第5章積分

Chapter Review Exercises章の復習問題

Exercises 439–442練習問題 439–442

True or False. Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume all functions

f

and

g

are continuous over their domains.

英語のヒント

正しいか誤りかを判定し、証明または反例で理由を示せ。すべての関数

f

と

g

は、それぞれの定義域上で連続とする。

Exercise 439問題 439

f (x) > 0, f^{'} (x) > 0

for all

x,

then the right-hand rule underestimates the integral

\int_{a}^{b} f (x) .

Use a graph to justify your answer.

すべての

x

について

f (x) > 0, f^{'} (x) > 0

ならば、右端和は積分

\int_{a}^{b} f (x)

を過小評価する。グラフを使って判断を説明せよ。

Solution解き方

False

誤り

Exercise 440問題 440

\int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \int_{a}^{b} f (x) d x

\int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \int_{a}^{b} f (x) d x

Exercise 441問題 441

f (x) \leq g (x)

for all

x \in [a, b],

then

\int_{a}^{b} f (x) \leq \int_{a}^{b} g (x) .

すべての

x \in [a, b]

について

f (x) \leq g (x)

ならば、

\int_{a}^{b} f (x) \leq \int_{a}^{b} g (x)

である。

Solution解き方

True

正しい

Exercise 442問題 442

All continuous functions have an antiderivative.

すべての連続関数には原始関数がある。

Exercises 443–446練習問題 443–446

Evaluate the Riemann sums

L_{4} and R_{4}

for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.

次の関数について、指定区間でのリーマン和

L_{4} および R_{4}

を計算せよ。可能なら正確な値と比べ、不可能なら電卓で積分値を求めよ。

Exercise 443問題 443

y = 3 x^{2} - 2 x + 1

over

[−1, 1]

区間

[−1, 1]

における

y = 3 x^{2} - 2 x + 1

。

Solution解き方

L_{4} = 5.25, R_{4} = 3.25,

exact answer: 4

L_{4} = 5.25, R_{4} = 3.25

。正確な値は4。

Exercise 444問題 444

y = ln (x^{2} + 1)

over

[0, e]

区間

[0, e]

における

y = ln (x^{2} + 1)

。

Exercise 445問題 445

y = x^{2} sin x

over

[0, π]

区間

[0, π]

における

y = x^{2} sin x

。

Solution解き方

L_{4} = 5.364, R_{4} = 5.364,

exact answer: 5.870

L_{4} = 5.364, R_{4} = 5.364

。積分値は約5.870。

Exercise 446問題 446

y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}

over

[1, 4]

区間

[1, 4]

における

y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}

。

Exercises 447–450練習問題 447–450

Evaluate the following integrals.

次の積分を求めよ。

Exercise 447問題 447

\int_{−1}^{1} (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x) d x

\int_{−1}^{1} (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x) d x

Solution解き方

- \frac{4}{3}

- \frac{4}{3}

Exercise 448問題 448

\int_{0}^{4} \frac{3 t}{\sqrt{1 + 6 t^{2}}} d t

\int_{0}^{4} \frac{3 t}{\sqrt{1 + 6 t^{2}}} d t

Exercise 449問題 449

\int_{π / 3}^{π / 2} 2 sec (2 θ) tan (2 θ) d θ

\int_{π / 3}^{π / 2} 2 sec (2 θ) tan (2 θ) d θ

Solution解き方

Exercise 450問題 450

\int_{0}^{π / 4} e^{{cos}^{2} x} sin x cos x d x

\int_{0}^{π / 4} e^{{cos}^{2} x} sin x cos x d x

Exercises 451–454練習問題 451–454

Find the antiderivative.

原始関数を求めよ。

Exercise 451問題 451

\int \frac{d x}{{(x + 4)}^{3}}

\int \frac{d x}{{(x + 4)}^{3}}

Solution解き方

- \frac{1}{2 {(x + 4)}^{2}} + C

- \frac{1}{2 {(x + 4)}^{2}} + C

Exercise 452問題 452

\int x ln (x^{2}) d x

\int x ln (x^{2}) d x

Exercise 453問題 453

\int \frac{4 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{6}}} d x

\int \frac{4 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{6}}} d x

Solution解き方

\frac{4}{3} {sin}^{−1} (x^{3}) + C

\frac{4}{3} {sin}^{−1} (x^{3}) + C

Exercise 454問題 454

\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} d x

\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} d x

Exercises 455–458練習問題 455–458

Find the derivative.

導関数を求めよ。

Exercise 455問題 455

\frac{d}{d t} \int_{0}^{t} \frac{sin x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

\frac{d}{d t} \int_{0}^{t} \frac{sin x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

Solution解き方

\frac{sin t}{\sqrt{1 + t^{2}}}

\frac{sin t}{\sqrt{1 + t^{2}}}

Exercise 456問題 456

\frac{d}{d x} \int_{1}^{x^{3}} \sqrt{4 - t^{2}} d t

\frac{d}{d x} \int_{1}^{x^{3}} \sqrt{4 - t^{2}} d t

Exercise 457問題 457

\frac{d}{d x} \int_{1}^{ln (x)} (4 t + e^{t}) d t

\frac{d}{d x} \int_{1}^{ln (x)} (4 t + e^{t}) d t

Solution解き方

4 \frac{ln x}{x} + 1

4 \frac{ln x}{x} + 1

Exercise 458問題 458

\frac{d}{d x} \int_{0}^{cos x} e^{t^{2}} d t

\frac{d}{d x} \int_{0}^{cos x} e^{t^{2}} d t

Exercises 459–463練習問題 459–463

The following problems consider the historic average cost per gigabyte of RAM on a computer.

次の問題では、コンピューターのRAMの1ギガバイト当たり平均価格の推移を考える。

Year 年	5-Year Change ($) 5年間の変化額（ドル）
1980	0
1985	−5,468,750
1990	−755,495
1995	−73,005
2000	−29,768
2005	−918
2010	−177

Exercise 459問題 459

If the average cost per gigabyte of RAM in 2010 is $12, find the average cost per gigabyte of RAM in 1980.

2010年のRAMの1ギガバイト当たり平均価格が12ドルなら、1980年の平均価格を求めよ。

Solution解き方

$6,328,113

Exercise 460問題 460

The average cost per gigabyte of RAM can be approximated by the function

C (t) = 8, 500, 000 {(0.65)}^{t},

where

t

is measured in years since 1980, and

C

is cost in US$. Find the average cost per gigabyte of RAM for 1980 to 2010.

RAMの1ギガバイト当たり平均価格を

C (t) = 8, 500, 000 {(0.65)}^{t}

で近似できるとする。

t

は1980年からの経過年数、

C

は米ドルでの価格である。1980年から2010年までの平均価格を求めよ。

Exercise 461問題 461

Find the average cost of 1GB RAM for 2005 to 2010.

2005年から2010年までの1 GB RAMの平均価格を求めよ。

Solution解き方

$73.36

Exercise 462問題 462

The velocity of a bullet from a rifle can be approximated by

v (t) = 6400 t^{2} - 6505 t + 2686,

where

t

is seconds after the shot and

v

is the velocity measured in feet per second. This equation only models the velocity for the first half-second after the shot:

0 \leq t \leq 0.5 .

What is the total distance the bullet travels in 0.5 sec?

ライフルから発射された弾丸の速度を

v (t) = 6400 t^{2} - 6505 t + 2686

で近似する。

t

は発射後の秒数、

v

はフィート毎秒の速度である。この式は発射後0.5秒間、すなわち

0 \leq t \leq 0.5

だけをモデル化する。0.5秒間の総移動距離を求めよ。

Exercise 463問題 463

What is the average velocity of the bullet for the first half-second?

最初の0.5秒間の平均速度はいくらか。

Solution解き方

\frac{19117}{12} ft/sec, or 1593 ft/sec

\frac{19117}{12} ft/sec, または 1593 ft/sec