第2章極限

Exercises 10–12練習問題 10–12

For the following exercises, points

P (1.5, 0)

and

Q (ϕ, y)

are on the graph of the function

f (ϕ) = cos (π ϕ) .

以下の問題では、点

P (1.5, 0)

と

Q (ϕ, y)

は、関数

f (ϕ) = cos (π ϕ)

のグラフ上にある。

Exercise 10問題 10

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point

Q (φ, y),

and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

[T] 点Qのy座標、点

Q (φ, y)

の座標、点PとQを通る割線の傾きを求めて、次の表を完成させなさい。答えは有効数字8桁に丸める。

ϕ	y	$Q (ϕ, y)$	m_sec
1.4	a.	e.	i.
1.49	b.	f.	j.
1.499	c.	g.	k.
1.4999	d.	h.	l.

Exercise 11問題 11

Use the values in the right column of the table in the preceding exercise to guess the value of the slope of the tangent line to f at

φ = 1.5 .

前問の表の右端の列の値を使い、

φ = 1.5

でのfの接線の傾きを推定しなさい。

Solution解き方

Exercise 12問題 12

Use the value in the preceding exercise to find the equation of the tangent line at point P.

前問の値を使い、点Pでの接線の方程式を求めなさい。

Exercises 13–15練習問題 13–15

For the following exercises, points

P (−1, −1)

and

Q (x, y)

are on the graph of the function

f (x) = \frac{1}{x} .

以下の問題では、点

P (−1, −1)

と

Q (x, y)

は、関数

f (x) = \frac{1}{x}

のグラフ上にある。

Exercise 13問題 13

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point

Q (x, y),

and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

[T] 点Qのy座標、点

Q (x, y)

の座標、点PとQを通る割線の傾きを求めて、次の表を完成させなさい。答えは有効数字8桁に丸める。

x	y	$Q (x, y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

Solution解き方

a. −0.95238095; b. −0.99009901; c. −0.99502488; d. −0.99900100; e. (−1;.0500000,−0;.95238095); f. (−1;.0100000,−0;.9909901); g. (−1;.0050000,−0;.99502488); h. (1.0010000,−0;.99900100); i. −0.95238095; j. −0.99009901; k. −0.99502488; l. −0.99900100

a. −0.95238095; b. −0.99009901; c. −0.99502488; d. −0.99900100; e. (−1.0500000, −0.95238095); f. (−1.0100000, −0.99009901); g. (−1.0050000, −0.99502488); h. (−1.0010000, −0.99900100); i. −0.95238095; j. −0.99009901; k. −0.99502488; l. −0.99900100

Exercise 14問題 14

Use the values in the right column of the table in the preceding exercise to guess the value of the slope of the line tangent to f at

x = −1 .

前問の表の右端の列の値を使い、

x = −1

でのfの接線の傾きを推定しなさい。

Exercise 15問題 15

Use the value in the preceding exercise to find the equation of the tangent line at point P.

前問の値を使い、点Pでの接線の方程式を求めなさい。

Solution解き方

y = − x - 2

y = − x - 2

Exercises 16–17練習問題 16–17

For the following exercises, the position function of a ball dropped from the top of a 200-meter tall building is given by

s (t) = 200 - 4.9 t^{2},

where position s is measured in meters and time t is measured in seconds. Round your answer to eight significant digits.

以下の問題では、高さ200 mの建物の屋上から落としたボールの位置は、

s (t) = 200 - 4.9 t^{2}

で与えられる。位置sの単位はm、時間tの単位は秒である。答えは有効数字8桁に丸めなさい。

Exercise 16問題 16

[T] Compute the average velocity of the ball over the given time intervals.

[T] 指定された各時間区間で、ボールの平均速度を計算しなさい。

$[4.99, 5]$
$[4.99, 5]$
$[5, 5.01]$
$[5, 5.01]$
$[4.999, 5]$
$[4.999, 5]$
$[5, 5.001]$
$[5, 5.001]$

Exercise 17問題 17

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the ball at

t = 5

sec.

前問の結果から、

t = 5

秒でのボールの瞬間速度を推定しなさい。

Solution解き方

−49 m/sec (velocity of the ball is 49 m/sec downward)

−49 m/sec（鉛直下向きに49 m/sec）

Exercises 18–19練習問題 18–19

For the following exercises, consider a stone tossed into the air from ground level with an initial velocity of 15 m/sec. Its height in meters at time t seconds is

h (t) = 15 t - 4.9 t^{2} .

以下の問題では、地面から初速度15 m/secで鉛直上方へ投げた石を考える。t秒後の高さをmで表すと、

h (t) = 15 t - 4.9 t^{2}

となる。

Exercise 18問題 18

[T] Compute the average velocity of the stone over the given time intervals.

[T] 指定された各時間区間で、石の平均速度を計算しなさい。

$[1, 1.05]$
$[1, 1.05]$
$[1, 1.01]$
$[1, 1.01]$
$[1, 1.005]$
$[1, 1.005]$
$[1, 1.001]$
$[1, 1.001]$

Exercise 19問題 19

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the stone at

t = 1

sec.

前問の結果から、

t = 1

秒での石の瞬間速度を推定しなさい。

Solution解き方

5.2 m/sec

Exercises 20–21練習問題 20–21

For the following exercises, consider a rocket shot into the air that then returns to Earth. The height of the rocket in meters is given by

h (t) = 600 + 78.4 t - 4.9 t^{2},

where t is measured in seconds.

以下の問題では、空中へ打ち上げられ、その後地球へ戻るロケットを考える。高さをmで表すと

h (t) = 600 + 78.4 t - 4.9 t^{2}

で与えられる。tの単位は秒である。

Exercise 20問題 20

[T] Compute the average velocity of the rocket over the given time intervals.

[T] 指定された各時間区間で、ロケットの平均速度を計算しなさい。

$[9, 9.01]$
$[9, 9.01]$
$[8.99, 9]$
$[8.99, 9]$
$[9, 9.001]$
$[9, 9.001]$
$[8.999, 9]$
$[8.999, 9]$

Exercise 21問題 21

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the rocket at

t = 9

sec.

前問の結果から、

t = 9

秒でのロケットの瞬間速度を推定しなさい。

Solution解き方

−9.8 m/sec

Exercises 22–23練習問題 22–23

For the following exercises, consider an athlete running a 40-m dash. The position of the athlete is given by

d (t) = \frac{t^{3}}{6} + 4 t,

where d is the position in meters and t is the time elapsed, measured in seconds.

英語のヒント

以下の問題では、40 m走をする選手を考える。選手の位置は

d (t) = \frac{t^{3}}{6} + 4 t

で与えられる。dはmで表した位置、tは秒で表した経過時間である。

Exercise 22問題 22

[T] Compute the average velocity of the runner over the given time intervals.

[T] 指定された各時間区間で、選手の平均速度を計算しなさい。

$[1.95, 2.05]$
$[1.95, 2.05]$
$[1.995, 2.005]$
$[1.995, 2.005]$
$[1.9995, 2.0005]$
$[1.9995, 2.0005]$
$[2, 2.00001]$
$[2, 2.00001]$

Exercise 23問題 23

Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the runner at

t = 2

sec.

前問の結果から、

t = 2

秒での選手の瞬間速度を推定しなさい。

Solution解き方

6 m/sec

Exercises 24–25練習問題 24–25

For the following exercises, consider the function

f (x) = | x | .

以下の問題では、関数

f (x) = | x |

を考える。

Exercise 24問題 24

Sketch the graph of f over the interval

[−1, 2]

and shade the region above the x-axis.

区間

[−1, 2]

でのfのグラフを描き、グラフとx軸の間の領域に色を付けなさい。

Exercise 25問題 25

Use the preceding exercise to find the aproximate value of the area between the x-axis and the graph of f over the interval

[−1, 2]

using rectangles. For the rectangles, use the square units, and approximate both above and below the lines. Use geometry to find the exact answer.

前問の図を用い、区間

[−1, 2]

でのx軸とfのグラフの間の面積を、長方形を使って近似しなさい。単位正方形を使って、下側と上側の両方から面積を近似すること。幾何学の知識を使って、正確な面積も求めなさい。

Solution解き方

Under, 1 unit²; over: 4 unit². The exact area of the two triangles is

\frac{1}{2} (1) (1) + \frac{1}{2} (2) (2) = 2.5 {units}^{2} .

下側からの近似：1 単位²。上側からの近似：4 単位²。2つの三角形の正確な面積の合計は

\frac{1}{2} (1) (1) + \frac{1}{2} (2) (2) = 2.5 {単位}^{2}

である。

Exercises 26–27練習問題 26–27

For the following exercises, consider the function

f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} .

(Hint: This is the upper half of a circle of radius 1 positioned at

(0, 0) .)

以下の問題では、関数

f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}

を考える。ヒント：中心を

(0, 0)

に持つ半径1の円の上半分である。

Exercise 26問題 26

Sketch the graph of f over the interval

[−1, 1] .

区間

[−1, 1]

でのfのグラフを描きなさい。

Exercise 27問題 27

Use the preceding exercise to find the aproximate area between the x-axis and the graph of f over the interval

[−1, 1]

using rectangles. For the rectangles, use squares 0.4 by 0.4 units, and approximate both above and below the lines. Use geometry to find the exact answer.

前問の図を用い、区間

[−1, 1]

でのx軸とfのグラフの間の面積を、長方形を使って近似しなさい。0.4×0.4の正方形を使って、下側と上側の両方から面積を近似すること。幾何学の知識を使って、正確な面積も求めなさい。

Solution解き方

Under, 0.96 unit²; over, 1.92 unit². The exact area of the semicircle with radius 1 is

\frac{π {(1)}^{2}}{2} = \frac{π}{2}

unit².

下側からの近似：0.96 単位²。上側からの近似：1.92 単位²。半径1の半円の正確な面積は

\frac{π {(1)}^{2}}{2} = \frac{π}{2}

単位²である。

Exercises 28–29練習問題 28–29

For the following exercises, consider the function

f (x) = − x^{2} + 1 .

以下の問題では、関数

f (x) = − x^{2} + 1

を考える。

Exercise 28問題 28

Sketch the graph of f over the interval

[−1, 1] .

区間

[−1, 1]

でのfのグラフを描きなさい。

Exercise 29問題 29

Approximate the area of the region between the x-axis and the graph of f over the interval

[−1, 1] .

区間

[−1, 1]

で、x軸とfのグラフの間の領域の面積を近似しなさい。

Solution解き方

Approximately 1.3333333 unit²

約1.3333333 単位²

average velocity

平均速度

the change in an object’s position divided by the length of a time period; the average velocity of an object over a time interval

[t, a]

(if

t < a

[a, t]

t > a)

, with a position given by

s (t),

that is

v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a}

位置の変化を、経過時間で割った値。位置が

s (t)

で与えられる物体について、時間区間

[t, a]

（

t < a

の場合）、または

[a, t]

（

t > a

の場合）の平均速度は、

v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a}

である。

differential calculus

微分法

the field of calculus concerned with the study of derivatives and their applications

導関数とその応用を研究する、微積分の一分野。

instantaneous velocity

瞬間速度

The instantaneous velocity of an object with a position function that is given by

s (t)

is the value that the average velocities on intervals of the form

[t, a]

and

[a, t]

approach as the values of t move closer to

a,

provided such a value exists

位置関数が

s (t)

で与えられる物体について、tを

a

に近づけたとき、区間

[t, a]

と

[a, t]

での平均速度が近づく値。そのような値が存在する場合に定義される。

integral calculus

積分法

the study of integrals and their applications

積分とその応用を研究する分野。

limit

極限

the process of letting x or t approach a in an expression; the limit of a function

f (x)

as x approaches a is the value that

f (x)

approaches as x approaches a

式においてxやtをaに近づける操作で考える値。関数

f (x)

について、xをaに近づけたときの極限とは、それにつれて

f (x)

が近づく値である。

multivariable calculus

多変数の微積分

the study of the calculus of functions of two or more variables

2つ以上の変数を持つ関数についての微積分を研究する分野。

secant

割線

A secant line to a function

f (x)

at a is a line through the point

(a, f (a))

and another point on the function; the slope of the secant line is given by

m_{sec} = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

関数

f (x)

のグラフ上の点

(a, f (a))

と、グラフ上の別の点を通る直線。割線の傾きは

m_{sec} = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

で与えられる。

tangent

接線

A tangent line to the graph of a function at a point

(a, f (a))

is the line that secant lines through

(a, f (a))

approach as they are taken through points on the function with x-values that approach a; the slope of the tangent line to a graph at a measures the rate of change of the function at a

関数のグラフ上の点

(a, f (a))

での接線とは、点

(a, f (a))

とグラフ上の別の点を通る割線において、その別の点のx座標をaに近づけたときに、割線が近づく直線である。接線の傾きは、aでの関数の変化率を表す。