第5章積分

Key Concepts重要な概念

• The Mean Value Theorem for Integrals states that for a continuous function over a closed interval, there is a value c such that $f\left(c\right)$ equals the average value of the function. See Theorem 5.3.

  積分の平均値の定理によれば、閉区間上の連続関数には、$f\left(c\right)$ が関数の平均値に等しくなる点 c が存在する。定理5.3を参照。
• The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1 shows the relationship between the derivative and the integral. See Theorem 5.4.

  微積分の基本定理・第1部は、微分と積分の関係を示す。定理5.4を参照。
• The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2 is a formula for evaluating a definite integral in terms of an antiderivative of its integrand. The total area under a curve can be found using this formula. See Theorem 5.5.

  微積分の基本定理・第2部は、被積分関数の原始関数を使って定積分を求める公式である。曲線の下の面積の計算にも使える。定理5.5を参照。

Key Equations重要な式

Exercises 148–163練習問題 148–163

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

次の各問では、微積分の基本定理・第1部を使って導関数を求めよ。

Exercise 148問題 148

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^x{e}^{\text{−}{t}^2}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^x{e}^{\text{−}{t}^2}dt}$

Exercise 149問題 149

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^x{e}^{\text{cos}t}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^x{e}^{\text{cos}t}dt}$

Solution解き方

$e^{\text{cos}x}$

$e^{\text{cos}x}$

Exercise 150問題 150

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_3^x\sqrt{9-y^2}dy}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_3^x\sqrt{9-y^2}dy}$

Exercise 151問題 151

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_3^x\frac{ds}{\sqrt{16-s^2}}}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_3^x\frac{ds}{\sqrt{16-s^2}}}$

Solution解き方

$\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

$\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

Exercise 152問題 152

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_x^{2x}tdt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_x^{2x}tdt}$

Exercise 153問題 153

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{x}}tdt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{x}}tdt}$

Solution解き方

$\sqrt{x}\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2}$

$\sqrt{x}\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2}$

Exercise 154問題 154

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{sin}x}\sqrt{1-t^2}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{sin}x}\sqrt{1-t^2}dt}$

Exercise 155問題 155

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_{\text{cos}x}^1\sqrt{1-t^2}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_{\text{cos}x}^1\sqrt{1-t^2}dt}$

Solution解き方

$\text{−}\sqrt{1-{\text{cos}}^{2}x}\frac{d}{dx}\text{cos}x=|\text{sin}x|\text{sin}x$

$\text{−}\sqrt{1-{\text{cos}}^{2}x}\frac{d}{dx}\text{cos}x=|\text{sin}x|\text{sin}x$

Exercise 156問題 156

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{x}}\frac{t^2}{1+t^4}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{x}}\frac{t^2}{1+t^4}dt}$

Exercise 157問題 157

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{x^2}\frac{\sqrt{t}}{1+t}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{x^2}\frac{\sqrt{t}}{1+t}dt}$

Solution解き方

$2x\frac{\left|x\right|}{1+x^2}$

$2x\frac{\left|x\right|}{1+x^2}$

Exercise 158問題 158

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{ln}x}{e}^{t}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{ln}x}{e}^{t}dt}$

Exercise 159問題 159

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{e^x}\text{ln}{u}^{2}du}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{e^x}\text{ln}{u}^{2}du}$

Solution解き方

$\text{ln}(e^{2x})\frac{d}{dx}{e}^x=2x{e}^x$

$\text{ln}(e^{2x})\frac{d}{dx}{e}^x=2x{e}^x$

Exercise 160問題 160

The graph of $y={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt,}$ where f is a piecewise constant function, is shown here.

区分的に定数である関数 f について、$y={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt}$ のグラフを示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

1. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero?

   f が正になるのはどの区間か。負になるのはどの区間か。0になる区間があれば、それも答えよ。
2. What are the maximum and minimum values of f?

   f の最大値と最小値はいくらか。
3. What is the average value of f?

   f の平均値はいくらか。

Exercise 161問題 161

The graph of $y={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt,}$ where f is a piecewise constant function, is shown here.

区分的に定数である関数 f について、$y={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt}$ のグラフを示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

1. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero?

   f が正になるのはどの区間か。負になるのはどの区間か。0になる区間があれば、それも答えよ。
2. What are the maximum and minimum values of f?

   f の最大値と最小値はいくらか。
3. What is the average value of f?

   f の平均値はいくらか。

Solution解き方

a. f is positive over $\left(1,2\right)$ and $\left(5,6\right),$ negative over $\left(0,1\right)$ and $\left(3,4\right),$ and zero over $\left(2,3\right)$ and $\left(4,5\right).$ b. The maximum value is 2 and the minimum is −3. c. The average value is 0.

a. f は $\left(1,2\right)$ と $\left(5,6\right)$ で正、$\left(0,1\right)$ と $\left(3,4\right)$ で負、$\left(2,3\right)$ と $\left(4,5\right)$ で0である。b. 最大値は2、最小値は−3である。c. 平均値は0である。

Exercise 162問題 162

The graph of $y={\displaystyle {\int }_0^x\ell (t)dt,}$ where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

区分的に一次関数である ℓ について、$y={\displaystyle {\int }_0^x\ell (t)dt}$ のグラフを示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

1. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero?

   ℓ が正になるのはどの区間か。負になるのはどの区間か。0になる区間があれば、それも答えよ。
2. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which, if any, is it constant?

   ℓ はどの区間で増加し、どの区間で減少するか。一定になる区間があれば、それも答えよ。
3. What is the average value of ℓ?

   ℓ の平均値はいくらか。

Exercise 163問題 163

The graph of $y={\displaystyle {\int }_0^x\ell (t)dt,}$ where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

区分的に一次関数である ℓ について、$y={\displaystyle {\int }_0^x\ell (t)dt}$ のグラフを示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

1. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero?

   ℓ が正になるのはどの区間か。負になるのはどの区間か。0になる区間があれば、それも答えよ。
2. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which intervals, if any, is it constant?

   ℓ はどの区間で増加し、どの区間で減少するか。一定になる区間があれば、それも答えよ。
3. What is the average value of ℓ?

   ℓ の平均値はいくらか。

Solution解き方

a. ℓ is positive over $\left(0,1\right)$ and $\left(3,6\right),$ and negative over $\left(1,3\right).$ b. It is increasing over $\left(0,1\right)$ and $\left(3,5\right),$ and it is constant over $\left(1,3\right)$ and $\left(5,6\right).$ c. Its average value is $\frac{1}{3}.$

a. ℓ は $\left(0,1\right)$ と $\left(3,6\right)$ で正、$\left(1,3\right)$ で負である。b. $\left(0,1\right)$ と $\left(3,5\right)$ で増加し、$\left(1,3\right)$ と $\left(5,6\right)$ では一定である。c. 平均値は $\frac{1}{3}.$ である。

Exercises 194–206練習問題 194–206

In the following exercises, identify the roots of the integrand to remove absolute values, then evaluate using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.

次の各問では、被積分関数の零点を求めて絶対値を外し、微積分の基本定理・第2部で積分を求めよ。

Exercise 194問題 194

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^3\left|x\right|dx}$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^3\left|x\right|dx}$

Exercise 195問題 195

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^4\left|t^2-2t-3\right|dt}$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^4\left|t^2-2t-3\right|dt}$

Solution解き方

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^{\mathrm{-1}}\left(t^2-2t-3\right)dt}-{\displaystyle {\int }_{\mathrm{-1}}^3\left(t^2-2t-3\right)dt}+{\displaystyle {\int }_3^4\left(t^2-2t-3\right)dt}=\frac{46}{3}$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^{\mathrm{-1}}\left(t^2-2t-3\right)dt}-{\displaystyle {\int }_{\mathrm{-1}}^3\left(t^2-2t-3\right)dt}+{\displaystyle {\int }_3^4\left(t^2-2t-3\right)dt}=\frac{46}{3}$

Exercise 196問題 196

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left|\text{cos}t\right|dt}$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left|\text{cos}t\right|dt}$

Exercise 197問題 197

${\displaystyle {\int }_{\text{−}\pi \text{/}2}^{\pi \text{/}2}\left|\text{sin}t\right|dt}$

${\displaystyle {\int }_{\text{−}\pi \text{/}2}^{\pi \text{/}2}\left|\text{sin}t\right|dt}$

Solution解き方

$\text{−}{\displaystyle {\int }_{\text{−}\pi \text{/}2}^0\text{sin}tdt+{\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}\text{sin}tdt=2}}$

$\text{−}{\displaystyle {\int }_{\text{−}\pi \text{/}2}^0\text{sin}tdt+{\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}\text{sin}tdt=2}}$

Exercise 198問題 198

Suppose that the number of hours of daylight on a given day in Seattle is modeled by the function $\mathrm{-3.75}\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)+12.25,$ with t given in months and $t=0$ corresponding to the winter solstice.

シアトルのある日の昼の長さを、関数 $\mathrm{-3.75}\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)+12.25$ でモデル化するとする。t の単位は月で、$t=0$ は冬至に対応する。

1. What is the average number of daylight hours in a year?

   1年間での昼の長さの平均は何時間か。
2. At which times t₁ and t₂, where $0\le t_1<t_2<12,$ do the number of daylight hours equal the average number?

   $0\le t_1<t_2<12$ を満たす時刻 t₁、t₂ のうち、昼の長さが平均値に等しくなるのはいつか。
3. Write an integral that expresses the total number of daylight hours in Seattle between $t_1$ and $t_2.$

   シアトルで、$t_1$ から $t_2$ までの日照時間の合計を表す積分を書け。
4. Compute the mean hours of daylight in Seattle between $t_1$ and $t_2,$ where $0\le t_1<t_2<12,$ and then between $t_2$ and $t_1,$ and show that the average of the two is equal to the average day length.

   $0\le t_1<t_2<12$ として、$t_1$ から $t_2$ までの昼の長さの平均と、$t_2$ から翌年の $t_1$ までの平均を求めよ。二つの平均の平均が、1年間の昼の長さの平均に一致することを示せ。

Exercise 199問題 199

Suppose the rate of gasoline consumption over the course of a year in the United States can be modeled by a sinusoidal function of the form $\left(11.21-\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\times {10}^9$ gal/mo.

米国の1年間のガソリン消費率を、$\left(11.21-\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\times {10}^9$ ガロン毎月という正弦波形の関数でモデル化するとする。

1. What is the average monthly consumption, and for which values of t is the rate at time t equal to the average rate?

   平均の月間消費量はいくらか。また、消費率がその平均に等しくなる t の値を求めよ。
2. What is the number of gallons of gasoline consumed in the United States in a year?

   米国で1年間に消費されるガソリンは何ガロンか。
3. Write an integral that expresses the average monthly U.S. gas consumption during the part of the year between the beginning of April $(t=3)$ and the end of September $(t=9\text{).}$

   4月初め $(t=3)$ から9月末 $(t=9\text{).}$ までの、米国の平均月間ガソリン消費量を表す積分を書け。

Solution解き方

a. The average is $11.21\times {10}^9$ since $\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ has period 12 and integral 0 over any period. Consumption is equal to the average when $\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)=0,$ when $t=3,$ and when $t=9.$ b. Total consumption is the average rate times duration: $11.21\times 12\times {10}^9=1.35\times {10}^{11}$ c. ${10}^9\left(11.21-\frac{1}{6}{\displaystyle {\int }_3^9\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)dt}\right)={10}^9\left(11.21+\frac{2}{\pi }\right)=11.84x{10}^9$

a. 平均は $11.21\times {10}^9$ である。$\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ の周期が12で、1周期の積分が0だからである。平均に等しくなるのは $\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)=0$ のとき、すなわち $t=3$ と $t=9$ である。b. 総消費量は平均消費率と期間の積なので、$11.21\times 12\times {10}^9=1.35\times {10}^{11}$ となる。c. ${10}^9\left(11.21-\frac{1}{6}{\displaystyle {\int }_3^9\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)dt}\right)={10}^9\left(11.21+\frac{2}{\pi }\right)=11.84x{10}^9$

Exercise 200問題 200

Explain why, if f is continuous over $\left[a,b\right],$ there is at least one point $c\in \left[a,b\right]$ such that $f\left(c\right)=\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}.$

f が区間 $\left[a,b\right]$ 上で連続ならば、$f\left(c\right)=\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}$ を満たす点 $c\in \left[a,b\right]$ が少なくとも一つ存在する理由を説明せよ。

Exercise 201問題 201

Explain why, if f is continuous over $\left[a,b\right]$ and is not equal to a constant, there is at least one point $M\in \left[a,b\right]$ such that $f\left(M\right)>\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}$ and at least one point $m\in \left[a,b\right]$ such that $f\left(m\right)<\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}.$

f は区間 $\left[a,b\right]$ 上で連続で、定数関数ではないとする。$f\left(M\right)>\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}$ を満たす点 $M\in \left[a,b\right]$ と、$f\left(m\right)<\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}$ を満たす点 $m\in \left[a,b\right]$ が、それぞれ少なくとも一つ存在する理由を説明せよ。

Solution解き方

If f is not constant, then its average is strictly smaller than the maximum and larger than the minimum, which are attained over $\left[a,b\right]$ by the extreme value theorem.

f が定数でなければ、平均値は最大値より真に小さく、最小値より真に大きい。最大値・最小値の定理により、この二つの値は区間 $\left[a,b\right]$ 内でとられる。

Exercise 202問題 202

Kepler’s first law states that the planets move in elliptical orbits with the Sun at one focus. The closest point of a planetary orbit to the Sun is called the perihelion (for Earth, it currently occurs around January 3) and the farthest point is called the aphelion (for Earth, it currently occurs around July 4). Kepler’s second law states that planets sweep out equal areas of their elliptical orbits in equal times. Thus, the two arcs indicated in the following figure are swept out in equal times. At what time of year is Earth moving fastest in its orbit? When is it moving slowest?

ケプラーの第1法則によれば、惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を動く。太陽に最も近い点を近日点、最も遠い点を遠日点という。地球は近日点を1月3日ごろ、遠日点を7月4日ごろに通過する。第2法則によれば、惑星と太陽を結ぶ線分が等しい時間に掃く面積は等しい。したがって、次の図で示す二つの弧を進む時間は等しい。地球が公転軌道上を最も速く動くのは1年のいつごろか。最も遅くなるのはいつか。

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Exercise 203問題 203

A point on an ellipse with major axis length 2a and minor axis length 2b has the coordinates $\left(a\text{cos}\theta ,b\text{sin}\theta \right),0\le \theta \le 2\pi .$

長軸の長さが2a、短軸の長さが2bの楕円上の点は、座標 $\left(a\text{cos}\theta ,b\text{sin}\theta \right),0\le \theta \le 2\pi$ で表せる。

1. Show that the distance from this point to the focus at $\left(\text{−}c,0\right)$ is $d\left(\theta \right)=a+c\text{cos}\theta ,$ where $c=\sqrt{a^2-b^2}.$

   この点から焦点 $\left(\text{−}c,0\right)$ までの距離が $d\left(\theta \right)=a+c\text{cos}\theta$ となることを示せ。ただし $c=\sqrt{a^2-b^2}$ である。
2. Use these coordinates to show that the average distance $\bar{d}$ from a point on the ellipse to the focus at $\left(\text{−}c,0\right),$ with respect to angle θ, is a.

   この座標表示を使い、楕円上の点から焦点 $\left(\text{−}c,0\right)$ までの距離を、パラメーター θ に関して平均した値 $\bar{d}$ が a になることを示せ。

Solution解き方

a. ${d\left(\theta \right)}^2={\left(a\text{cos}\theta +c\right)}^2+b^2{\text{sin}}^2\theta =a^2+c^2{\text{cos}}^2\theta +2ac\text{cos}\theta ={\left(a+c\text{cos}\theta \right)}^2;$ b. $\bar{d}=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(a+c\text{cos}\theta \right)d\theta =a}$

a. ${d\left(\theta \right)}^2={\left(a\text{cos}\theta +c\right)}^2+b^2{\text{sin}}^2\theta =a^2+c^2{\text{cos}}^2\theta +2ac\text{cos}\theta ={\left(a+c\text{cos}\theta \right)}^2$b. $\bar{d}=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(a+c\text{cos}\theta \right)d\theta =a}$

Exercise 204問題 204

As implied earlier, according to Kepler’s laws, Earth’s orbit is an ellipse with the Sun at one focus. The perihelion for Earth’s orbit around the Sun is 147,098,290 km and the aphelion is 152,098,232 km.

先ほど述べたとおり、ケプラーの法則では地球の軌道は太陽を一つの焦点とする楕円である。地球の近日点距離を147,098,290 km、遠日点距離を152,098,232 kmとする。

1. By placing the major axis along the x-axis, find the average distance from Earth to the Sun.

   長軸を x 軸に沿わせ、地球と太陽の平均距離を求めよ。
2. The classic definition of an astronomical unit (AU) is the distance from Earth to the Sun, and its value was computed as the average of the perihelion and aphelion distances. Is this definition justified?

   天文単位（AU）を、地球と太陽の距離の代表値として、近日点距離と遠日点距離の平均から定める考え方がある。この定め方は、前問の平均という意味で妥当か。

Exercise 205問題 205

The force of gravitational attraction between the Sun and a planet is $F\left(\theta \right)=\frac{GmM}{r^2\left(\theta \right)},$ where m is the mass of the planet, M is the mass of the Sun, G is a universal constant, and $r\left(\theta \right)$ is the distance between the Sun and the planet when the planet is at an angle θ with the major axis of its orbit. Assuming that M, m, and the ellipse parameters a and b (half-lengths of the major and minor axes) are given, set up—but do not evaluate—an integral that expresses in terms of $G,m,M,a,b$ the average gravitational force between the Sun and the planet.

太陽と惑星の間の万有引力は $F\left(\theta \right)=\frac{GmM}{r^2\left(\theta \right)}$ で表される。m は惑星の質量、M は太陽の質量、G は万有引力定数であり、$r\left(\theta \right)$ は軌道上の点を表すパラメーター θ における太陽と惑星の距離である。M、m と、楕円の長半径 a、短半径 b が与えられているとして、太陽と惑星の間の引力の θ に関する平均を $G,m,M,a,b$ で表す積分を作れ。積分の値は求めなくてよい。

Solution解き方

Mean gravitational force = $\frac{GmM}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{1}{{\left(a+\sqrt{a^2-b^2}\text{cos}\theta \right)}^2}d\theta }.$

平均の万有引力は $\frac{GmM}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{1}{{\left(a+\sqrt{a^2-b^2}\text{cos}\theta \right)}^2}d\theta }$ である。

Exercise 206問題 206

The displacement from rest of a mass attached to a spring satisfies the simple harmonic motion equation $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t-\varphi \right),$ where $\varphi$ is a phase constant, ω is the angular frequency, and A is the amplitude. Find the average velocity, the average speed (magnitude of velocity), the average displacement, and the average distance from rest (magnitude of displacement) of the mass.

ばねにつながれた質量の平衡位置からの変位は、単振動の式 $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t-\varphi \right)$ を満たす。$\varphi$ は位相定数、ω は角振動数、A は振幅である。1周期について、平均速度、平均の速さ（速度の大きさ）、平均変位、平衡位置からの平均距離（変位の大きさ）を求めよ。