第5章積分

Key Concepts重要な概念

• The net change theorem states that when a quantity changes, the final value equals the initial value plus the integral of the rate of change. Net change can be a positive number, a negative number, or zero.

  正味の変化の定理によれば、変化後の値は、初期値に変化率の積分を加えたものになる。正味の変化は正・負・0のいずれにもなる。
• The area under an even function over a symmetric interval can be calculated by doubling the area over the positive x-axis. For an odd function, the integral over a symmetric interval equals zero, because half the area is negative.

  偶関数を原点の左右対称な区間で積分すると、正の x の側の積分を2倍した値になる。奇関数を同じように積分すると、正負が打ち消し合って0になる。

Key Equations重要な式

Exercises 207–245練習問題 207–245

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

基本的な積分公式を使って、次の原始関数または定積分を求めよ。

Exercise 207問題 207

${\displaystyle \int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

${\displaystyle \int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

Solution解き方

${\displaystyle \int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}={\displaystyle \int x^{1\text{/}2}dx-{\displaystyle \int x^{\mathrm{-1}\text{/}2}dx}}=\frac{2}{3}{x}^{3\text{/}2}+C_1-2x^{1\text{/}2}+C_2=\frac{2}{3}{x}^{3\text{/}2}-2x^{1\text{/}2}+C$

${\displaystyle \int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}={\displaystyle \int x^{1\text{/}2}dx-{\displaystyle \int x^{\mathrm{-1}\text{/}2}dx}}=\frac{2}{3}{x}^{3\text{/}2}+C_1-2x^{1\text{/}2}+C_2=\frac{2}{3}{x}^{3\text{/}2}-2x^{1\text{/}2}+C$

Exercise 208問題 208

${\displaystyle \int \left(e^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x\text{/}2}\right)dx}$

${\displaystyle \int \left(e^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x\text{/}2}\right)dx}$

Exercise 209問題 209

${\displaystyle \int \frac{dx}{2x}}$

${\displaystyle \int \frac{dx}{2x}}$

Solution解き方

${\displaystyle \int \frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\text{ln}\left|x\right|+C}$

${\displaystyle \int \frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\text{ln}\left|x\right|+C}$

Exercise 210問題 210

${\displaystyle \int \frac{x-1}{x^2}dx}$

${\displaystyle \int \frac{x-1}{x^2}dx}$

Exercise 211問題 211

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left(\text{sin}x-\text{cos}x\right)dx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left(\text{sin}x-\text{cos}x\right)dx}$

Solution解き方

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\text{sin}xdx-{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\text{cos}xdx}}=\text{−}\text{cos}x{|}_0^{\pi }-\left(\text{sin}x\right){|}_0^{\pi }=\left(\text{−}\left(\mathrm{-1}\right)+1\right)-\left(0-0\right)=2$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\text{sin}xdx-{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\text{cos}xdx}}=\text{−}\text{cos}x{|}_0^{\pi }-\left(\text{sin}x\right){|}_0^{\pi }=\left(\text{−}\left(\mathrm{-1}\right)+1\right)-\left(0-0\right)=2$

Exercise 212問題 212

${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}\left(x-\text{sin}x\right)dx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}\left(x-\text{sin}x\right)dx}$

Exercise 213問題 213

Write an integral that expresses the increase in the perimeter $P\left(s\right)$ of a square when its side length s increases from 2 units to 4 units and evaluate the integral.

正方形の一辺 s が2単位から4単位へ増えるとき、周の長さ $P\left(s\right)$ の増加量を表す積分を書き、その値を求めよ。

Solution解き方

$P\left(s\right)=4s,$ so $\frac{dP}{ds}=4$ and ${\displaystyle {\int }_2^{4}4ds=8}.$

$P\left(s\right)=4s$ なので、$\frac{dP}{ds}=4$、したがって ${\displaystyle {\int }_2^{4}4ds=8}$ である。

Exercise 214問題 214

Write an integral that quantifies the change in the area $A\left(s\right)=s^2$ of a square when the side length doubles from S units to 2S units and evaluate the integral.

正方形の一辺が S 単位から2S単位へ倍増するとき、面積 $A\left(s\right)=s^2$ の変化量を表す積分を書き、その値を求めよ。

Exercise 215問題 215

A regular N-gon (an N-sided polygon with sides that have equal length s, such as a pentagon or hexagon) has perimeter Ns. Write an integral that expresses the increase in perimeter of a regular N-gon when the length of each side increases from 1 unit to 2 units and evaluate the integral.

正N角形は、正五角形や正六角形のように、N 本の辺の長さ s がすべて等しい多角形であり、周の長さは Ns である。一辺が1単位から2単位へ増えるとき、周の長さの増加量を表す積分を書き、その値を求めよ。

Solution解き方

${\displaystyle {\int }_1^{2}Nds=N}$

${\displaystyle {\int }_1^{2}Nds=N}$

Exercise 216問題 216

The area of a regular pentagon with side length $a>0$ is pa² with $p=\frac{1}{4}\sqrt{5+\sqrt{5+2\sqrt{5}}}.$ The Pentagon in Washington, DC, has inner sides of length 360 ft and outer sides of length 920 ft. Write an integral to express the area of the roof of the Pentagon according to these dimensions and evaluate this area.

一辺の長さが $a>0$ の正五角形の面積は pa² であり、$p=\frac{1}{4}\sqrt{5+\sqrt{5+2\sqrt{5}}}$ とする。ワシントンD.C.のペンタゴンは、内側の一辺が360フィート、外側の一辺が920フィートである。この寸法を使って屋根の面積を表す積分を書き、面積を求めよ。

Exercise 217問題 217

A dodecahedron is a Platonic solid with a surface that consists of 12 pentagons, each of equal area. By how much does the surface area of a dodecahedron increase as the side length of each pentagon doubles from 1 unit to 2 units?

正十二面体は、等しい面積の正五角形12枚で表面ができた正多面体である。各正五角形の一辺が1単位から2単位へ倍増するとき、表面積はいくら増えるか。

Solution解き方

With p as in the previous exercise, each of the 12 pentagons increases in area from 2p to 4p units so the net increase in the area of the dodecahedron is 36p units.

前問と同じ p を使うと、12枚の正五角形の面積はそれぞれ p から4p平方単位へ増える。したがって、正十二面体の表面積の増加量は36p平方単位である。

Exercise 218問題 218

An icosahedron is a Platonic solid with a surface that consists of 20 equilateral triangles. By how much does the surface area of an icosahedron increase as the side length of each triangle doubles from a unit to 2a units?

正二十面体は、正三角形20枚で表面ができた正多面体である。各三角形の一辺が a 単位から2a単位へ倍増するとき、表面積はいくら増えるか。

Exercise 219問題 219

Write an integral that quantifies the change in the area of the surface of a cube when its side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

立方体の一辺が s 単位から2s単位へ倍増するとき、表面積の変化量を表す積分を書き、その値を求めよ。

Solution解き方

$18s^2=6{\displaystyle {\int }_s^{2s}2xdx}$

$18s^2=6{\displaystyle {\int }_s^{2s}2xdx}$

Exercise 220問題 220

Write an integral that quantifies the increase in the volume of a cube when the side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

立方体の一辺が s 単位から2s単位へ倍増するとき、体積の増加量を表す積分を書き、その値を求めよ。

Exercise 221問題 221

Write an integral that quantifies the increase in the surface area of a sphere as its radius doubles from R unit to 2R units and evaluate the integral.

球の半径が R 単位から2R単位へ倍増するとき、表面積の増加量を表す積分を書き、その値を求めよ。

Solution解き方

$12\pi R^2=8\pi {\displaystyle {\int }_R^{2R}rdr}$

$12\pi R^2=8\pi {\displaystyle {\int }_R^{2R}rdr}$

Exercise 222問題 222

Write an integral that quantifies the increase in the volume of a sphere as its radius doubles from R unit to 2R units and evaluate the integral.

球の半径が R 単位から2R単位へ倍増するとき、体積の増加量を表す積分を書き、その値を求めよ。

Exercise 223問題 223

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity $v\left(t\right)=4-2t,$ where $0\le t\le 2$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=2.$

粒子が $0\le t\le 2$ において、速度 $v\left(t\right)=4-2t$ メートル毎秒で直線上を動く。時刻 t における変位と、$t=2$ までの総移動距離を求めよ。

Solution解き方

$d\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}v\left(s\right)ds=4t-t^2}.$ The total distance is $d(2)=4\text{m}\text{.}$

$d\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}v\left(s\right)ds=4t-t^2}$。総移動距離は $d(2)=4\text{m}\text{.}$ である。

Exercise 224問題 224

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity defined by $v\left(t\right)=t^2-3t-18,$ where $0\le t\le 6$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=6.$

粒子が直線上を移動し、その速度が $v\left(t\right)=t^2-3t-18$ で与えられるとする。ただし $0\le t\le 6$ で、速度の単位はメートル毎秒である。時刻 t での変位と、$t=6$ までの総移動距離を求めよ。

Exercise 225問題 225

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity defined by $v\left(t\right)=\left|2t-6\right|,$ where $0\le t\le 6$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=6.$

粒子が直線上を移動し、その速度が $v\left(t\right)=\left|2t-6\right|$ で与えられるとする。ただし $0\le t\le 6$ で、速度の単位はメートル毎秒である。時刻 t での変位と、$t=6$ までの総移動距離を求めよ。

Solution解き方

$d\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}v\left(s\right)ds}=6t-t^2.$ For $t<3,D\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t\left(6-2t\right)dt=6t-t^2}.$ For $t>3,D(t)=D(3)+{\displaystyle {\int }_3^t(2t-6)dt}=9+(t^2-6t){|}_3^t.$ The total distance is $D(6)=18\text{m}\text{.}$

変位は $d\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}v\left(s\right)ds}=6t-t^2$ である。総移動距離を D(t) とすると、$t<3,D\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t\left(6-2t\right)dt=6t-t^2}$、また $t>3,D(t)=D(3)+{\displaystyle {\int }_3^t(2t-6)dt}=9+(t^2-6t){|}_3^t$ となる。したがって、総移動距離は $D(6)=18\text{m}\text{.}$ である。

Exercise 226問題 226

Suppose that a particle moves along a straight line with acceleration defined by $a\left(t\right)=t-3,$ where $0\le t\le 6$ (in meters per second). Find the velocity and displacement at time t and the total distance traveled up to $t=6$ if $v\left(0\right)=3$ and $d\left(0\right)=0.$

粒子が直線上を動き、$0\le t\le 6$ における加速度が $a\left(t\right)=t-3$ メートル毎秒毎秒で与えられるとする。$v\left(0\right)=3$、$d\left(0\right)=0$ のとき、時刻 t の速度と変位、および $t=6$ までの総移動距離を求めよ。

Exercise 227問題 227

A ball is thrown upward from a height of 1.5 m at an initial speed of 40 m/sec. Acceleration resulting from gravity is −9.8 m/sec². Neglecting air resistance, solve for the velocity $v\left(t\right)$ and the height $h\left(t\right)$ of the ball t seconds after it is thrown and before it returns to the ground.

高さ1.5 mから、ボールを初速40 m/sで真上に投げる。重力加速度は−9.8 m/s²である。空気抵抗を無視し、投げてから地面に戻るまでの時刻 t 秒における速度 $v\left(t\right)$ と高さ $h\left(t\right)$ を求めよ。

Solution解き方

$v\left(t\right)=40-9.8t\text{m/sec};h\left(t\right)=1.5+40t-4.9t^2$ m/s

$v\left(t\right)=40-9.8t\text{m/sec};h\left(t\right)=1.5+40t-4.9t^2$。高さ h(t) の単位は m である。

Exercise 228問題 228

A ball is thrown upward from a height of 3 m at an initial speed of 60 m/sec. Acceleration resulting from gravity is −9.8 m/sec². Neglecting air resistance, solve for the velocity $v\left(t\right)$ and the height $h\left(t\right)$ of the ball t seconds after it is thrown and before it returns to the ground.

高さ3 mから、ボールを初速60 m/sで真上に投げる。重力加速度は−9.8 m/s²である。空気抵抗を無視し、投げてから地面に戻るまでの時刻 t 秒における速度 $v\left(t\right)$ と高さ $h\left(t\right)$ を求めよ。

Exercise 229問題 229

The area $A\left(t\right)$ of a circular shape is growing at a constant rate. If the area increases from 4π units to 9π units between times $t=2$ and $t=3,$ find the net change in the radius during that time.

円の面積 $A\left(t\right)$ が一定の割合で増加している。$t=2$ から $t=3$ の間に面積が4πから9π平方単位へ増えるとき、この間の半径の正味の変化を求めよ。

Solution解き方

The net increase is 1 unit.

正味の増加量は1単位である。

Exercise 230問題 230

A spherical balloon is being inflated at a constant rate. If the volume of the balloon changes from 36π in.³ to 288π in.³ between time $t=30$ and $t=60$ seconds, find the net change in the radius of the balloon during that time.

球形の風船に一定の割合で空気を入れる。$t=30$ 秒から $t=60$ 秒の間に体積が36πインチ³から288πインチ³へ変わるとき、半径の正味の変化を求めよ。

Exercise 231問題 231

Water flows into a conical tank with cross-sectional area πx² at height x and volume $\frac{\pi x^3}{3}$ up to height x. If water flows into the tank at a rate of 1 m³/min, find the height of water in the tank after 5 min. Find the change in height between 5 min and 10 min.

英語のヒント

高さ x での断面積が πx²、高さ x までの体積が $\frac{\pi x^3}{3}$ の円錐形タンクに水を入れる。流入量が毎分1 m³なら、5分後の水位と、5分後から10分後までの水位の変化を求めよ。

Solution解き方

At $t=5,$ the height of water is $x={\left(\frac{15}{\pi }\right)}^{1\text{/}3}\text{m}\text{.}.$ The net change in height from $t=5$ to $t=10$ is ${\left(\frac{30}{\pi }\right)}^{1\text{/}3}-{\left(\frac{15}{\pi }\right)}^{1\text{/}3}$ m.

$t=5$ における水位は $x={\left(\frac{15}{\pi }\right)}^{1\text{/}3}\text{m}\text{.}$ である。$t=5$ から $t=10$ までの水位の正味の変化は ${\left(\frac{30}{\pi }\right)}^{1\text{/}3}-{\left(\frac{15}{\pi }\right)}^{1\text{/}3}$ m である。

Exercise 232問題 232

A horizontal cylindrical tank has cross-sectional area $A\left(x\right)=4\left(6x-x^2\right)m^2$ at height x meters above the bottom when $x\le 3.$

水平に置いた円筒形タンクについて、底から x メートルの高さでの水平断面積は、$x\le 3$ のとき $A\left(x\right)=4\left(6x-x^2\right)m^2$ である。

1. The volume V between heights a and b is ${\displaystyle {\int }_a^{b}A\left(x\right)dx}.$ Find the volume at heights between 2 m and 3 m.

   高さ a から b までの間の体積 V は ${\displaystyle {\int }_a^{b}A\left(x\right)dx}$ である。高さ2 mから3 mまでの体積を求めよ。
2. Suppose that oil is being pumped into the tank at a rate of 50 L/min. Using the chain rule, $\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dV}\frac{dV}{dt},$ at how many meters per minute is the height of oil in the tank changing, expressed in terms of x, when the height is at x meters?

   毎分50 Lの割合でタンクに油を入れるとする。連鎖律 $\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dV}\frac{dV}{dt}$ を使い、水位が x メートルのときの上昇率を、x の式としてメートル毎分で表せ。
3. How long does it take to fill the tank to 3 m starting from a fill level of 2 m?

   高さ2 mから3 mまで満たすには、何分かかるか。

Exercise 233問題 233

The following table lists the electrical power in gigawatts—the rate at which energy is consumed—used in a certain city for different hours of the day, in a typical 24-hour period, with hour 1 corresponding to midnight to 1 a.m.

次の表は、ある都市の典型的な24時間における電力、すなわちエネルギー消費率を、ギガワットで示している。時刻1は午前0時から1時までに対応する。

Hour 時刻（時）	Power 電力	Hour 時刻（時）	Power 電力
1	28	13	48
2	25	14	49
3	24	15	49
4	23	16	50
5	24	17	50
6	27	18	50
7	29	19	46
8	32	20	43
9	34	21	42
10	39	22	40
11	42	23	37
12	46	24	34

Find the total amount of energy in gigawatt-hours (gW-h) consumed by the city in a typical 24-hour period.

この都市が典型的な24時間に消費する総エネルギーを、ギガワット時（GWh）で求めよ。

Solution解き方

The total daily power consumption is estimated as the sum of the hourly power rates, or 911 gW-h.

各時間帯の電力に1時間を掛けて足し合わせると、1日の消費エネルギーは約911 GWhとなる。

Exercise 234問題 234

The average residential electrical power use (in hundreds of watts) per hour is given in the following table.

次の表は、住宅の各時間帯における平均使用電力を、100ワット単位で示している。

Hour 時刻（時）	Power 電力	Hour 時刻（時）	Power 電力
1	8	13	12
2	6	14	13
3	5	15	14
4	4	16	15
5	5	17	17
6	6	18	19
7	7	19	18
8	8	20	17
9	9	21	16
10	10	22	16
11	10	23	13
12	11	24	11

1. Compute the average total energy used in a day in kilowatt-hours (kWh).

   1日の平均総使用エネルギーを、キロワット時（kWh）で求めよ。
2. If a ton of coal generates 1842 kWh, how long does it take for an average residence to burn a ton of coal?

   石炭1トンから1842 kWhを発電できるとすると、平均的な住宅で石炭1トン分を使い切るのに何日かかるか。
3. Explain why the data might fit a plot of the form $p\left(t\right)=11.5-7.5\text{sin}\left(\frac{\pi t}{12}\right).$

   データを $p\left(t\right)=11.5-7.5\text{sin}\left(\frac{\pi t}{12}\right)$ の形のグラフで近似できそうな理由を説明せよ。

Exercise 235問題 235

The data in the following table are used to estimate the average power output produced by Peter Sagan for each of the last 18 sec of Stage 1 of the 2012 Tour de France.

次の表のデータは、2012年ツール・ド・フランス第1ステージの最後の18秒について、ペーター・サガンの各秒の平均出力を見積もるために使う。

Average Power Output平均出力

Table 5.6表 5.6

Source: sportsexercisengineering.com

出典：sportsexercisengineering.com

Second 秒	Watts ワット	Second 秒	Watts ワット
1	600	10	1200
2	500	11	1170
3	575	12	1125
4	1050	13	1100
5	925	14	1075
6	950	15	1000
7	1050	16	950
8	950	17	900
9	1100	18	780

Estimate the net energy used in kilojoules (kJ), noting that 1W = 1 J/s, and the average power output by Sagan during this time interval.

1 W=1 J/sに注意して、消費した正味のエネルギーをキロジュール（kJ）で見積もり、この時間区間での平均出力も求めよ。

Solution解き方

17 kJ

17 kJ

Exercise 236問題 236

The data in the following table are used to estimate the average power output produced by Peter Sagan for each 15-min interval of Stage 1 of the 2012 Tour de France.

次の表のデータは、2012年ツール・ド・フランス第1ステージについて、ペーター・サガンの15分ごとの平均出力を見積もるために使う。

Average Power Output平均出力

Table 5.7表 5.7

Source: sportsexercisengineering.com

出典：sportsexercisengineering.com

Minutes 分	Watts ワット	Minutes 分	Watts ワット
15	200	165	170
30	180	180	220
45	190	195	140
60	230	210	225
75	240	225	170
90	210	240	210
105	210	255	200
120	220	270	220
135	210	285	250
150	150	300	400

Estimate the net energy used in kilojoules, noting that 1W = 1 J/s.

1 W=1 J/sに注意して、消費した正味のエネルギーをキロジュールで見積もれ。

Exercise 237問題 237

The distribution of incomes as of 2012 in the United States in $5000 increments is given in the following table. The kth row denotes the percentage of households with incomes between $\mathrm{\$5000}xk$ and $5000xk+4999.$ The row $k=40$ contains all households with income between $200,000 and $250,000.

次の表は、2012年の米国の所得分布を5000ドル刻みで示している。第 k 行は、所得が $\mathrm{\$5000}xk$ から $5000xk+4999$ ドルまでの世帯の割合を表す。ただし $k=40$ の行には、20万ドルから25万ドルまでのすべての世帯を含めている。

Income Distributions所得分布

Table 5.8表 5.8

Source: http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf

出典：http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf

0	3.5	11	3.5	21	1.5	31	0.6
1	4.1	12	3.7	22	1.4	32	0.5
2	5.9	13	3.2	23	1.3	33	0.5
3	5.7	14	3.0	24	1.3	34	0.4
4	5.9	15	2.8	25	1.1	35	0.3
5	5.4	16	2.5	26	1.0	36	0.3
6	5.5	17	2.2	27	0.75	37	0.3
7	5.1	18	2.2	28	0.8	38	0.2
8	4.8	19	1.8	29	1.0	39	1.8
9	4.1	20	2.1	30	0.6	40	2.3
10	4.3

1. Estimate the percentage of U.S. households in 2012 with incomes less than $55,000.

   2012年の米国で、所得が55,000ドル未満の世帯の割合を見積もれ。
2. What percentage of households had incomes exceeding $85,000?

   所得が85,000ドルを超える世帯は何パーセントか。
3. Plot the data and try to fit its shape to that of a graph of the form $a\left(x+c\right)e^{\text{−}b\left(x+e\right)}$ for suitable $a,b,c.$

   データを描き、適切な $a,b,c$ を選んで、$a\left(x+c\right)e^{\text{−}b\left(x+e\right)}$ の形のグラフに当てはめてみよ。

Solution解き方

a. 54.3%; b. 27.00%; c. The curve in the following plot is $2.35\left(t+3\right)e^{\mathrm{-0.15}\left(t+3\right)}.$

a. 54.3%。b. 27.00%。c. 次の図の曲線は $2.35\left(t+3\right)e^{\mathrm{-0.15}\left(t+3\right)}$ である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 238問題 238

Newton’s law of gravity states that the gravitational force exerted by an object of mass M and one of mass m with centers that are separated by a distance r is $F=G\frac{mM}{r^2},$ with G an empirical constant $G=6.67x{10}^{\mathrm{-11}}{m}^3\text{/}\left(kg·s^2\right).$ The work done by a variable force over an interval $\left[a,b\right]$ is defined as $W={\displaystyle {\int }_a^{b}F\left(x\right)dx}.$ If Earth has mass $5.97219\times {10}^{24}$ and radius 6371 km, compute the amount of work to elevate a polar weather satellite of mass 1400 kg to its orbiting altitude of 850 km above Earth.

ニュートンの万有引力の法則によれば、質量 M と m の二つの物体の中心間距離が r のとき、引力は $F=G\frac{mM}{r^2}$ である。G は実験から定まる定数で、$G=6.67x{10}^{\mathrm{-11}}{m}^3\text{/}\left(kg·s^2\right)$ とする。変化する力が区間 $\left[a,b\right]$ で行う仕事は $W={\displaystyle {\int }_a^{b}F\left(x\right)dx}$ で定義される。地球の質量が $5.97219\times {10}^{24}$ kg、半径が6371 kmのとき、質量1400 kgの極軌道気象衛星を、地上850 kmの軌道まで上げるのに必要な仕事を求めよ。

Exercise 239問題 239

For a given motor vehicle, the maximum achievable deceleration from braking is approximately 7 m/sec² on dry concrete. On wet asphalt, it is approximately 2.5 m/sec². Given that 1 mph corresponds to 0.447 m/sec, find the total distance that a car travels in meters on dry concrete after the brakes are applied until it comes to a complete stop if the initial velocity is 67 mph (30 m/sec) or if the initial braking velocity is 56 mph (25 m/sec). Find the corresponding distances if the surface is slippery wet asphalt.

車の制動による最大減速度は、乾いたコンクリート上で約7 m/s²、濡れたアスファルト上で約2.5 m/s²である。1 mph=0.447 m/sとして、初速67 mph（30 m/s）または56 mph（25 m/s）からブレーキをかけ、完全に停止するまでの距離をメートルで求めよ。乾いたコンクリートと、滑りやすい濡れたアスファルトの両方について答えよ。

Solution解き方

In dry conditions, with initial velocity $v_0=30$ m/s, $D=64.3$ and, if $v_0=25,D=44.64.$ In wet conditions, if $v_0=30,$ and $D=180$ and if $v_0=25,D=125.$

乾燥路面では、初速 $v_0=30$ m/sのとき $D=64.3$、また $v_0=25,D=44.64$ となる。濡れた路面では、$v_0=30$ のとき $D=180$、また $v_0=25,D=125$ となる。

Exercise 240問題 240

John is a 25-year old man who weighs 160 lb. He burns $500-50t$ calories/hr while riding his bike for t hours. If an oatmeal cookie has 55 cal and John eats 4t cookies during the tth hour, how many net calories has he lost after 3 hours riding his bike?

ジョンは25歳、体重160ポンドの男性である。自転車に乗り始めて t 時間後の消費率は $500-50t$ カロリー毎時である。オートミールクッキー1枚が55カロリーで、第 t 時間目に4t枚の割合で食べるとき、3時間乗った後の正味の消費カロリーはいくらか。

Exercise 241問題 241

Sandra is a 25-year old woman who weighs 120 lb. She burns $300-50t$ cal/hr while walking on her treadmill. Her caloric intake from drinking Gatorade is 100t calories during the tth hour. What is her net decrease in calories after walking for 3 hours?

サンドラは25歳、体重120ポンドの女性である。トレッドミルで歩く際の消費率は $300-50t$ カロリー毎時であり、ゲータレードによる摂取は第 t 時間目に100tカロリーの割合とする。3時間後の正味のカロリー減少量はいくらか。

Solution解き方

225 cal

225カロリー

Exercise 242問題 242

A motor vehicle has a maximum efficiency of 33 mpg at a cruising speed of 40 mph. The efficiency drops at a rate of 0.1 mpg/mph between 40 mph and 50 mph, and at a rate of 0.4 mpg/mph between 50 mph and 80 mph. What is the efficiency in miles per gallon if the car is cruising at 50 mph? What is the efficiency in miles per gallon if the car is cruising at 80 mph? If gasoline costs $3.50/gal, what is the cost of fuel to drive 50 mi at 40 mph, at 50 mph, and at 80 mph?

ある車は時速40マイルで走るとき燃費が最大の33 mpgとなる。40～50 mphでは、速度が1 mph上がるごとに0.1 mpgずつ、50～80 mphでは0.4 mpgずつ燃費が低下する。50 mphと80 mphでの燃費を、それぞれマイル毎ガロンで求めよ。ガソリンが1ガロン3.50ドルなら、50マイルを40、50、80 mphで走るときの燃料費はいくらか。

Exercise 243問題 243

Although some engines are more efficient at given a horsepower than others, on average, fuel efficiency decreases with horsepower at a rate of $1\text{/}25$ mpg/horsepower. If a typical 50-horsepower engine has an average fuel efficiency of 32 mpg, what is the average fuel efficiency of an engine with the following horsepower: 150, 300, 450?

同じ馬力でもエンジンによって効率は異なるが、平均的には、馬力が1増すごとに燃費が $1\text{/}25$ mpg低下するとする。典型的な50馬力のエンジンの平均燃費が32 mpgなら、150、300、450馬力のエンジンの平均燃費をそれぞれ求めよ。

Solution解き方

$E\left(150\right)=28,E\left(300\right)=22,E\left(450\right)=16$

$E\left(150\right)=28,E\left(300\right)=22,E\left(450\right)=16$

Exercise 244問題 244

[T] The following table lists the 2013 schedule of federal income tax versus taxable income.

[T] 次の表は、課税所得に対する2013年の米国連邦所得税額を示している。

Federal Income Tax Versus Taxable Income課税所得と連邦所得税

Table 5.9表 5.9

Source: http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf.

出典：http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf。

Taxable Income Range 課税所得の範囲	The Tax Is … 税額の計算	… Of the Amount Over この額を超える部分に課税
$0–$8925	10%	$0
$8925–$36,250	$892.50 + 15%	$8925
$36,250–$87,850	$4,991.25 + 25%	$36,250
$87,850–$183,250	$17,891.25 + 28%	$87,850
$183,250–$398,350	$44,603.25 + 33%	$183,250
$398,350–$400,000	$115,586.25 + 35%	$398,350
> $400,000	$116,163.75 + 39.6%	$400,000

Suppose that Steve just received a $10,000 raise. How much of this raise is left after federal taxes if Steve’s salary before receiving the raise was $40,000? If it was $90,000? If it was $385,000?

スティーブの給与が10,000ドル増えたとする。昇給前の給与が40,000ドル、90,000ドル、385,000ドルの場合、それぞれ連邦所得税を差し引いた後、昇給分はいくら残るか。

Exercise 245問題 245

[T] The following table provides hypothetical data regarding the level of service for a certain highway.

[T] 次の表は、ある高速道路の交通サービス水準に関する仮想データである。

Highway Speed Range (mph) 走行速度の範囲（mph）	Vehicles per Hour per Lane 1車線・1時間当たりの車両数	Density Range (vehicles/mi) 交通密度の範囲（台／マイル）
> 60	< 600	< 10
60–57	600–1000	10–20
57–54	1000–1500	20–30
54–46	1500–1900	30–45
46–30	1900–2100	45–70
<30	Unstable 不安定	70–200

1. Plot vehicles per hour per lane on the x-axis and highway speed on the y-axis.

   横軸を1車線・1時間当たりの車両数、縦軸を走行速度としてグラフを描け。
2. Compute the average decrease in speed (in miles per hour) per unit increase in congestion (vehicles per hour per lane) as the latter increases from 600 to 1000, from 1000 to 1500, and from 1500 to 2100. Does the decrease in miles per hour depend linearly on the increase in vehicles per hour per lane?

   交通量（1車線・1時間当たりの車両数）が600から1000、1000から1500、1500から2100へ増えるとき、交通量1単位の増加に対する速度の平均変化率を mph単位で求めよ。速度の低下量は、交通量の増加量に対して線形に変化するか。
3. Plot minutes per mile (60 times the reciprocal of miles per hour) as a function of vehicles per hour per lane. Is this function linear?

   1マイル当たりの所要時間（mphの逆数の60倍）を、1車線・1時間当たりの車両数の関数として描け。この関数は線形か。

Solution解き方

a.

a.

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

b. Between 600 and 1000 the average decrease in vehicles per hour per lane is −0.0075. Between 1000 and 1500 it is −0.006 per vehicles per hour per lane, and between 1500 and 2100 it is −0.04 vehicles per hour per lane. c.

b. 600から1000では、交通量1単位当たりの速度の平均変化率は−0.0075。1000から1500では−0.006、1500から2100では−0.04となる。単位はいずれも mph／（台・毎時・毎車線）である。c.

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

The graph is nonlinear, with minutes per mile increasing dramatically as vehicles per hour per lane reach 2000.

グラフは非線形であり、1車線・1時間当たりの車両数が2000台に近づくと、1マイル当たりの所要時間が急増する。