第2章極限

Key Concepts重要な概念

• A table of values or graph may be used to estimate a limit.

  値の表やグラフを使って、極限を推定できる。
• If the limit of a function at a point does not exist, it is still possible that the limits from the left and right at that point may exist.

  ある点で関数の両側極限が存在しなくても、左右それぞれの片側極限は存在することがある。
• If the limits of a function from the left and right exist and are equal, then the limit of the function is that common value.

  左右の極限が存在して等しいなら、その共通の値が関数の両側極限である。
• We may use limits to describe infinite behavior of a function at a point.

  極限の記号を使って、ある点で関数が無限大に発散する様子を表せる。

Key Equations重要な式

Exercises 44–45練習問題 44–45

[T] In the following exercises, set up a table of values and round to eight significant digits. Based on the table of values, make a guess about what the limit is. Then, use a calculator to graph the function and determine the limit. Was the conjecture correct? If not, why does the method of tables fail?

[T] 以下の問題では、値の表を作り、有効数字8桁に丸めなさい。表から極限の値を予想し、その後、電卓で関数のグラフを描いて極限を判断すること。予想は正しかったか。違っていた場合、なぜ値の表による方法がうまくいかなかったのか。

Exercise 44問題 44

$\underset{\theta \to 0}{\text{lim}}\text{sin}\left(\frac{\pi }{\theta }\right)$

$\underset{\theta \to 0}{\text{lim}}\text{sin}\left(\frac{\pi }{\theta }\right)$

θ	$\text{sin}\left(\frac{\pi }{\theta }\right)$		θ	$\text{sin}\left(\frac{\pi }{\theta }\right)$
−0.1	a.		0.1	e.
−0.01	b.		0.01	f.
−0.001	c.		0.001	g.
−0.0001	d.		0.0001	h.

Exercise 45問題 45

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{1}{\alpha }\text{cos}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{1}{\alpha }\text{cos}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$

a	$\frac{1}{\alpha }\text{cos}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

Solution解き方

a. 10.00000; b. 100.00000; c. 1000.0000; d. 10,000.000; Guess: $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{1}{\alpha }\text{cos}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=\infty ,$ actual: DNE

a. 10.00000; b. 100.00000; c. 1000.0000; d. 10,000.000。予想：$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{1}{\alpha }\text{cos}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=\infty$。実際：極限は存在しない。

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Exercises 46–49練習問題 46–49

In the following exercises, consider the graph of the function $y=f\left(x\right)$ shown here. Which of the statements about $y=f\left(x\right)$ are true and which are false? Explain why a statement is false.

以下の問題では、ここに示す関数$y=f\left(x\right)$のグラフを考える。$y=f\left(x\right)$についての各記述の正誤を判定しなさい。誤りの場合は、その理由を説明すること。

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Exercise 46問題 46

$\underset{x\to 10}{\text{lim}}f\left(x\right)=0$

$\underset{x\to 10}{\text{lim}}f\left(x\right)=0$

Exercise 47問題 47

$\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=3$

$\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=3$

Solution解き方

False; $\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{+}\infty$

誤り。$\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{+}\infty$。

Exercise 48問題 48

$\underset{x\to \mathrm{-8}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(\mathrm{-8}\right)$

$\underset{x\to \mathrm{-8}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(\mathrm{-8}\right)$

Exercise 49問題 49

$\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)=5$

$\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)=5$

Solution解き方

False; $\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)$ DNE since $\underset{x\to 6^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=2$ and $\underset{x\to 6^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=5.$

誤り。$\underset{x\to 6^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=2$と$\underset{x\to 6^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=5$は一致しないため、$\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)$は存在しない。

Exercises 50–54練習問題 50–54

In the following exercises, use the following graph of the function $y=f\left(x\right)$ to find the values, if possible. Estimate when necessary.

以下の問題では、次の関数$y=f\left(x\right)$のグラフを使い、可能なら指定された値を求めなさい。必要な場合は概数で答える。

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Exercise 50問題 50

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercise 51問題 51

$\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

2

2

Exercise 52問題 52

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercise 53問題 53

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

1

1

Exercise 54問題 54

$f\left(1\right)$

$f\left(1\right)$

Exercises 55–58練習問題 55–58

In the following exercises, use the graph of the function $y=f\left(x\right)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

以下の問題では、ここに示す関数$y=f\left(x\right)$のグラフを使い、可能なら指定された値を求めなさい。必要な場合は概数で答える。

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Exercise 55問題 55

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

1

1

Exercise 56問題 56

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercise 57問題 57

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

DNE

存在しない。

Exercise 58問題 58

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercises 59–64練習問題 59–64

In the following exercises, use the graph of the function $y=f\left(x\right)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

以下の問題では、ここに示す関数$y=f\left(x\right)$のグラフを使い、可能なら指定された値を求めなさい。必要な場合は概数で答える。

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Exercise 59問題 59

$\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

0

0

Exercise 60問題 60

$\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercise 61問題 61

$\underset{x\to \mathrm{-2}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to \mathrm{-2}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

DNE

存在しない。

Exercise 62問題 62

$\underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercise 63問題 63

$\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

2

2

Exercise 64問題 64

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercises 65–67練習問題 65–67

In the following exercises, use the graph of the function $y=g(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

以下の問題では、ここに示す関数$y=g(x)$のグラフを使い、可能なら指定された値を求めなさい。必要な場合は概数で答える。

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Exercise 65問題 65

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}g\left(x\right)$

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}g\left(x\right)$

Solution解き方

3

3

Exercise 66問題 66

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}g\left(x\right)$

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}g\left(x\right)$

Exercise 67問題 67

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}g\left(x\right)$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}g\left(x\right)$

Solution解き方

DNE

存在しない。

Exercises 68–70練習問題 68–70

In the following exercises, use the graph of the function $y=h\left(x\right)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

以下の問題では、ここに示す関数$y=h\left(x\right)$のグラフを使い、可能なら指定された値を求めなさい。必要な場合は概数で答える。

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Exercise 68問題 68

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}h\left(x\right)$

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}h\left(x\right)$

Exercise 69問題 69

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}h\left(x\right)$

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}h\left(x\right)$

Solution解き方

0

0

Exercise 70問題 70

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}h\left(x\right)$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}h\left(x\right)$

Exercises 71–75練習問題 71–75

In the following exercises, use the graph of the function $y=f\left(x\right)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

以下の問題では、ここに示す関数$y=f\left(x\right)$のグラフを使い、可能なら指定された値を求めなさい。必要な場合は概数で答える。

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Exercise 71問題 71

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

−2

−2

Exercise 72問題 72

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercise 73問題 73

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

DNE

存在しない。

Exercise 74問題 74

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Exercise 75問題 75

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

Solution解き方

0

0

Exercises 76–82練習問題 76–82

In the following exercises, sketch the graph of a function with the given properties.

以下の問題では、指定された性質を持つ関数のグラフを描きなさい。

Exercise 76問題 76

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)=1,\underset{x\to 4^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=3,\underset{x\to 4^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=6,f\left(4\right)$ is not defined.

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)=1,\underset{x\to 4^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=3,\underset{x\to 4^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=6,f\left(4\right)$は未定義。

Exercise 77問題 77

$Asx\to -\infty ,f\left(x\right)\to 0,\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty ,$ $\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,\underset{x\to 0}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(0\right),f\left(0\right)=1,Asx\to \infty ,f\left(x\right)\to \text{−}\infty$

$Asx\to -\infty ,f\left(x\right)\to 0,\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty$ $\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,\underset{x\to 0}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(0\right),f\left(0\right)=1,Asx\to \infty ,f\left(x\right)\to \text{−}\infty$

Solution解き方

Answers may vary.

解答は1通りとは限らない。

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Exercise 78問題 78

$Asx\to -\infty ,f\left(x\right)\to 2,\underset{x\to 3^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty ,$ $\underset{x\to 3^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,Asx\to \infty ,f\left(x\right)\to 2,f\left(0\right)=\frac{\mathrm{-1}}{3}$

$Asx\to -\infty ,f\left(x\right)\to 2,\underset{x\to 3^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty$ $\underset{x\to 3^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,Asx\to \infty ,f\left(x\right)\to 2,f\left(0\right)=\frac{\mathrm{-1}}{3}$

Exercise 79問題 79

$Asx\to -\infty ,f\left(x\right)\to 2,\underset{x\to \mathrm{-2}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty ,$ $Asx\to \infty ,f\left(x\right)\to 2,f\left(0\right)=0$

$Asx\to -\infty ,f\left(x\right)\to 2,\underset{x\to \mathrm{-2}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty$ $Asx\to \infty ,f\left(x\right)\to 2,f\left(0\right)=0$

Solution解き方

Answers may vary.

解答は1通りとは限らない。

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Exercise 80問題 80

$Asx\to -\infty ,f\left(x\right)\to 0,\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty ,$ $f\left(0\right)=\mathrm{-1},\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty ,\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,Asx\to \infty ,f\left(x\right)\to 0$

$Asx\to -\infty ,f\left(x\right)\to 0,\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty$ $f\left(0\right)=\mathrm{-1},\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty ,\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty ,Asx\to \infty ,f\left(x\right)\to 0$

Exercise 81問題 81

Shock waves arise in many physical applications, ranging from supernovas to detonation waves. A graph of the density of a shock wave with respect to distance, x, is shown here. We are mainly interested in the location of the front of the shock, labeled $x_{\text{SF}}$ in the diagram.

英語のヒント

衝撃波は、超新星から爆轟波まで、さまざまな物理現象で生じる。ここに、距離xに対する衝撃波の密度のグラフを示す。特に注目するのは、図で$x_{\text{SF}}$と表示された衝撃波面の位置である。

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1. Evaluate $\underset{x\to x_{SF}{}^{+}}{\text{lim}}\rho \left(x\right).$

   $\underset{x\to x_{SF}{}^{+}}{\text{lim}}\rho \left(x\right)$を求めなさい。
2. Evaluate $\underset{x\to x_{SF}{}^{-}}{\text{lim}}\rho \left(x\right).$

   $\underset{x\to x_{SF}{}^{-}}{\text{lim}}\rho \left(x\right)$を求めなさい。
3. Evaluate $\underset{x\to x_{SF}}{\text{lim}}\rho \left(x\right).$ Explain the physical meanings behind your answers.

   $\underset{x\to x_{SF}}{\text{lim}}\rho \left(x\right)$を求めなさい。それぞれの答えの物理的な意味を説明すること。

Solution解き方

a. ${\rho }_2$ b. ${\rho }_1$ c. DNE unless ${\rho }_1={\rho }_2.$ As you approach $x_{\text{SF}}$ from the left, you are in the high-density area of the shock. When you approach from the right, you have not experienced the “shock” yet and are at a lower density.

a. ${\rho }_2$　b. ${\rho }_1$　c. ${\rho }_1={\rho }_2$でない限り、極限は存在しない。左から$x_{\text{SF}}$に近づくと、衝撃波の高密度の領域にいる。右から近づく場合は、まだ衝撃波が通過していない低密度の領域にいる。

Exercise 82問題 82

A track coach uses a camera with a fast shutter to estimate the position of a runner with respect to time. A table of the values of position of the athlete versus time is given here, where x is the position in meters of the runner and t is time in seconds. What is $\underset{t\to 2}{\text{lim}}x\left(t\right)?$ What does it mean physically?

陸上のコーチが、高速シャッターのカメラを使い、走者の時刻ごとの位置を推定している。次の表は、時刻t（秒）と走者の位置x（m）の関係を示す。$\underset{t\to 2}{\text{lim}}x\left(t\right)$を求め、その物理的な意味を説明しなさい。

t (sec) t（秒）	x (m) x（m）
1.75	4.5
1.95	6.1
1.99	6.42
2.01	6.58
2.05	6.9
2.25	8.5