第5章積分

5.5 Substitution5.5　置換積分

Learning Objectives学習目標

Use substitution to evaluate indefinite integrals.
置換を使って不定積分を求める。
Use substitution to evaluate definite integrals.
置換を使って定積分を求める。

The Fundamental Theorem of Calculus gave us a method to evaluate integrals without using Riemann sums. The drawback of this method, though, is that we must be able to find an antiderivative, and this is not always easy. In this section we examine a technique, called integration by substitution, to help us find antiderivatives. Specifically, this method helps us find antiderivatives when the integrand is the result of a chain-rule derivative.

英語のヒント

微積分の基本定理によって、リーマン和を使わずに積分を求められるようになった。ただし、原始関数を見つけなければならないことが難点であり、それはいつも簡単とは限らない。この節では、原始関数を見つけるための「置換積分」という方法を学ぶ。特に、連鎖律による微分の結果が被積分関数になっている場合に役立つ。

At first, the approach to the substitution procedure may not appear very obvious. However, it is primarily a visual task—that is, the integrand shows you what to do; it is a matter of recognizing the form of the function. So, what are we supposed to see? We are looking for an integrand of the form

f [g (x)] g^{'} (x) d x .

For example, in the integral

\int {(x^{2} - 3)}^{3} 2 x d x,

we have

f (x) = x^{3}, g (x) = x^{2} - 3,

and

g' (x) = 2 x .

Then,

英語のヒント

最初は、どのように置換すればよいかわかりにくいかもしれない。しかし、基本となるのは、式を見て形を見抜く作業である。被積分関数が、何をすればよいかを教えてくれる。探すのは

f [g (x)] g^{'} (x) d x

という形である。例えば積分

\int {(x^{2} - 3)}^{3} 2 x d x

では、

f (x) = x^{3}, g (x) = x^{2} - 3

、

g' (x) = 2 x

とおける。すると、

f [g (x)] g^{'} (x) = {(x^{2} - 3)}^{3} (2 x),

f [g (x)] g^{'} (x) = {(x^{2} - 3)}^{3} (2 x)

and we see that our integrand is in the correct form.

となり、被積分関数が目的の形になっているとわかる。

The method is called substitution because we substitute part of the integrand with the variable u and part of the integrand with du. It is also referred to as change of variables because we are changing variables to obtain an expression that is easier to work with for applying the integration rules.

英語のヒント

「置換」という名前は、被積分関数の一部を変数 u に、別の部分を du に置き換えることから来ている。積分公式を使いやすい式にするために変数を変えるので、「変数変換」ともいう。

Proof証明

Let f, g, u, and F be as specified in the theorem. Then

f、g、u、F は定理の条件を満たすものとする。すると、

\begin{matrix} \frac{d}{d x} F (g (x)) & = F^{'} (g (x)) g^{'} (x) \\ = f [g (x)] g^{'} (x) . \end{matrix}

Integrating both sides with respect to x, we see that

両辺を x に関して積分すると、

\int f [g (x)] g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C .

\int f [g (x)] g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C

If we now substitute

u = g (x),

and

d u = g' (x) d x,

we get

ここで

u = g (x)

、

d u = g' (x) d x

を代入すると、

\begin{matrix} \int f [g (x)] g^{'} (x) d x & = \int f (u) d u \\ = F (u) + C \\ = F (g (x)) + C . \end{matrix}

□

Returning to the problem we looked at originally, we let

u = x^{2} - 3

and then

d u = 2 x d x .

Rewrite the integral in terms of u:

最初の問題に戻り、

u = x^{2} - 3

とおく。すると

d u = 2 x d x

となる。積分を u の式に書き換えると、

{\int \underset{u}{\underset{︸}{(x^{2} - 3)}}}^{3} \underset{d u}{\underset{︸}{(2 x d x)}} = \int u^{3} d u .

{\int \underset{u}{\underset{︸}{(x^{2} - 3)}}}^{3} \underset{d u}{\underset{︸}{(2 x d x)}} = \int u^{3} d u

Using the power rule for integrals, we have

積分の累乗の公式を使うと、

\int u^{3} d u = \frac{u^{4}}{4} + C .

\int u^{3} d u = \frac{u^{4}}{4} + C

Substitute the original expression for x back into the solution:

u を元の x の式に戻すと、

\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{{(x^{2} - 3)}^{4}}{4} + C .

\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{{(x^{2} - 3)}^{4}}{4} + C

We can generalize the procedure in the following Problem-Solving Strategy.

この手順を、次の解法にまとめられる。

Integration by Substitution置換積分の手順

Look carefully at the integrand and select an expression $g (x)$ within the integrand to set equal to u. Let’s select $g (x)$ such that $g^{'} (x)$ is also part of the integrand.
被積分関数をよく見て、u とおく式 $g (x)$ を選ぶ。その導関数 $g^{'} (x)$ も被積分関数に含まれるように、 $g (x)$ を選ぶとよい。
Substitute $u = g (x)$ and $d u = g^{'} (x) d x$ into the integral.
積分の中で $u = g (x)$ 、 $d u = g^{'} (x) d x$ と置き換える。
We should now be able to evaluate the integral with respect to u. If the integral can’t be evaluated we need to go back and select a different expression to use as u.
これで u に関して積分できる形になっているか確認する。求められない場合は、戻って別の式を u に選び直す。
Evaluate the integral in terms of u.
u に関して積分する。
Write the result in terms of x and the expression $g (x) .$
結果を、x と元の式 $g (x)$ を使って書き直す。

Example 5.30例題 5.30

Using Substitution to Find an Antiderivative置換で原始関数を求める

Use substitution to find the antiderivative

\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x .

置換積分を用いて原始関数

\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x

を求めよ。

Solution解き方

The first step is to choose an expression for u. We choose

u = 3 x^{2} + 4

because then

d u = 6 x d x,

and we already have du in the integrand. Write the integral in terms of u:

まず u にする式を選ぶ。

u = 3 x^{2} + 4

とおけば

d u = 6 x d x

となり、du に対応する部分がすでに被積分関数に含まれている。u で書き換えると、

\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x = \int u^{4} d u .

\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x = \int u^{4} d u

Remember that du is the derivative of the expression chosen for u, regardless of what is inside the integrand. Now we can evaluate the integral with respect to u:

du は、u に選んだ式を微分して決まることを忘れない。被積分関数の都合に合わせて自由に決めるものではない。これで u に関して積分できる。

\begin{array}{l} \int u^{4} d u & = \frac{u^{5}}{5} + C \\ = \frac{{(3 x^{2} + 4)}^{5}}{5} + C . \end{array}

Sometimes we need to adjust the constants in our integral if they don’t match up exactly with the expressions we are substituting.

英語のヒント

置換に必要な式と係数がぴったり一致しない場合は、積分の中の定数を調整する必要がある。

Example 5.31例題 5.31

Using Substitution with Alteration係数を調整して置換する

Use substitution to find

\int z \sqrt{z^{2} - 5} d z .

置換積分を使って

\int z \sqrt{z^{2} - 5} d z

を求めよ。

Solution解き方

Rewrite the integral as

\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z .

Let

u = z^{2} - 5

and

d u = 2 z d z .

Now we have a problem because

d u = 2 z d z

and the original expression has only

z d z .

We have to alter our expression for du or the integral in u will be twice as large as it should be. If we multiply both sides of the du equation by

\frac{1}{2} .

we can solve this problem. Thus,

英語のヒント

積分を

\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z

と書き直し、

u = z^{2} - 5

、

d u = 2 z d z

とおく。ここで

d u = 2 z d z

なのに、元の式には

z d z

しかないという問題が生じる。du の式を調整しなければ、u での積分が本来の2倍になってしまう。du の等式の両辺に

\frac{1}{2} .

を掛ければ、この問題を解消できる。したがって、

\begin{matrix} u & = z^{2} - 5 \\ d u & = 2 z d z \\ \frac{1}{2} d u & = \frac{1}{2} (2 z) d z = z d z . \end{matrix}

Write the integral in terms of u, but pull the

\frac{1}{2}

outside the integration symbol:

u の式に書き換え、

\frac{1}{2}

を積分記号の外へ出すと、

\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z = \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u .

\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z = \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u

Integrate the expression in u:

u に関して積分すると、

\begin{matrix} \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u & = (\frac{1}{2}) \frac{u^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} + C \\ = (\frac{1}{2}) (\frac{2}{3}) u^{3 / 2} + C \\ = \frac{1}{3} u^{3 / 2} + C \\ = \frac{1}{3} {(z^{2} - 5)}^{3 / 2} + C . \end{matrix}

Example 5.32例題 5.32

Using Substitution with Integrals of Trigonometric Functions三角関数の積分に置換を使う

Use substitution to evaluate the integral

\int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t .

置換積分を使って積分

\int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t

を求めよ。

Solution解き方

We know the derivative of

cos t

− sin t,

so we set

u = cos t .

Then

d u = − sin t d t .

Substituting into the integral, we have

cos t

の導関数が

− sin t

なので、

u = cos t

とおく。すると

d u = − sin t d t

である。積分に代入すると、

\int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t = − \int \frac{d u}{u^{3}} .

\int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t = − \int \frac{d u}{u^{3}}

Evaluating the integral, we get

積分を計算すると、

\begin{matrix} − \int \frac{d u}{u^{3}} & = − \int u^{−3} d u \\ = − (- \frac{1}{2}) u^{−2} + C . \end{matrix}

Putting the answer back in terms of t, we get

答えを t の式に戻すと、

\begin{matrix} \int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t & = \frac{1}{2 u^{2}} + C \\ = \frac{1}{2 {cos}^{2} t} + C . \end{matrix}

Sometimes we need to manipulate an integral in ways that are more complicated than just multiplying or dividing by a constant. We need to eliminate all the expressions within the integrand that are in terms of the original variable. When we are done, u should be the only variable in the integrand. In some cases, this means solving for the original variable in terms of u. This technique should become clear in the next example.

英語のヒント

定数を掛けたり割ったりするだけでは足りず、もう少し複雑な変形が必要なこともある。置換後は、被積分関数に元の変数が残らないようにしなければならない。変数が u だけになるようにするため、元の変数を u の式として解く場合もある。次の例題で、この方法を確認しよう。

Example 5.33例題 5.33

Finding an Antiderivative Using u-Substitutionu 置換で原始関数を求める

Use substitution to find the antiderivative

\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x .

置換積分を用いて原始関数

\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x

を求めよ。

Solution解き方

If we let

u = x - 1,

then

d u = d x .

But this does not account for the x in the numerator of the integrand. We need to express x in terms of u. If

u = x - 1,

then

x = u + 1 .

Now we can rewrite the integral in terms of u:

u = x - 1

とおくと

d u = d x

である。しかし、これだけでは被積分関数の分子にある x が残る。x も u の式で表す必要がある。

u = x - 1

ならば

x = u + 1

なので、積分全体を u で書き換えられる。

\begin{array}{l} \int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x & = \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int \sqrt{u} + \frac{1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int (u^{1 / 2} + u^{−1 / 2}) d u . \end{array}

Then we integrate in the usual way, replace u with the original expression, and factor and simplify the result. Thus,

あとは通常どおり積分し、u を元の式に戻して、因数分解と整理を行う。すると、

\begin{matrix} \int (u^{1 / 2} + u^{−1 / 2}) d u & = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + 2 u^{1 / 2} + C \\ = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{3 / 2} + 2 {(x - 1)}^{1 / 2} + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} [\frac{2}{3} (x - 1) + 2] + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} (\frac{2}{3} x - \frac{2}{3} + \frac{6}{3}) + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} (\frac{2}{3} x + \frac{4}{3}) + C \\ = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{1 / 2} (x + 2) + C . \end{matrix}

第5章積分

5.5 Substitution5.5 置換積分

Learning Objectives学習目標

Proof証明

Using Substitution to Find an Antiderivative置換で原始関数を求める

Using Substitution with Alteration係数を調整して置換する

Using Substitution with Integrals of Trigonometric Functions三角関数の積分に置換を使う

Finding an Antiderivative Using u-Substitutionu 置換で原始関数を求める

5.5 Substitution5.5　置換積分