第5章積分

Total Area総面積

One application of the definite integral is finding displacement when given a velocity function. If

v (t)

represents the velocity of an object as a function of time, then the area under the curve tells us how far the object is from its original position. This is a very important application of the definite integral, and we examine it in more detail later in the chapter. For now, we’re just going to look at some basics to get a feel for how this works by studying constant velocities.

定積分の応用の一つに、速度の関数から変位を求めることがある。

v (t)

が時刻に対する物体の速度を表すならば、その曲線と横軸の間の符号付き面積から、物体が出発位置からどれだけ移ったかがわかる。これは非常に重要な応用であり、この章の後半で詳しく調べる。ここでは速度が一定の場合を使って、仕組みの基本をつかもう。

When velocity is a constant, the area under the curve is just velocity times time. This idea is already very familiar. If a car travels away from its starting position in a straight line at a speed of 70 mph for 2 hours, then it is 140 mi away from its original position (Figure 5.20). Using integral notation, we have

速度が一定ならば、曲線の下の面積は、単に速度と時間の積である。これはよく知っている考え方だ。車が出発位置から一直線に、時速70マイルで2時間走れば、出発位置から140マイル離れる（図5.20）。積分の記号では、次のように表せる。

\int_{0}^{2} 70 d t = 140 .

\int_{0}^{2} 70 d t = 140

横軸を時刻 t（時間）、縦軸を速度 v（マイル毎時）とする第1象限のグラフ。区間[0,2]で、直線 v(t)=70 の下を青く塗っている。 — Figure 5.20図 5.20
The area under the curve $v (t) = 70$ tells us how far the car is from its starting point at a given time.
曲線 $v (t) = 70$ の下の面積から、ある時刻に車が出発点からどれだけ離れているかがわかる。

In the context of displacement, net signed area allows us to take direction into account. If a car travels straight north at a speed of 60 mph for 2 hours, it is 120 mi north of its starting position. If the car then turns around and travels south at a speed of 40 mph for 3 hours, it will be back at it starting position (Figure 5.21). Again, using integral notation, we have

英語のヒント

変位を考えるとき、符号付き面積を使うと方向を考慮できる。車が時速60マイルで北へまっすぐ2時間走れば、出発位置から北に120マイル進む。その後、向きを変えて時速40マイルで南へ3時間走れば、出発位置に戻る（図5.21）。これも積分記号で表すと、

\begin{matrix} \int_{0}^{2} 60 d t + \int_{2}^{5} −40 d t & = 120 - 120 \\ = 0. \end{matrix}

In this case the displacement is zero.

この場合、変位は0である。

横軸が t（時間）、縦軸が v（マイル毎時）の速度グラフ。区間[0,2]では v(t)=60 で、その下の第1象限の領域を塗っている。区間[2,5]では v(t)=−40 で、その上の第4象限の領域を塗っている。 — Figure 5.21図 5.21
The area above the axis and the area below the axis are equal, so the net signed area is zero.
軸より上の面積と下の面積が等しいため、符号付き面積は0になる。

Suppose we want to know how far the car travels overall, regardless of direction. In this case, we want to know the area between the curve and the x-axis, regardless of whether that area is above or below the axis. This is called the total area.

英語のヒント

向きに関係なく、車が合計でどれだけ走ったかを知りたいとしよう。この場合は、軸の上か下かにかかわらず、曲線と x 軸に挟まれた領域の面積が必要になる。これを総面積という。

Graphically, it is easiest to think of calculating total area by adding the areas above the axis and the areas below the axis (rather than subtracting the areas below the axis, as we did with net signed area). To accomplish this mathematically, we use the absolute value function. Thus, the total distance traveled by the car is

図形として考えるなら、軸より上の面積と下の面積を足せば総面積になる。符号付き面積のときのように、下の面積を引くのではない。これを数式で実現するために、絶対値の関数を使う。したがって、車が走った総距離は、

\begin{matrix} \int_{0}^{2} | 60 | d t + \int_{2}^{5} | −40 | d t & = \int_{0}^{2} 60 d t + \int_{2}^{5} 40 d t \\ = 120 + 120 \\ = 240. \end{matrix}

Bringing these ideas together formally, we state the following definitions.

以上の考えを、次の定義にまとめる。

Definition定義

Let

f (x)

be an integrable function defined on an interval

[a, b] .

Let A₁ represent the area between

f (x)

and the x-axis that lies above the axis and let A₂ represent the area between

f (x)

and the x-axis that lies below the axis. Then, the net signed area between

f (x)

and the x-axis is given by

f (x)

を区間

[a, b]

上で定義された可積分関数とする。

f (x)

と x 軸に挟まれ、軸より上にある部分の面積を A₁ とする。また、

f (x)

と x 軸に挟まれ、軸より下にある部分の面積を A₂ とする。このとき、

f (x)

と x 軸の間の符号付き面積は、次式で与えられる。

\int_{a}^{b} f (x) d x = A_{1} - A_{2} .

\int_{a}^{b} f (x) d x = A_{1} - A_{2}

The total area between

f (x)

and the x-axis is given by

f (x)

と x 軸の間の総面積は、次式で与えられる。

\int_{a}^{b} | f (x) | d x = A_{1} + A_{2} .

\int_{a}^{b} | f (x) | d x = A_{1} + A_{2}

Example 5.10例題 5.10

Finding the Total Area総面積を求める

Find the total area between

f (x) = x - 2

and the x-axis over the interval

[0, 6] .

区間

[0, 6]

上で、

f (x) = x - 2

と x 軸の間の総面積を求めよ。

Solution解き方

Calculate the x-intercept as

(2, 0)

(set

y = 0,

solve for x). To find the total area, take the area below the x-axis over the subinterval

[0, 2]

and add it to the area above the x-axis on the subinterval

[2, 6]

(Figure 5.22).

y = 0

として x について解くと、x 軸との交点は

(2, 0)

である。総面積を求めるには、小区間

[0, 2]

で x 軸より下の面積と、小区間

[2, 6]

で x 軸より上の面積を足せばよい（図5.22）。

f(x)=x−2 の直線は、(−2,−4)、(0,−2)、(2,0)、(4,2)、(6,4)を通る。第1象限で直線と x 軸、x=6 に囲まれた領域を A₁、第4象限で直線と x 軸に挟まれた領域を A₂ として塗っている。 — Figure 5.22図 5.22
The total area between the line and the x-axis over $[0, 6]$ is A₂ plus A₁.
区間 $[0, 6]$ で直線と x 軸の間にある総面積は、A₂ と A₁ の和である。

We have

次の式が得られる。

\int_{0}^{6} | (x - 2) | d x = A_{2} + A_{1} .

\int_{0}^{6} | (x - 2) | d x = A_{2} + A_{1}

Then, using the formula for the area of a triangle, we obtain

三角形の面積公式を使うと、

A_{2} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

A_{1} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 .

A_{1} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8

The total area, then, is

したがって、総面積は、

A_{1} + A_{2} = 8 + 2 = 10 .

A_{1} + A_{2} = 8 + 2 = 10

Properties of the Definite Integral定積分の性質

The properties of indefinite integrals apply to definite integrals as well. Definite integrals also have properties that relate to the limits of integration. These properties, along with the rules of integration that we examine later in this chapter, help us manipulate expressions to evaluate definite integrals.

不定積分の性質は、定積分にも成り立つ。また、定積分には積分区間の端点に関する性質もある。これらの性質と、この章の後半で学ぶ積分の公式を使うと、式を変形して定積分を求められる。

Rule: Properties of the Definite Integral公式：定積分の性質

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$
(5.9)

If the limits of integration are the same, the integral is just a line and contains no area.
積分区間の両端が等しければ、横幅が0となり、面積も0になる。
$\int_{b}^{a} f (x) d x = − \int_{a}^{b} f (x) d x$
(5.10)

If the limits are reversed, then place a negative sign in front of the integral.
積分区間の上端と下端を入れ替えると、積分の前に負号が付く。
$\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$
(5.11)

The integral of a sum is the sum of the integrals.
和の積分は、それぞれの積分の和に等しい。
$\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$
(5.12)

The integral of a difference is the difference of the integrals.
差の積分は、それぞれの積分の差に等しい。
$\int_{a}^{b} c f (x) d x = c \int_{a}^{b} f (x) d x$
(5.13)

for constant c. The integral of the product of a constant and a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function.
ただし c は定数である。定数と関数の積の積分は、その関数の積分に定数を掛けたものに等しい。
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$
(5.14)

Although this formula normally applies when c is between a and b, the formula holds for all values of a, b, and c, provided $f (x)$ is integrable on the largest interval.
通常は c が a と b の間にある場合に使う公式だが、三つの点を含む最大の区間で $f (x)$ が積分可能ならば、a、b、c の大小関係によらず成り立つ。

Example 5.11例題 5.11

Using the Properties of the Definite Integral定積分の性質を使う

Use the properties of the definite integral to express the definite integral of

f (x) = −3 x^{3} + 2 x + 2

over the interval

[−2, 1]

as the sum of three definite integrals.

定積分の性質を使い、区間

[−2, 1]

上の

f (x) = −3 x^{3} + 2 x + 2

の定積分を、三つの定積分の和として表せ。

Solution解き方

Using integral notation, we have

\int_{−2}^{1} (−3 x^{3} + 2 x + 2) d x .

We apply properties 3. and 5. to get

積分記号で書くと

\int_{−2}^{1} (−3 x^{3} + 2 x + 2) d x

である。性質3と5を使うと、

\begin{matrix} \int_{−2}^{1} (−3 x^{3} + 2 x + 2) d x & = \int_{−2}^{1} −3 x^{3} d x + \int_{−2}^{1} 2 x d x + \int_{−2}^{1} 2 d x \\ = −3 \int_{−2}^{1} x^{3} d x + 2 \int_{−2}^{1} x d x + \int_{−2}^{1} 2 d x . \end{matrix}

Example 5.12例題 5.12

Using the Properties of the Definite Integral定積分の性質を使う

If it is known that

\int_{0}^{8} f (x) d x = 10

and

\int_{0}^{5} f (x) d x = 5,

find the value of

\int_{5}^{8} f (x) d x .

\int_{0}^{8} f (x) d x = 10

と

\int_{0}^{5} f (x) d x = 5

がわかっているとき、

\int_{5}^{8} f (x) d x

の値を求めよ。

Solution解き方

By property 6.,

性質6より、

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x .

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x

Thus,

したがって、

\begin{matrix} \int_{0}^{8} f (x) d x & = & \int_{0}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{8} f (x) d x \\ 10 & = & 5 + \int_{5}^{8} f (x) d x \\ 5 & = & \int_{5}^{8} f (x) d x . \end{matrix}