第5章積分

5.7 Integrals Resulting in Inverse Trigonometric Functions5.7　逆三角関数になる積分

Integrals that Result in Inverse Sine Functions逆正弦関数になる積分

Integrals Resulting in Other Inverse Trigonometric Functionsほかの逆三角関数になる積分

Key Concepts重要な概念

• Formulas for derivatives of inverse trigonometric functions developed in Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions lead directly to integration formulas involving inverse trigonometric functions.

  「指数関数と対数関数の導関数」などで学んだ微分公式から、逆三角関数に関係する積分公式が得られる。
• Use the formulas listed in the rule on integration formulas resulting in inverse trigonometric functions to match up the correct format and make alterations as necessary to solve the problem.

  逆三角関数になる積分公式の形と照らし合わせ、必要な変形を行って問題を解く。
• Substitution is often required to put the integrand in the correct form.

  被積分関数を公式に合う形にするには、置換が必要なことが多い。

Key Equations重要な式

Exercises 407–410練習問題 407–410

In the following exercises, solve for the antiderivative ${\displaystyle \int f}$ of f with $C=0,$ then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval $\left[a,b\right].$ Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)dt.}$

次の各問では、f の原始関数 ${\displaystyle \int f}$ を $C=0$ として求め、指定区間 $\left[a,b\right]$ で f と原始関数を電卓で描け。原始関数に定数 C を加えて、$F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)dt}$ に一致させるための C を求めよ。

Exercise 407問題 407

[T] ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}$ over $\left[\mathrm{-3},3\right]$

[T] 区間 $\left[\mathrm{-3},3\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}$。

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

The antiderivative is ${\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{3}\right)+C.$ Taking $C=\frac{\pi }{2}$ recovers the definite integral.

原始関数は ${\text{sin}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{3}\right)+C$ である。$C=\frac{\pi }{2}$ とすれば、定積分の値が得られる。

Exercise 408問題 408

[T] ${\displaystyle \int \frac{9}{9+x^2}dx}$ over $\left[\mathrm{-6},6\right]$

[T] 区間 $\left[\mathrm{-6},6\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{9}{9+x^2}dx}$。

Exercise 409問題 409

[T] ${\displaystyle \int \frac{\text{cos}x}{4+{\text{sin}}^{2}x}dx}$ over $\left[\mathrm{-6},6\right]$

[T] 区間 $\left[\mathrm{-6},6\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{\text{cos}x}{4+{\text{sin}}^{2}x}dx}$。

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

The antiderivative is $\frac{1}{2}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\text{sin}x}{2}\right)+C.$ Taking $C=\frac{1}{2}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\text{sin}\left(6\right)}{2}\right)$ recovers the definite integral.

原始関数は $\frac{1}{2}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\text{sin}x}{2}\right)+C$ である。$C=\frac{1}{2}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\text{sin}\left(6\right)}{2}\right)$ とすれば、定積分の値が得られる。

Exercise 410問題 410

[T] ${\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx}$ over $\left[\mathrm{-6},6\right]$

[T] 区間 $\left[\mathrm{-6},6\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx}$。

Exercises 417–422練習問題 417–422

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative ${\displaystyle \int f}$ with $C=0$ over the given interval $\left[a,b\right].$ Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)dt.}$

次の各問では、原始関数 ${\displaystyle \int f}$ を $C=0$ として求め、区間 $\left[a,b\right]$ で電卓を使って描け。可能であれば、原始関数に C を加えて $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)dt}$ に一致させるような C を見積もれ。

Exercise 417問題 417

[T] ${\displaystyle \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}dx}$ over $\left[2,6\right]$

[T] 区間 $\left[2,6\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}dx}$。

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

The antiderivative is $\frac{1}{2}{\text{sec}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{2}\right)+C.$ Taking $C=0$ recovers the definite integral over $\left[2,6\right].$

原始関数は $\frac{1}{2}{\text{sec}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{2}\right)+C$ である。$C=0$ を選ぶと、区間 $\left[2,6\right]$ で下端から積分した関数に一致する。

Exercise 418問題 418

[T] ${\displaystyle \int \frac{1}{\left(2x+2\right)\sqrt{x}}dx}$ over $\left[0,6\right]$

[T] 区間 $\left[0,6\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{1}{\left(2x+2\right)\sqrt{x}}dx}$。

Exercise 419問題 419

[T] ${\displaystyle \int \frac{\left(\text{sin}x+x\text{cos}x\right)}{1+x^2{\text{sin}}^{2}x}dx}$ over $\left[\mathrm{-6},6\right]$

[T] 区間 $\left[\mathrm{-6},6\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{\left(\text{sin}x+x\text{cos}x\right)}{1+x^2{\text{sin}}^{2}x}dx}$。

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

The general antiderivative is ${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(x\text{sin}x\right)+C.$ Taking $C=\text{−}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}(6\text{sin}\left(6\right))$ recovers the definite integral.

原始関数の一般形は ${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(x\text{sin}x\right)+C$ である。$C=\text{−}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}(6\text{sin}\left(6\right))$ とすれば、定積分の値が得られる。

Exercise 420問題 420

[T] ${\displaystyle \int \frac{2e^{\mathrm{-2}x}}{\sqrt{1-e^{\mathrm{-4}x}}}dx}$ over $\left[0,2\right]$

[T] 区間 $\left[0,2\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{2e^{\mathrm{-2}x}}{\sqrt{1-e^{\mathrm{-4}x}}}dx}$。

Exercise 421問題 421

[T] ${\displaystyle \int \frac{1}{x+x{\text{ln}}^{2}x}}$ over $\left[0,2\right]$

[T] 区間 $\left[0,2\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{1}{x+x{\text{ln}}^{2}x}}$。

Solution解き方

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

The general antiderivative is ${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{ln}x\right)+C.$ Taking $C=\frac{\pi }{2}={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\infty$ recovers the definite integral.

原始関数の一般形は ${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\text{ln}x\right)+C$ である。$C=\frac{\pi }{2}={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\infty$ とすれば、定積分の値が得られる。

Exercise 422問題 422

[T] ${\displaystyle \int \frac{{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}x}{\sqrt{1-x^2}}}$ over $\left[\mathrm{-1},1\right]$

[T] 区間 $\left[\mathrm{-1},1\right]$ における ${\displaystyle \int \frac{{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}x}{\sqrt{1-x^2}}}$。

Exercises 429–438練習問題 429–438

In the following exercises, compute each definite integral.

次の各問では、定積分を求めよ。

Exercise 429問題 429

${\displaystyle {\int }_0^{1\text{/}2}\frac{\text{tan}\left({\text{sin}}^{\mathrm{-1}}t\right)}{\sqrt{1-t^2}}dt}$

${\displaystyle {\int }_0^{1\text{/}2}\frac{\text{tan}\left({\text{sin}}^{\mathrm{-1}}t\right)}{\sqrt{1-t^2}}dt}$

Solution解き方

$\frac{1}{2}\text{ln}\left(\frac{4}{3}\right)$

$\frac{1}{2}\text{ln}\left(\frac{4}{3}\right)$

Exercise 430問題 430

${\displaystyle {\int }_{1\text{/}4}^{1\text{/}2}\frac{\text{tan}\left({\text{cos}}^{\mathrm{-1}}t\right)}{\sqrt{1-t^2}}dt}$

${\displaystyle {\int }_{1\text{/}4}^{1\text{/}2}\frac{\text{tan}\left({\text{cos}}^{\mathrm{-1}}t\right)}{\sqrt{1-t^2}}dt}$

Exercise 431問題 431

${\displaystyle {\int }_0^{1\text{/}2}\frac{\text{sin}\left({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}t\right)}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle {\int }_0^{1\text{/}2}\frac{\text{sin}\left({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}t\right)}{1+t^2}dt}$

Solution解き方

$1-\frac{2}{\sqrt{5}}$

$1-\frac{2}{\sqrt{5}}$

Exercise 432問題 432

${\displaystyle {\int }_0^{1\text{/}2}\frac{\text{cos}\left({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}t\right)}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle {\int }_0^{1\text{/}2}\frac{\text{cos}\left({\text{tan}}^{\mathrm{-1}}t\right)}{1+t^2}dt}$

Exercise 433問題 433

For $A>0,$ compute $I\left(A\right)={\displaystyle {\int }_{\text{−}A}^A\frac{dt}{1+t^2}}$ and evaluate $\underset{a\to \infty }{\text{lim}}I\left(A\right),$ the area under the graph of $\frac{1}{1+t^2}$ on $\left[\text{−}\infty ,\infty \right].$

$A>0$ とする。$I\left(A\right)={\displaystyle {\int }_{\text{−}A}^A\frac{dt}{1+t^2}}$ を計算し、$\underset{a\to \infty }{\text{lim}}I\left(A\right)$ を求めよ。これは $\left[\text{−}\infty ,\infty \right]$ 全体にわたる $\frac{1}{1+t^2}$ のグラフの下の面積である。

Solution解き方

$2{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(A\right)\to \pi$ as $A\to \infty$

$A\to \infty$ のとき、$2{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(A\right)\to \pi$ となる。

Exercise 434問題 434

For $1<B<\infty ,$ compute $I(B)={\displaystyle {\int }_1^B\frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}}}$ and evaluate $\underset{B\to \infty }{\text{lim}}I(B),$ the area under the graph of $\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}$ over $[1,\infty ).$

$1<B<\infty$ とする。$I(B)={\displaystyle {\int }_1^B\frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}}}$ を計算し、$\underset{B\to \infty }{\text{lim}}I(B)$ を求めよ。これは区間 $[1,\infty )$ 上の $\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}$ のグラフの下の面積である。

Exercise 435問題 435

Use the substitution $u=\sqrt{2}\text{cot}x$ and the identity $1+{\text{cot}}^{2}x={\text{csc}}^{2}x$ to evaluate ${\displaystyle \int \frac{dx}{1+{\text{cos}}^{2}x}.}$ (Hint: Multiply the top and bottom of the integrand by ${\text{csc}}^{2}x.\text{)}$

置換 $u=\sqrt{2}\text{cot}x$ と恒等式 $1+{\text{cot}}^{2}x={\text{csc}}^{2}x$ を使って、${\displaystyle \int \frac{dx}{1+{\text{cos}}^{2}x}}$ を求めよ。（ヒント：被積分関数の分子と分母に ${\text{csc}}^{2}x.\text{)}$ を掛ける。）

Solution解き方

Using the hint, one has ${\displaystyle \int \frac{{\text{csc}}^{2}x}{{\text{csc}}^{2}x+{\text{cot}}^{2}x}}dx={\displaystyle \int \frac{{\text{csc}}^{2}x}{1+2{\text{cot}}^{2}x}}dx.$ Set $u=\sqrt{2}\text{cot}x.$ Then, $du=\text{−}\sqrt{2}{\text{csc}}^{2}xdx$ and the integral is $-\frac{1}{\sqrt{2}}{\displaystyle \int \frac{du}{1+u^2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}u+C=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\sqrt{2}\text{cot}x\right)+C.$ If one uses the identity ${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}s+{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2},$ then this can also be written $\frac{1}{\sqrt{2}}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\text{tan}x}{\sqrt{2}}\right)+C.$

ヒントを使うと ${\displaystyle \int \frac{{\text{csc}}^{2}x}{{\text{csc}}^{2}x+{\text{cot}}^{2}x}}dx={\displaystyle \int \frac{{\text{csc}}^{2}x}{1+2{\text{cot}}^{2}x}}dx$ となる。$u=\sqrt{2}\text{cot}x$ とおけば $du=\text{−}\sqrt{2}{\text{csc}}^{2}xdx$ なので、積分は $-\frac{1}{\sqrt{2}}{\displaystyle \int \frac{du}{1+u^2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}u+C=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\sqrt{2}\text{cot}x\right)+C$ となる。適切な区間で恒等式 ${\text{tan}}^{\mathrm{-1}}s+{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2}$ を使えば、積分定数に定数差を含めて $\frac{1}{\sqrt{2}}{\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\text{tan}x}{\sqrt{2}}\right)+C$ とも書ける。

Exercise 436問題 436

[T] Approximate the points at which the graphs of $f(x)=2x^2-1$ and $g\left(x\right)={\left(1+4x^2\right)}^{\mathrm{-3}\text{/}2}$ intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.

[T] $f(x)=2x^2-1$ と $g\left(x\right)={\left(1+4x^2\right)}^{\mathrm{-3}\text{/}2}$ のグラフの交点を小数第4位まで求め、二つのグラフに挟まれた面積を小数第3位まで近似せよ。

Exercise 437問題 437

47. [T] Approximate the points at which the graphs of $f(x)=x^2-1$ and ${g(x)=(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}$ intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.

47. [T] $f(x)=x^2-1$ と ${g(x)=(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}$ のグラフの交点を小数第4位まで求め、二つのグラフに挟まれた面積を小数第3位まで近似せよ。

Solution解き方

$x\approx \pm 1.7321.$ The left endpoint estimate with $N=100$ is 4.781 and these decimals persist for $N=500.$

$x\approx \pm 1.7321$。$N=100$ での左端近似は4.781であり、$N=500$ としてもこの小数部分は変わらない。

Exercise 438問題 438

Use the following graph to prove that ${\displaystyle {\int }_0^x\sqrt{1-t^2}dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}x}.$

次の図を使って、${\displaystyle {\int }_0^x\sqrt{1-t^2}dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}{\text{sin}}^{\mathrm{-1}}x}$ を証明せよ。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0