。第1部は、微分と積分の関係を確立する。

Before we delve into the proof, a couple of subtleties are worth mentioning here. First, a comment on the notation. Note that we have defined a function,

F (x),

as the definite integral of another function,

f (t),

from the point a to the point x. At first glance, this is confusing, because we have said several times that a definite integral is a number, and here it looks like it’s a function. The key here is to notice that for any particular value of x, the definite integral is a number. So the function

F (x)

returns a number (the value of the definite integral) for each value of x.

英語のヒント

証明に入る前に、少し注意が必要な点を確認しておこう。まず記法についてである。ここでは、別の関数

f (t)

を a から x まで定積分することによって、関数

F (x)

を定義している。定積分は一つの数だと何度も述べたのに、ここでは関数のように見えるので、最初は戸惑うかもしれない。大事なのは、x を一つ決めるたびに、その定積分が一つの数に決まるという点である。つまり関数

F (x)

は、各 x に対して定積分の値という数を返す。

Second, it is worth commenting on some of the key implications of this theorem. There is a reason it is called the Fundamental Theorem of Calculus. Not only does it establish a relationship between integration and differentiation, but also it guarantees that any integrable function has an antiderivative.

英語のヒント

もう一つ、この定理が持つ重要な意味を確認しよう。「微積分の基本定理」と呼ばれるのには理由がある。微分と積分の関係を示すだけでなく、この定理の仮定を満たす連続関数には原始関数が存在することも保証している。原文の「積分可能な関数ならどれでも」という表現は広すぎる。ここで原始関数の存在を保証するのは連続性であり、積分可能であるだけでは十分でない。

Proof証明

Applying the definition of the derivative, we have

導関数の定義を使うと、

\begin{matrix} F^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{F (x + h) - F (x)}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} [\int_{a}^{x + h} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t] \\ = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} [\int_{a}^{x + h} f (t) d t + \int_{x}^{a} f (t) d t] \\ = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t . \end{matrix}

Looking carefully at this last expression, we see

\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t

is just the average value of the function

f (x)

over the interval

[x, x + h] .

Therefore, by Theorem 5.3, there is some number c in

[x, x + h]

such that

最後の式をよく見ると、

\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t

は、区間

[x, x + h]

上での関数

f (x)

の平均値そのものである。したがって定理5.3より、区間

[x, x + h]

に次式を満たす数 c が存在する。

\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (x) d x = f (c) .

\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (x) d x = f (c)

In addition, since c is between x and x + h, c approaches x as h approaches zero. Also, since

f (x)

is continuous, we have

lim_{h \to 0} f (c) = lim_{c \to x} f (c) = f (x) .

Putting all these pieces together, we have

さらに、c は x と x+h の間にあるので、h が0に近づくと c は x に近づく。また、

f (x)

は連続だから

lim_{h \to 0} f (c) = lim_{c \to x} f (c) = f (x)

である。以上をまとめると、

\begin{matrix} F^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (x) d x \\ = lim_{h \to 0} f (c) \\ = f (x), \end{matrix}

and the proof is complete.

これで証明が完了する。

□

Example 5.17例題 5.17

Finding a Derivative with the Fundamental Theorem of Calculus微積分の基本定理で導関数を求める

Use the Theorem 5.4 to find the derivative of

定理5.4を使って、次の関数の導関数を求めよ。

g (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{3} + 1} d t .

g (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{3} + 1} d t

Solution解き方

According to the Fundamental Theorem of Calculus, the derivative is given by

微積分の基本定理より、導関数は次のようになる。

g^{'} (x) = \frac{1}{x^{3} + 1} .

g^{'} (x) = \frac{1}{x^{3} + 1}

Example 5.18例題 5.18

Using the Fundamental Theorem and the Chain Rule to Calculate Derivatives基本定理と連鎖律で導関数を求める

Let

F (x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} sin t d t .

Find

F^{'} (x) .

F (x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} sin t d t

とする。

F^{'} (x)

を求めよ。

Solution解き方

Letting

u (x) = \sqrt{x},

we have

F (x) = \int_{1}^{u (x)} sin t d t .

Thus, by the Fundamental Theorem of Calculus and the chain rule,

u (x) = \sqrt{x}

とおくと、

F (x) = \int_{1}^{u (x)} sin t d t

である。微積分の基本定理と連鎖律より、

\begin{matrix} F^{'} (x) & = sin (u (x)) \frac{d u}{d x} \\ = sin (u (x)) \cdot (\frac{1}{2} x^{−1 / 2}) \\ = \frac{sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} . \end{matrix}

Example 5.19例題 5.19

Using the Fundamental Theorem of Calculus with Two Variable Limits of Integration積分区間の両端が変数である場合の基本定理

Let

F (x) = \int_{x}^{2 x} t^{3} d t .

Find

F^{'} (x) .

F (x) = \int_{x}^{2 x} t^{3} d t

とする。

F^{'} (x)

を求めよ。

Solution解き方

We have

F (x) = \int_{x}^{2 x} t^{3} d t .

Both limits of integration are variable, so we need to split this into two integrals. We get

F (x) = \int_{x}^{2 x} t^{3} d t

である。積分区間の両端がともに変数なので、二つの積分に分ける必要がある。すると、

\begin{matrix} F (x) & = \int_{x}^{2 x} t^{3} d t \\ = \int_{x}^{0} t^{3} d t + \int_{0}^{2 x} t^{3} d t \\ = − \int_{0}^{x} t^{3} d t + \int_{0}^{2 x} t^{3} d t . \end{matrix}

Differentiating the first term, we obtain

第1項を微分すると、

\frac{d}{d x} [− \int_{0}^{x} t^{3} d t] = − x^{3} .

\frac{d}{d x} [− \int_{0}^{x} t^{3} d t] = − x^{3}

Differentiating the second term, we first let

u (x) = 2 x .

Then,

第2項を微分するため、まず

u (x) = 2 x

とおく。すると、

\begin{matrix} \frac{d}{d x} [\int_{0}^{2 x} t^{3} d t] & = \frac{d}{d x} [\int_{0}^{u (x)} t^{3} d t] \\ = {(u (x))}^{3} \frac{d u}{d x} \\ = {(2 x)}^{3} \cdot 2 \\ = 16 x^{3} . \end{matrix}

Thus,

したがって、

\begin{matrix} F^{'} (x) & = \frac{d}{d x} [− \int_{0}^{x} t^{3} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{0}^{2 x} t^{3} d t] \\ = − x^{3} + 16 x^{3} \\ = 15 x^{3} . \end{matrix}

Fundamental Theorem of Calculus, Part 2: The Evaluation Theorem微積分の基本定理・第2部：定積分の計算

The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, is perhaps the most important theorem in calculus. After tireless efforts by mathematicians for approximately 500 years, new techniques emerged that provided scientists with the necessary tools to explain many phenomena. Using calculus, astronomers could finally determine distances in space and map planetary orbits. Everyday financial problems such as calculating marginal costs or predicting total profit could now be handled with simplicity and accuracy. Engineers could calculate the bending strength of materials or the three-dimensional motion of objects. Our view of the world was forever changed with calculus.

英語のヒント

微積分の基本定理・第2部は、微積分で最も重要な定理といえるかもしれない。数学者たちが約500年にわたって努力を重ねた末、多くの現象を説明する道具となる新しい方法が生まれた。天文学者は微積分を使って宇宙の距離や惑星の軌道を求められるようになった。限界費用の計算や総利益の予測といった経済の問題も、簡潔かつ正確に扱えるようになった。技術者は、材料の曲げ強度や物体の三次元運動を計算できるようになった。微積分は、私たちの世界観を大きく変えたのである。

After finding approximate areas by adding the areas of n rectangles, the application of this theorem is straightforward by comparison. It almost seems too simple that the area of an entire curved region can be calculated by just evaluating an antiderivative at the first and last endpoints of an interval.

英語のヒント

n 個の長方形の面積を足して近似面積を求める作業と比べると、この定理の使い方は簡単である。原始関数の値を区間の両端で求めるだけで、曲がった領域全体の面積がわかるとは、簡単すぎるようにさえ思える。

We often see the notation

{F (x) |}_{a}^{b}

to denote the expression

F (b) - F (a) .

We use this vertical bar and associated limits a and b to indicate that we should evaluate the function

F (x)

at the upper limit (in this case, b), and subtract the value of the function

F (x)

evaluated at the lower limit (in this case, a).

F (b) - F (a)

を表すために、

{F (x) |}_{a}^{b}

という記法をよく使う。縦線と、その上下に付けた a、b は、上端 b での

F (x)

の値から、下端 a での

F (x)

の値を引くことを示している。

The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2 (also known as the evaluation theorem) states that if we can find an antiderivative for the integrand, then we can evaluate the definite integral by evaluating the antiderivative at the endpoints of the interval and subtracting.

微積分の基本定理・第2部（定積分の評価定理ともいう）によれば、被積分関数の原始関数がわかれば、区間の両端での原始関数の値を求め、その差をとるだけで定積分を計算できる。

Proof証明

Let

P = {x_{i}}, i = 0, 1,…, n

be a regular partition of

[a, b] .

Then, we can write

P = {x_{i}}, i = 0, 1,…, n

を区間

[a, b]

の等分割とする。すると、次のように書ける。

\begin{matrix} F (b) - F (a) & = F (x_{n}) - F (x_{0}) \\ = [F (x_{n}) - F (x_{n - 1})] + [F (x_{n - 1}) - F (x_{n - 2})] + … + [F (x_{1}) - F (x_{0})] \\ = \sum_{i = 1}^{n} [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] . \end{matrix}

Now, we know F is an antiderivative of f over

[a, b],

so by the Mean Value Theorem (see The Mean Value Theorem) for

i = 1,…, n

we can find

c_{i}

[x_{i - 1}, x_{i}]

such that

F は区間

[a, b]

上で f の原始関数である。平均値の定理（「平均値の定理」参照）より、

i = 1,…, n

に対して、区間

[x_{i - 1}, x_{i}]

に次式を満たす

c_{i}

を選べる。

F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) = F^{'} (c_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = f (c_{i}) Δ x .

F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) = F^{'} (c_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = f (c_{i}) Δ x

Then, substituting into the previous equation, we have

これを前の等式に代入すると、

F (b) - F (a) = \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x .

F (b) - F (a) = \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x

Taking the limit of both sides as

n \to \infty,

we obtain

両辺で

n \to \infty

の極限をとると、

\begin{matrix} F (b) - F (a) & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x \\ = \int_{a}^{b} f (x) d x . \end{matrix}

□

Example 5.20例題 5.20

Evaluating an Integral with the Fundamental Theorem of Calculus微積分の基本定理で積分を求める

Use Theorem 5.5 to evaluate

定理5.5を使って、次の積分を求めよ。

\int_{−2}^{2} (t^{2} - 4) d t .

\int_{−2}^{2} (t^{2} - 4) d t

Solution解き方

Recall the power rule for Antiderivatives:

原始関数を求める累乗の公式を思い出そう。

If y = x^{n}, \int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C .

条件： y = x^{n}, \int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

Use this rule to find the antiderivative of the function and then apply the theorem. We have

この公式で原始関数を求め、定理を適用する。すると、

\begin{matrix} \int_{−2}^{2} (t^{2} - 4) d t & = \frac{t^{3}}{3} - {4 t |}_{−2}^{2} \\ = [\frac{{(2)}^{3}}{3} - 4 (2)] - [\frac{{(−2)}^{3}}{3} - 4 (−2)] \\ = (\frac{8}{3} - 8) - (- \frac{8}{3} + 8) \\ = \frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 \\ = \frac{16}{3} - 16 \\ = - \frac{32}{3} . \end{matrix}

Analysis考察

Notice that we did not include the “+ C” term when we wrote the antiderivative. The reason is that, according to the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, any antiderivative works. So, for convenience, we chose the antiderivative with

C = 0 .

If we had chosen another antiderivative, the constant term would have canceled out. This always happens when evaluating a definite integral.

英語のヒント

原始関数を書くときに「+C」を付けなかったことに注意しよう。微積分の基本定理・第2部では、どの原始関数を使ってもよい。そのため、便利な

C = 0

の原始関数を選んだのである。別の原始関数を選んでも、差をとる際に定数項は相殺される。定積分の計算では、常にこのことが起こる。

The region of the area we just calculated is depicted in Figure 5.28. Note that the region between the curve and the x-axis is all below the x-axis. Area is always positive, but a definite integral can still produce a negative number (a net signed area). For example, if this were a profit function, a negative number indicates the company is operating at a loss over the given interval.

英語のヒント

計算した領域を図5.28に示す。曲線と x 軸に挟まれた領域は、すべて x 軸より下にある。通常の面積は正だが、定積分は符号付き面積なので、負の値をとることがある。例えばこれが利益の関数なら、負の値は、その期間に会社が赤字であることを表す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 5.28図 5.28

The evaluation of a definite integral can produce a negative value, even though area is always positive.

通常の面積は正だが、定積分の計算結果は負になる場合もある。

Example 5.21例題 5.21

Evaluating a Definite Integral Using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2微積分の基本定理・第2部で定積分を求める

Evaluate the following integral using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2:

微積分の基本定理・第2部を使って、次の積分を求めよ。

\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x .

\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x

Solution解き方

First, eliminate the radical by rewriting the integral using rational exponents. Then, separate the numerator terms by writing each one over the denominator:

まず有理数の指数を使って書き直し、根号をなくす。次に、分子の各項をそれぞれ分母で割った形に分ける。

\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{x^{1 / 2}} d x = \int_{1}^{9} (\frac{x}{x^{1 / 2}} - \frac{1}{x^{1 / 2}}) d x .

Use the properties of exponents to simplify:

指数法則を使って簡単にすると、

\int_{1}^{9} (\frac{x}{x^{1 / 2}} - \frac{1}{x^{1 / 2}}) d x = \int_{1}^{9} (x^{1 / 2} - x^{−1 / 2}) d x .

Now, integrate using the power rule:

累乗の公式で積分すると、

\begin{matrix} \int_{1}^{9} (x^{1 / 2} - x^{- 1 / 2}) d x & = {(\frac{x^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{1 / 2}}{\frac{1}{2}}) |}_{1}^{9} \\ = [\frac{{(9)}^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} - \frac{{(9)}^{1 / 2}}{\frac{1}{2}}] - [\frac{{(1)}^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} - \frac{{(1)}^{1 / 2}}{\frac{1}{2}}] \\ = [\frac{2}{3} (27) - 2 (3)] - [\frac{2}{3} (1) - 2 (1)] \\ = 18 - 6 - \frac{2}{3} + 2 \\ = \frac{40}{3} . \end{matrix}

See Figure 5.29.

図5.29を参照。

関数 f(x)=(x−1)/√x のグラフ。区間[1,9]で、グラフの下にある領域を塗っている。 — Figure 5.29図 5.29
The area under the curve from $x = 1$ to $x = 9$ can be calculated by evaluating a definite integral.
$x = 1$ から $x = 9$ までの曲線の下の面積は、定積分で求められる。

Example 5.22例題 5.22

A Roller-Skating Raceローラースケートの競走

James and Kathy are racing on roller skates. They race along a long, straight track, and whoever has gone the farthest after 5 sec wins a prize. If James can skate at a velocity of

f (t) = 5 + 2 t

ft/sec and Kathy can skate at a velocity of

g (t) = 10 + cos (\frac{π}{2} t)

ft/sec, who is going to win the race?

英語のヒント

ジェームズとキャシーがローラースケートで競走する。長い直線コースを進み、5秒後に最も遠くへ進んでいたほうが賞品をもらう。ジェームズの速度が

f (t) = 5 + 2 t

フィート毎秒、キャシーの速度が

g (t) = 10 + cos (\frac{π}{2} t)

フィート毎秒なら、勝つのはどちらか。

Solution解き方

We need to integrate both functions over the interval

[0, 5]

and see which value is bigger. For James, we want to calculate

両方の関数を区間

[0, 5]

で積分し、大きい値を比べればよい。ジェームズについては、次の積分を求める。

\int_{0}^{5} (5 + 2 t) d t .

\int_{0}^{5} (5 + 2 t) d t

Using the power rule, we have

累乗の公式を使うと、

\begin{matrix} \int_{0}^{5} (5 + 2 t) d t & = {(5 t + t^{2}) |}_{0}^{5} \\ = (25 + 25) = 50. \end{matrix}

Thus, James has skated 50 ft after 5 sec. Turning now to Kathy, we want to calculate

したがって、ジェームズは5秒間で50フィート進む。次にキャシーについて、次の積分を求める。

\int_{0}^{5} 10 + cos (\frac{π}{2} t) d t .

\int_{0}^{5} 10 + cos (\frac{π}{2} t) d t

We know

sin t

is an antiderivative of

cos t,

so it is reasonable to expect that an antiderivative of

cos (\frac{π}{2} t)

would involve

sin (\frac{π}{2} t) .

However, when we differentiate

sin (\frac{π}{2} t),

we get

\frac{π}{2} cos (\frac{π}{2} t)

as a result of the chain rule, so we have to account for this additional coefficient when we integrate. We obtain

英語のヒント

sin t

が

cos t

の原始関数なので、

cos (\frac{π}{2} t)

の原始関数にも

sin (\frac{π}{2} t)

が現れそうだと予想できる。ただし、

sin (\frac{π}{2} t)

を微分すると、連鎖律によって

\frac{π}{2} cos (\frac{π}{2} t)

になる。積分するときは、この余分な係数を考慮しなければならない。したがって、

\begin{matrix} \int_{0}^{5} 10 + cos (\frac{π}{2} t) d t & = {(10 t + \frac{2}{π} sin (\frac{π}{2} t)) |}_{0}^{5} \\ = (50 + \frac{2}{π}) - (0 - \frac{2}{π} sin 0) \\ \approx 50.6. \end{matrix}

Kathy has skated approximately 50.6 ft after 5 sec. Kathy wins, but not by much!

キャシーは5秒間で約50.6フィート進む。わずかな差だが、キャシーの勝ちである。

Project探究課題

A Parachutist in Free Fall自由落下するスカイダイバー

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Figure 5.30図 5.30

Skydivers can adjust the velocity of their dive by changing the position of their body during the free fall. (credit: Jeremy T. Lock)

スカイダイバーは、自由落下中の体の姿勢を変えることで落下速度を調節できる。（写真：Jeremy T. Lock）

Julie is an avid skydiver. She has more than 300 jumps under her belt and has mastered the art of making adjustments to her body position in the air to control how fast she falls. If she arches her back and points her belly toward the ground, she reaches a terminal velocity of approximately 120 mph (176 ft/sec). If, instead, she orients her body with her head straight down, she falls faster, reaching a terminal velocity of 150 mph (220 ft/sec).

英語のヒント

ジュリーは熱心なスカイダイバーで、300回以上の降下経験がある。空中で体の姿勢を調整し、落下の速さを制御する技術を身に付けている。背中を反らし、腹を地面に向けると、終端速度は約時速120マイル（毎秒176フィート）になる。一方、頭を真下に向ける姿勢なら、終端速度は時速150マイル（毎秒220フィート）となり、より速く落下する。

Since Julie will be moving (falling) in a downward direction, we assume the downward direction is positive to simplify our calculations. Julie executes her jumps from an altitude of 12,500 ft. After she exits the aircraft, she immediately starts falling at a velocity given by

v (t) = 32 t .

She continues to accelerate according to this velocity function until she reaches terminal velocity. After she reaches terminal velocity, her speed remains constant until she pulls her ripcord and slows down to land.

ジュリーは下向きに落下するため、計算を簡単にするために下向きを正とする。高度12,500フィートから飛び出し、直後から

v (t) = 32 t

の速度で落下すると仮定する。終端速度に達するまでは、この速度関数に従って加速する。終端速度に達した後は一定の速さで落下し、開傘索を引いて減速してから着地する。

On her first jump of the day, Julie orients herself in the slower “belly down” position (terminal velocity is 176 ft/sec). Using this information, answer the following questions.

その日の最初の降下では、ジュリーは腹を下に向ける遅い姿勢をとり、終端速度は毎秒176フィートとなる。この情報を使って答えよ。

How long after she exits the aircraft does Julie reach terminal velocity?
飛行機から出て何秒後に、終端速度に達するか。
Based on your answer to question 1, set up an expression involving one or more integrals that represents the distance Julie falls after 30 sec.
問1の結果を使い、30秒後までの落下距離を、一つまたは複数の積分を含む式で表せ。
If Julie pulls her ripcord at an altitude of 3000 ft, how long does she spend in a free fall?
高度3000フィートで開傘索を引くなら、自由落下の時間は何秒か。
Julie pulls her ripcord at 3000 ft. It takes 5 sec for her parachute to open completely and for her to slow down, during which time she falls another 400 ft. After her canopy is fully open, her speed is reduced to 16 ft/sec. Find the total time Julie spends in the air, from the time she leaves the airplane until the time her feet touch the ground.
On Julie’s second jump of the day, she decides she wants to fall a little faster and orients herself in the “head down” position. Her terminal velocity in this position is 220 ft/sec. Answer these questions based on this velocity:
英語のヒント
ジュリーは高度3000フィートで開傘索を引く。パラシュートが完全に開いて減速するまで5秒かかり、その間にさらに400フィート落下する。完全に開いた後の速さは毎秒16フィートとなる。飛行機を出てから地面に足が着くまでの総時間を求めよ。その日の2回目の降下では、少し速く落ちるために頭を下に向ける姿勢をとる。この姿勢の終端速度は毎秒220フィートである。以下はこの速度に基づいて答えよ。
How long does it take Julie to reach terminal velocity in this case?
この場合、終端速度に達するまで何秒かかるか。
Before pulling her ripcord, Julie reorients her body in the “belly down” position so she is not moving quite as fast when her parachute opens. If she begins this maneuver at an altitude of 4000 ft, how long does she spend in a free fall before beginning the reorientation?
Some jumpers wear “wingsuits” (see Figure 5.31). These suits have fabric panels between the arms and legs and allow the wearer to glide around in a free fall, much like a flying squirrel. (Indeed, the suits are sometimes called “flying squirrel suits.”) When wearing these suits, terminal velocity can be reduced to about 30 mph (44 ft/sec), allowing the wearers a much longer time in the air. Wingsuit flyers still use parachutes to land; although the vertical velocities are within the margin of safety, horizontal velocities can exceed 70 mph, much too fast to land safely.
英語のヒント
パラシュートが開くときの速さを抑えるため、ジュリーは開傘索を引く前に腹を下に向ける姿勢へ戻す。高度4000フィートで姿勢変更を始めるなら、それまでの自由落下時間は何秒か。ウイングスーツを着る人もいる（図5.31）。腕や脚の間に布の面があり、ムササビのように空中を滑空できるため、「ムササビスーツ」と呼ばれることもある。これを着ると終端速度を約時速30マイル（毎秒44フィート）まで下げ、滞空時間を大幅に延ばせる。着地には、やはりパラシュートを使う。鉛直方向の速度を抑えていても、水平方向の速度は時速70マイルを超えることがあり、そのまま安全に着地できる速さではない。

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Figure 5.31図 5.31

The fabric panels on the arms and legs of a wingsuit work to reduce the vertical velocity of a skydiver’s fall. (credit: Richard Schneider)

ウイングスーツの腕や脚の間の布は、鉛直方向の落下速度を抑える働きをする。（写真：Richard Schneider）

Answer the following question based on the velocity in a wingsuit.

ウイングスーツでの速度を使い、次の問いに答えよ。

If Julie dons a wingsuit before her third jump of the day, and she pulls her ripcord at an altitude of 3000 ft, how long does she get to spend gliding around in the air?
ジュリーが3回目の降下でウイングスーツを着て、高度3000フィートで開傘索を引くなら、何秒間空中を滑空できるか。