第2章極限

2.4 Continuity2.4　連続性

Learning Objectives学習目標

Explain the three conditions for continuity at a point.
ある点での連続性の3条件を説明する。
Describe three kinds of discontinuities.
3種類の不連続を説明する。
Define continuity on an interval.
区間上での連続性を定義する。
State the theorem for limits of composite functions.
合成関数の極限の定理を述べる。
Provide an example of the intermediate value theorem.
中間値の定理の例を挙げる。

Many functions have the property that their graphs can be traced with a pencil without lifting the pencil from the page. Such functions are called continuous. Other functions have points at which a break in the graph occurs, but satisfy this property over intervals contained in their domains. They are continuous on these intervals and are said to have a discontinuity at a point where a break occurs.

英語のヒント

多くの関数のグラフは、紙から鉛筆を離さずになぞれる。このような関数を、連続という。グラフが途切れる点を持つ関数でも、定義域の中のある区間では、この性質を満たすことがある。その場合、その区間では連続であり、途切れる点では不連続であるという。

We begin our investigation of continuity by exploring what it means for a function to have continuity at a point. Intuitively, a function is continuous at a particular point if there is no break in its graph at that point.

まず、関数がある点で連続であるとはどういうことかを調べよう。直感的には、その点でグラフが途切れなければ、関数はそこで連続である。

Continuity at a Pointある点での連続性

Before we look at a formal definition of what it means for a function to be continuous at a point, let’s consider various functions that fail to meet our intuitive notion of what it means to be continuous at a point. We then create a list of conditions that prevent such failures.

英語のヒント

ある点での連続性を厳密に定義する前に、直感的な「連続」の考え方に合わない関数をいくつか見よう。そのうえで、こうした問題が起こらないための条件をまとめる。

Our first function of interest is shown in Figure 2.32. We see that the graph of

f (x)

has a hole at a. In fact,

f (a)

is undefined. At the very least, for

f (x)

to be continuous at a, we need the following condition:

最初に図2.32の関数を見る。

f (x)

のグラフはaで穴が開いている。実際、

f (a)

は未定義である。

f (x)

がaで連続になるには、少なくとも次の条件が必要だ。

i. f (a) is defined.

i. f (a) は定義される。

右上がりの直線f(x)のグラフ。第3象限からx軸を横切って第2象限へ入り、y軸を横切って第1象限へ進む。正のx座標aの真上の点が白丸になっており、aでは関数が定義されていない。 — Figure 2.32図 2.32
The function $f (x)$ is not continuous at a because $f (a)$ is undefined.
$f (a)$ が未定義なので、関数 $f (x)$ はaで連続ではない。

However, as we see in Figure 2.33, this condition alone is insufficient to guarantee continuity at the point a. Although

f (a)

is defined, the function has a gap at a. In this example, the gap exists because

lim_{x \to a} f (x)

does not exist. We must add another condition for continuity at a—namely,

英語のヒント

しかし、図2.33のように、この条件だけではaでの連続性は保証されない。

f (a)

は定義されていても、グラフにはaで段差がある。これは

lim_{x \to a} f (x)

が存在しないためである。したがって、aでの連続性の条件をもう1つ加える必要がある。

ii. lim_{x \to a} f (x) exists.

ii. lim_{x \to a} f (x) は存在する。

2本の右上がりの直線部分からなるf(x)のグラフ。左側の部分は原点を通り、正のx座標aの位置で黒丸となって終わる。右側の部分はx>aで定義され、aの位置に白丸を持つ。左右の端点の高さが異なる。 — Figure 2.33図 2.33
The function $f (x)$ is not continuous at a because $lim_{x \to a} f (x)$ does not exist.
$lim_{x \to a} f (x)$ が存在しないため、関数 $f (x)$ はaで連続ではない。

However, as we see in Figure 2.34, these two conditions by themselves do not guarantee continuity at a point. The function in this figure satisfies both of our first two conditions, but is still not continuous at a. We must add a third condition to our list:

それでも、図2.34のように、最初の2条件だけでは連続性を保証できない。この図の関数は両方を満たすが、aで連続ではない。そこで、3つ目の条件を加える。

iii. lim_{x \to a} f (x) = f (a) .

iii. lim_{x \to a} f (x) = f (a)

右上がりの直線のグラフ。x軸を第3象限から第2象限へ、y軸を第2象限から第1象限へ横切る。正のx座標aに対応する直線上の点が白丸で、その真上に別の黒丸がある。 — Figure 2.34図 2.34
The function $f (x)$ is not continuous at a because $lim_{x \to a} f (x) \neq f (a) .$
$lim_{x \to a} f (x) \neq f (a)$ なので、関数 $f (x)$ はaで連続ではない。

Now we put our list of conditions together and form a definition of continuity at a point.

これらの条件をまとめて、ある点での連続性を定義する。

The following procedure can be used to analyze the continuity of a function at a point using this definition.

この定義を使うと、次の手順で、ある点での関数の連続性を調べられる。

Determining Continuity at a Pointある点で連続かどうかを調べる

Check to see if $f (a)$ is defined. If $f (a)$ is undefined, we need go no further. The function is not continuous at a. If $f (a)$ is defined, continue to step 2.
$f (a)$ が定義されているか調べる。 $f (a)$ が未定義なら、それ以上調べる必要はなく、関数はaで連続ではない。 $f (a)$ が定義されていれば、手順2に進む。
Compute $lim_{x \to a} f (x) .$ In some cases, we may need to do this by first computing $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ and $lim_{x \to a^{+}} f (x) .$ If $lim_{x \to a} f (x)$ does not exist (that is, it is not a real number), then the function is not continuous at a and the problem is solved. If $lim_{x \to a} f (x)$ exists, then continue to step 3.
$lim_{x \to a} f (x)$ を求める。必要なら、先に $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ と $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ を求める。 $lim_{x \to a} f (x)$ が存在しない、つまり実数の極限がない場合、関数はaで連続ではなく、判定は終わる。 $lim_{x \to a} f (x)$ が存在すれば、手順3に進む。
Compare $f (a)$ and $lim_{x \to a} f (x) .$ If $lim_{x \to a} f (x) \neq f (a),$ then the function is not continuous at a. If $lim_{x \to a} f (x) = f (a),$ then the function is continuous at a.
$f (a)$ と $lim_{x \to a} f (x)$ を比べる。 $lim_{x \to a} f (x) \neq f (a)$ ならaで連続ではなく、 $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ならaで連続である。

The next three examples demonstrate how to apply this definition to determine whether a function is continuous at a given point. These examples illustrate situations in which each of the conditions for continuity in the definition succeed or fail.

次の3つの例題では、この定義を使って、指定された点で関数が連続かどうかを調べる。連続性の各条件を満たす場合と、満たさない場合を順に見る。

Example 2.26例題 2.26

Determining Continuity at a Point, Condition 1ある点での連続性を調べる：条件1

Using the definition, determine whether the function

f (x) = (x^{2} - 4) / (x - 2)

is continuous at

x = 2 .

Justify the conclusion.

定義を使い、関数

f (x) = (x^{2} - 4) / (x - 2)

が

x = 2

で連続かどうかを調べなさい。結論の根拠を示すこと。

Solution解き方

Let’s begin by trying to calculate

f (2) .

We can see that

f (2) = 0 / 0,

which is undefined. Therefore,

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

is discontinuous at 2 because

f (2)

is undefined. The graph of

f (x)

is shown in Figure 2.35.

まず

f (2)

を求めようとすると、

f (2) = 0 / 0

となり、値は定義されない。したがって、

f (2)

が未定義であるため、

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

は2で不連続である。図2.35に

f (x)

のグラフを示す。

与えられた関数のグラフ。右上がりの直線が、第3象限から第2象限、第1象限へ進む。第1象限の1点に白丸があり、そこで関数が未定義になっている。 — Figure 2.35図 2.35
The function $f (x)$ is discontinuous at 2 because $f (2)$ is undefined.
$f (2)$ が未定義なので、関数 $f (x)$ は2で不連続である。

Example 2.27例題 2.27

Determining Continuity at a Point, Condition 2ある点での連続性を調べる：条件2

Using the definition, determine whether the function

f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 4 & if x \leq 3 \\ 4 x - 8 & if x > 3 \end{cases}

is continuous at

x = 3 .

Justify the conclusion.

定義を使い、関数

f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 4 & 条件： x \leq 3 \\ 4 x - 8 & 条件： x > 3 \end{cases}

が

x = 3

で連続かどうかを調べなさい。結論の根拠を示すこと。

Solution解き方

Let’s begin by trying to calculate

f (3) .

まず

f (3)

を求める。

f (3) = - (3^{2}) + 4 = −5 .

f (3) = - (3^{2}) + 4 = −5

Thus,

f (3)

is defined. Next, we calculate

lim_{x \to 3} f (x) .

To do this, we must compute

lim_{x \to 3^{-}} f (x)

and

lim_{x \to 3^{+}} f (x) :

したがって、

f (3)

は定義されている。次に

lim_{x \to 3} f (x)

を求めるため、

lim_{x \to 3^{-}} f (x)

と

lim_{x \to 3^{+}} f (x) :

を計算する。

lim_{x \to 3^{-}} f (x) = - (3^{2}) + 4 = −5

and

また、

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 4 (3) - 8 = 4 .

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 4 (3) - 8 = 4

Therefore,

lim_{x \to 3} f (x)

does not exist. Thus,

f (x)

is not continuous at 3. The graph of

f (x)

is shown in Figure 2.36.

左右の極限が異なるため、

lim_{x \to 3} f (x)

は存在しない。したがって、

f (x)

は3で連続ではない。図2.36に

f (x)

のグラフを示す。

区分関数のグラフ。左側はy軸に対称な下に開く放物線で、頂点はy軸上の正の位置にある。x=3で黒丸を持つ。右側はx>3で定義された第1象限の右上がりの直線で、x=3に対応する端点は白丸である。 — Figure 2.36図 2.36
The function $f (x)$ is not continuous at 3 because $lim_{x \to 3} f (x)$ does not exist.
$lim_{x \to 3} f (x)$ が存在しないため、関数 $f (x)$ は3で連続ではない。

Example 2.28例題 2.28

Determining Continuity at a Point, Condition 3ある点での連続性を調べる：条件3

Using the definition, determine whether the function

f (x) = {\begin{cases} \frac{sin x}{x} & if x \neq 0 \\ 1 & if x = 0 \end{cases}

is continuous at

x = 0 .

定義を使い、関数

f (x) = {\begin{cases} \frac{sin x}{x} & 条件： x \neq 0 \\ 1 & 条件： x = 0 \end{cases}

が

x = 0

で連続かどうかを調べなさい。

Solution解き方

First, observe that

まず、次が成り立つ。

f (0) = 1 .

f (0) = 1

Next,

次に、

lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 .

lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1

Last, compare

f (0)

and

lim_{x \to 0} f (x) .

We see that

最後に

f (0)

と

lim_{x \to 0} f (x)

を比べると、次のようになる。

f (0) = 1 = lim_{x \to 0} f (x) .

f (0) = 1 = lim_{x \to 0} f (x)

Since all three of the conditions in the definition of continuity are satisfied,

f (x)

is continuous at

x = 0 .

連続性の定義の3条件をすべて満たすため、

f (x)

は

x = 0

で連続である。

By applying the definition of continuity and previously established theorems concerning the evaluation of limits, we can state the following theorem.

連続性の定義と、すでに得た極限に関する定理を組み合わせると、次の定理を述べられる。

Proof証明

Previously, we showed that if

p (x)

and

q (x)

are polynomials,

lim_{x \to a} p (x) = p (a)

for every polynomial

p (x)

and

lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)}

as long as

q (a) \neq 0 .

Therefore, polynomials and rational functions are continuous on their domains.

すでに、

p (x)

と

q (x)

が多項式のとき、すべての多項式

p (x)

について

lim_{x \to a} p (x) = p (a)

が成り立ち、

q (a) \neq 0

なら

lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)}

が成り立つことを示した。したがって、多項式関数と有理関数は、それぞれの定義域で連続である。

□

We now apply Theorem 2.8 to determine the points at which a given rational function is continuous.

定理2.8を使い、ある有理関数がどの点で連続かを調べよう。

Example 2.29例題 2.29

Continuity of a Rational Function有理関数の連続性

For what values of x is

f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}

continuous?

f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}

は、どのxの値で連続か。

Solution解き方

The rational function

f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}

is continuous for every value of x except

x = 5 .

有理関数

f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}

は、

x = 5

を除くすべてのxで連続である。

第2章極限

2.4 Continuity2.4 連続性

Learning Objectives学習目標

Continuity at a Pointある点での連続性

Determining Continuity at a Point, Condition 1ある点での連続性を調べる：条件1

Determining Continuity at a Point, Condition 2ある点での連続性を調べる：条件2

Determining Continuity at a Point, Condition 3ある点での連続性を調べる：条件3

Proof証明

Continuity of a Rational Function有理関数の連続性

2.4 Continuity2.4　連続性