第5章積分

5.6 Integrals Involving Exponential and Logarithmic Functions5.6　指数関数・対数関数を含む積分

Learning Objectives学習目標

Integrate functions involving exponential functions.
指数関数を含む関数を積分する。
Integrate functions involving logarithmic functions.
対数関数を含む関数を積分する。

Exponential and logarithmic functions are used to model population growth, cell growth, and financial growth, as well as depreciation, radioactive decay, and resource consumption, to name only a few applications. In this section, we explore integration involving exponential and logarithmic functions.

英語のヒント

指数関数と対数関数は、人口増加、細胞増殖、資産の成長のほか、価値の減少、放射性崩壊、資源の消費など、さまざまな現象のモデルに使われる。この節では、指数関数と対数関数に関係する積分を調べる。

Integrals of Exponential Functions指数関数の積分

The exponential function is perhaps the most efficient function in terms of the operations of calculus. The exponential function,

y = e^{x},

is its own derivative and its own integral.

微積分の計算という点では、指数関数は特に扱いやすい関数である。指数関数

y = e^{x}

は、導関数も原始関数の一つも、自分自身である。

Example 5.37例題 5.37

Finding an Antiderivative of an Exponential Function指数関数の原始関数を求める

Find the antiderivative of the exponential function e^−x.

指数関数 e^−x の原始関数を求めよ。

Solution解き方

Use substitution, setting

u = − x,

and then

d u = −1 d x .

Multiply the du equation by −1, so you now have

− d u = d x .

Then,

u = − x

と置換すると

d u = −1 d x

である。du の等式の両辺に−1を掛けると

− d u = d x

となる。したがって、

\begin{matrix} \int e^{− x} d x & = − \int e^{u} d u \\ = − e^{u} + C \\ = − e^{− x} + C . \end{matrix}

A common mistake when dealing with exponential expressions is treating the exponent on e the same way we treat exponents in polynomial expressions. We cannot use the power rule for the exponent on e. This can be especially confusing when we have both exponentials and polynomials in the same expression, as in the previous checkpoint. In these cases, we should always double-check to make sure we’re using the right rules for the functions we’re integrating.

英語のヒント

指数関数の式を扱うときによくある間違いは、e の指数を、多項式の指数と同じように扱うことである。e の指数に対して、累乗の積分公式を使うことはできない。直前の確認問題のように、指数関数と多項式が同じ式にある場合は、特に混同しやすい。どの関数を積分しているのか、その関数に合った公式を使っているか、必ず確かめよう。

Example 5.38例題 5.38

Square Root of an Exponential Function指数関数を含む平方根

Find the antiderivative of the exponential function

e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} .

指数関数を含む関数

e^{x} \sqrt{1 + e^{x}}

の原始関数を求めよ。

Solution解き方

First rewrite the problem using a rational exponent:

まず、有理数の指数を使って書き換える。

\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x = \int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x .

\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x = \int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x

Using substitution, choose

u = 1 + e^{x} .

Then,

d u = e^{x} d x .

We have (Figure 5.37)

u = 1 + e^{x}

と置換すると、

d u = e^{x} d x

である。したがって、次のようになる（図5.37）。

\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x = \int u^{1 / 2} d u .

\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x = \int u^{1 / 2} d u

Then

すると、

\int u^{1 / 2} d u = \frac{u^{3 / 2}}{3 / 2} + C = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + C = \frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{3 / 2} + C .

\int u^{1 / 2} d u = \frac{u^{3 / 2}}{3 / 2} + C = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + C = \frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{3 / 2} + C

f(x)=eˣ√(1+eˣ)のグラフ。区間[−3,1]で傾きを増しながら増加し、y 軸と(0,√2)で交わる。負の x の側では x 軸近くから始まり、正の側で急増する。 — Figure 5.37図 5.37
The graph shows an exponential function times the square root of an exponential function.
指数関数と、指数関数を含む平方根との積のグラフ。

Example 5.39例題 5.39

Using Substitution with an Exponential Function指数関数の積分に置換を使う

Use substitution to evaluate the indefinite integral

\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x .

置換積分を使って不定積分

\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x

を求めよ。

Solution解き方

Here we choose to let u equal the expression in the exponent on e. Let

u = 2 x^{3}

and

d u = 6 x^{2} d x . .

Again, du is off by a constant multiplier; the original function contains a factor of 3x², not 6x². Multiply both sides of the equation by

\frac{1}{2}

so that the integrand in u equals the integrand in x. Thus,

ここでは、e の指数を u とする。

u = 2 x^{3}

とおくと

d u = 6 x^{2} d x .

である。元の式の因子は3x²であり、6x²ではないため、定数係数を調整する必要がある。du の等式の両辺に

\frac{1}{2}

を掛け、u で表した積分が元の積分と等しくなるようにする。すると、

\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x = \frac{1}{2} \int e^{u} d u .

\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x = \frac{1}{2} \int e^{u} d u

Integrate the expression in u and then substitute the original expression in x back into the u integral:

u に関して積分し、その後、u を元の x の式に戻す。

\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{2 x^{3}} + C .

\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{2 x^{3}} + C

As mentioned at the beginning of this section, exponential functions are used in many real-life applications. The number e is often associated with compounded or accelerating growth, as we have seen in earlier sections about the derivative. Although the derivative represents a rate of change or a growth rate, the integral represents the total change or the total growth. Let’s look at an example in which integration of an exponential function solves a common business application.

英語のヒント

指数関数は多くの現実の問題に現れる。微分を扱った節でも見たように、数 e は複利や加速する成長とよく結び付いている。導関数が変化率や成長率を表すのに対し、積分は変化量や成長量の合計を表す。指数関数の積分を使う、経営上の例を見てみよう。

A price–demand function tells us the relationship between the quantity of a product demanded and the price of the product. In general, price decreases as quantity demanded increases. The marginal price–demand function is the derivative of the price–demand function and it tells us how fast the price changes at a given level of production. These functions are used in business to determine the price–elasticity of demand, and to help companies determine whether changing production levels would be profitable.

英語のヒント

価格・需要関数は、商品の需要量と価格の関係を表す。一般に、需要量が多くなるほど価格は下がる。限界価格・需要関数はその導関数であり、ある生産量で価格がどれほど変わるかを表す。これらの関数は、需要の価格弾力性を求めたり、生産量の変更が利益につながるかを企業が判断したりするために使われる。

Example 5.40例題 5.40

Finding a Price–Demand Equation価格・需要の式を求める

Find the price–demand equation for a particular brand of toothpaste at a supermarket chain when the demand is 50 tubes per week at $2.35 per tube, given that the marginal price—demand function,

p^{'} (x),

for x number of tubes per week, is given as

あるスーパーのチェーン店で、特定の歯磨き粉は1本2.35ドルのとき、週50本の需要がある。週 x 本に対する限界価格・需要関数

p^{'} (x)

が次式で与えられるとき、価格・需要の式を求めよ。

p' (x) = −0.015 e^{−0.01 x} .

p' (x) = −0.015 e^{−0.01 x}

If the supermarket chain sells 100 tubes per week, what price should it set?

週100本売る場合、価格をいくらに設定すればよいか。

Solution解き方

To find the price–demand equation, integrate the marginal price–demand function. First find the antiderivative, then look at the particulars. Thus,

価格・需要の式を求めるには、限界価格・需要関数を積分する。まず原始関数を求め、その後、具体的な条件を使う。すると、

\begin{matrix} p (x) & = \int −0.015 e^{−0.01 x} d x \\ = −0.015 \int e^{−0.01 x} d x . \end{matrix}

Using substitution, let

u = −0.01 x

and

d u = −0.01 d x .

Then, divide both sides of the du equation by −0.01. This gives

u = −0.01 x

と置換すると

d u = −0.01 d x

である。du の等式の両辺を−0.01で割ると、

\begin{matrix} \frac{−0.015}{−0.01} \int e^{u} d u & = 1.5 \int e^{u} d u \\ = 1.5 e^{u} + C \\ = 1.5 e^{−0.01 x} + C . \end{matrix}

The next step is to solve for C. We know that when the price is $2.35 per tube, the demand is 50 tubes per week. This means

次に C を求める。1本2.35ドルのとき需要が週50本であることから、

\begin{matrix} p (50) & = 1.5 e^{−0.01 (50)} + C \\ = 2.35 . \end{matrix}

Now, just solve for C:

これを C について解くと、

\begin{matrix} C & = 2.35 - 1.5 e^{−0.5} \\ = 2.35 - 0.91 \\ = 1.44 . \end{matrix}

Thus,

したがって、

p (x) = 1.5 e^{−0.01 x} + 1.44 .

p (x) = 1.5 e^{−0.01 x} + 1.44

If the supermarket sells 100 tubes of toothpaste per week, the price would be

週100本売る場合の価格は、

p (100) = 1.5 e^{−0.01 (100)} + 1.44 = 1.5 e^{−1} + 1.44 \approx 1.99 .

p (100) = 1.5 e^{−0.01 (100)} + 1.44 = 1.5 e^{−1} + 1.44 \approx 1.99

The supermarket should charge $1.99 per tube if it is selling 100 tubes per week.

したがって、週100本売るなら、1本1.99ドルに設定すればよい。

Example 5.41例題 5.41

Evaluating a Definite Integral Involving an Exponential Function指数関数を含む定積分を求める

Evaluate the definite integral

\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x .

定積分

\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x

を求めよ。

Solution解き方

Again, substitution is the method to use. Let

u = 1 - x,

d u = −1 d x

− d u = d x .

Then

\int e^{1 - x} d x = − \int e^{u} d u .

Next, change the limits of integration. Using the equation

u = 1 - x,

we have

ここでも置換を使う。

u = 1 - x

とおくと

d u = −1 d x

、すなわち

− d u = d x

なので、

\int e^{1 - x} d x = − \int e^{u} d u

となる。次に、

u = 1 - x

を使って積分区間を変換する。

\begin{matrix} u = 1 - (1) = 0 \\ u = 1 - (2) = −1 . \end{matrix}

The integral then becomes

すると、積分は次のようになる。

\begin{matrix} \int_{1}^{2} e^{1 - x} d x & = − \int_{0}^{−1} e^{u} d u \\ = \int_{−1}^{0} e^{u} d u \\ = {e^{u} |}_{−1}^{0} \\ = e^{0} - (e^{−1}) \\ = − e^{−1} + 1. \end{matrix}

See Figure 5.38.

図5.38を参照。

f(x)=eの(1−x)乗のグラフ。y 軸と(0,e)で交わり、減少しながら次第に水平になる。x が無限大に向かうと0に近づく。 — Figure 5.38図 5.38
The indicated area can be calculated by evaluating a definite integral using substitution.
示された領域の面積は、置換を使って定積分を計算すると求められる。

Example 5.42例題 5.42

Growth of Bacteria in a Culture培養中の細菌の増殖

Suppose the rate of growth of bacteria in a Petri dish is given by

q (t) = 3^{t},

where t is given in hours and

q (t)

is given in thousands of bacteria per hour. If a culture starts with 10,000 bacteria, find a function

Q (t)

that gives the number of bacteria in the Petri dish at any time t. How many bacteria are in the dish after 2 hours?

英語のヒント

ペトリ皿内の細菌の増加率を

q (t) = 3^{t}

とする。t は時間単位で、

q (t)

の単位は毎時1000個である。最初に10,000個の細菌がいた場合、任意の時刻 t における細菌数を表す関数

Q (t)

を求めよ。2時間後には何個になるか。

Solution解き方

We have

次の式が得られる。

Q (t) = \int 3^{t} d t = \frac{3^{t}}{ln 3} + C .

Q (t) = \int 3^{t} d t = \frac{3^{t}}{ln 3} + C

Then, at

t = 0

we have

Q (0) = 10 = \frac{1}{ln 3} + C,

C \approx 9.090

and we get

t = 0

のとき

Q (0) = 10 = \frac{1}{ln 3} + C

なので、

C \approx 9.090

となる。したがって、

Q (t) = \frac{3^{t}}{ln 3} + 9.090 .

Q (t) = \frac{3^{t}}{ln 3} + 9.090

At time

t = 2,

we have

t = 2

のとき、

Q (2) = \frac{3^{2}}{ln 3} + 9.090

= 17.282 .

= 17.282

After 2 hours, there are 17,282 bacteria in the dish.

2時間後の細菌数は約17,282個である。

Example 5.43例題 5.43

Fruit Fly Population Growthショウジョウバエの個体数増加

Suppose a population of fruit flies increases at a rate of

g (t) = 2 e^{0.02 t},

in flies per day. If the initial population of fruit flies is 100 flies, how many flies are in the population after 10 days?

ショウジョウバエの増加率を

g (t) = 2 e^{0.02 t}

匹毎日とする。初めに100匹いた場合、10日後には何匹になるか。

Solution解き方

Let

G (t)

represent the number of flies in the population at time t. Applying the net change theorem, we have

時刻 t の個体数を

G (t)

とする。正味の変化の定理を使うと、

\begin{matrix} G (10) & = G (0) + \int_{0}^{10} 2 e^{0.02 t} d t \\ = 100 + {[\frac{2}{0.02} e^{0.02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + {[100 e^{0.02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + 100 e^{0.2} - 100 \\ \approx 122 . \end{matrix}

There are 122 flies in the population after 10 days.

10日後には約122匹いる。

Example 5.44例題 5.44

Evaluating a Definite Integral Using Substitution置換を使って定積分を求める

Evaluate the definite integral using substitution:

\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x .

置換積分を使って、次の定積分を求めよ：

\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x

。

Solution解き方

This problem requires some rewriting to simplify applying the properties. First, rewrite the exponent on e as a power of x, then bring the x² in the denominator up to the numerator using a negative exponent. We have

公式を使いやすくするため、式を書き換える必要がある。まず e の指数を x の累乗として書き、分母の x² を負の指数を使って分子へ移す。すると、

\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} e^{x^{−1}} x^{−2} d x .

\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} e^{x^{−1}} x^{−2} d x

Let

u = x^{−1},

the exponent on e. Then

e の指数を

u = x^{−1}

とおく。すると、

\begin{matrix} d u & = − x^{−2} d x \\ - d u & = x^{−2} d x . \end{matrix}

Bringing the negative sign outside the integral sign, the problem now reads

負号を積分記号の外に出すと、

− \int e^{u} d u .

− \int e^{u} d u

Next, change the limits of integration:

次に、積分区間を変換する。

\begin{array}{l} u = {(1)}^{−1} = 1 \\ u = {(2)}^{−1} = \frac{1}{2} . \end{array}

Notice that now the limits begin with the larger number, meaning we must multiply by −1 and interchange the limits. Thus,

英語のヒント

変換後は大きい値が下端に来ていることに注意しよう。両端を入れ替えるなら−1を掛ける必要がある。したがって、

\begin{array}{l} − \int_{1}^{1 / 2} e^{u} d u & = \int_{1 / 2}^{1} e^{u} d u \\ = e^{u} |_{1 / 2}^{1} \\ = e - e^{1 / 2} \\ = e - \sqrt{e} . \end{array}

第5章積分

5.6 Integrals Involving Exponential and Logarithmic Functions5.6 指数関数・対数関数を含む積分

Learning Objectives学習目標

Integrals of Exponential Functions指数関数の積分

Finding an Antiderivative of an Exponential Function指数関数の原始関数を求める

Square Root of an Exponential Function指数関数を含む平方根

Using Substitution with an Exponential Function指数関数の積分に置換を使う

Finding a Price–Demand Equation価格・需要の式を求める

Evaluating a Definite Integral Involving an Exponential Function指数関数を含む定積分を求める

Growth of Bacteria in a Culture培養中の細菌の増殖

Fruit Fly Population Growthショウジョウバエの個体数増加

Evaluating a Definite Integral Using Substitution置換を使って定積分を求める

5.6 Integrals Involving Exponential and Logarithmic Functions5.6　指数関数・対数関数を含む積分