第2章極限

Types of Discontinuities不連続の種類

As we have seen in Example 2.26 and Example 2.27, discontinuities take on several different appearances. We classify the types of discontinuities we have seen thus far as removable discontinuities, infinite discontinuities, or jump discontinuities. Intuitively, a removable discontinuity is a discontinuity for which there is a hole in the graph, a jump discontinuity is a noninfinite discontinuity for which the sections of the function do not meet up, and an infinite discontinuity is a discontinuity located at a vertical asymptote. Figure 2.37 illustrates the differences in these types of discontinuities. Although these terms provide a handy way of describing three common types of discontinuities, keep in mind that not all discontinuities fit neatly into these categories.

英語のヒント

例題2.26と例題2.27で見たように、不連続にはいくつかの形がある。ここまでの例は、除去可能な不連続、無限不連続、跳躍不連続に分類できる。直感的には、除去可能な不連続はグラフに穴が開くもの、跳躍不連続は無限大にはならないが左右の部分がつながらないもの、無限不連続は垂直漸近線の位置で生じるものである。図2.37に違いを示す。これらはよく現れる3種類の不連続を表す便利な分類だが、すべての不連続がこの3つに収まるわけではない。

3種類の不連続を示すグラフ。(a)除去可能な不連続では、右上がりの直線上のx=aの点が白丸で、その上に黒丸がある。(b)跳躍不連続では、右上がりの2本の直線部分がx=aで異なる高さにあり、左の終点が黒丸、右の始点が白丸である。(c)無限不連続では、x=aを垂直漸近線として2つの枝が分かれる。左からは正の無限大へ、右からは負の無限大へ伸び、遠方では水平な軸に近づく。 — Figure 2.37図 2.37
Discontinuities are classified as (a) removable, (b) jump, or (c) infinite.
不連続の例。(a)除去可能な不連続、(b)跳躍不連続、(c)無限不連続。

These three discontinuities are formally defined as follows:

この3種類を、正確には次のように定義する。

Definition定義

f (x)

is discontinuous at a, then

f (x)

がaで不連続であるとき、次のように分類する。

$f$ has a removable discontinuity at a if $lim_{x \to a} f (x)$ exists. (Note: When we state that $lim_{x \to a} f (x)$ exists, we mean that $lim_{x \to a} f (x) = L,$ where L is a real number.)
$lim_{x \to a} f (x)$ が存在するなら、 $f$ はaで除去可能な不連続を持つという。ここで、 $lim_{x \to a} f (x)$ が存在するとは、実数Lについて $lim_{x \to a} f (x) = L$ となることを指す。
$f$ has a jump discontinuity at a if $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ and $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ both exist, but $lim_{x \to a^{-}} f (x) \neq lim_{x \to a^{+}} f (x) .$ (Note: When we state that $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ and $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ both exist, we mean that both are real-valued and that neither take on the values ±∞.)
$lim_{x \to a^{-}} f (x)$ と $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ がともに存在するが、 $lim_{x \to a^{-}} f (x) \neq lim_{x \to a^{+}} f (x)$ となる場合、 $f$ はaで跳躍不連続を持つという。 $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ と $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ が存在するとは、どちらも実数であり、±∞ではないという意味である。
$f$ has an infinite discontinuity at a if $lim_{x \to a^{-}} f (x) = ± \infty$ and/or $lim_{x \to a^{+}} f (x) = ± \infty .$
$lim_{x \to a^{-}} f (x) = ± \infty$ または $lim_{x \to a^{+}} f (x) = ± \infty$ の少なくとも一方が成り立つなら、 $f$ はaで無限不連続を持つという。

Example 2.30例題 2.30

Classifying a Discontinuity不連続を分類する

In Example 2.26, we showed that

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

is discontinuous at

x = 2 .

Classify this discontinuity as removable, jump, or infinite.

例題2.26では、

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

が

x = 2

で不連続であることを示した。この不連続を、除去可能・跳躍・無限のいずれかに分類しなさい。

Solution解き方

To classify the discontinuity at 2 we must evaluate

lim_{x \to 2} f (x) :

2での不連続を分類するには、

lim_{x \to 2} f (x) :

を求める。

\begin{matrix} lim_{x \to 2} f (x) & = lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} \\ = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} \\ = lim_{x \to 2} (x + 2) \\ = 4 . \end{matrix}

Since f is discontinuous at 2 and

lim_{x \to 2} f (x)

exists, f has a removable discontinuity at

x = 2 .

fは2で不連続だが

lim_{x \to 2} f (x)

は存在するので、

x = 2

での不連続は除去可能である。

Example 2.31例題 2.31

Classifying a Discontinuity不連続を分類する

In Example 2.27, we showed that

f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 4 & if x \leq 3 \\ 4 x - 8 & if x > 3 \end{matrix}

is discontinuous at

x = 3 .

Classify this discontinuity as removable, jump, or infinite.

例題2.27では、

f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 4 & 条件： x \leq 3 \\ 4 x - 8 & 条件： x > 3 \end{matrix}

が

x = 3

で不連続であることを示した。この不連続を、除去可能・跳躍・無限のいずれかに分類しなさい。

Solution解き方

Earlier, we showed that f is discontinuous at 3 because

lim_{x \to 3} f (x)

does not exist. However, since

lim_{x \to 3^{-}} f (x) = −5

and

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 4

both exist, we conclude that the function has a jump discontinuity at 3.

すでに、

lim_{x \to 3} f (x)

が存在しないため、fは3で不連続だと分かっている。しかし、

lim_{x \to 3^{-}} f (x) = −5

と

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 4

はともに存在し、値が異なる。したがって、3での不連続は跳躍不連続である。

Example 2.32例題 2.32

Classifying a Discontinuity不連続を分類する

Determine whether

f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}

is continuous at −1. If the function is discontinuous at −1, classify the discontinuity as removable, jump, or infinite.

f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}

が−1で連続かどうかを調べなさい。不連続なら、除去可能・跳躍・無限のいずれかに分類すること。

Solution解き方

The function value

f (−1)

is undefined. Therefore, the function is not continuous at −1. To determine the type of discontinuity, we must determine the limit at −1. We see that

lim_{x \to {−1}^{-}} \frac{x + 2}{x + 1} = − \infty

and

lim_{x \to {−1}^{+}} \frac{x + 2}{x + 1} = + \infty .

Therefore, the function has an infinite discontinuity at −1.

関数値

f (−1)

は未定義なので、この関数は−1で連続ではない。不連続の種類を調べるため、−1での極限を考える。

lim_{x \to {−1}^{-}} \frac{x + 2}{x + 1} = − \infty

かつ

lim_{x \to {−1}^{+}} \frac{x + 2}{x + 1} = + \infty

だから、−1では無限不連続である。

Checkpoint 2.23確認問題 2.23

For

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & if x \neq 1 \\ 3 & if x = 1 \end{matrix},

decide whether f is continuous at 1. If f is not continuous at 1, classify the discontinuity as removable, jump, or infinite.

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & 条件： x \neq 1 \\ 3 & 条件： x = 1 \end{matrix}

について、fが1で連続かどうかを調べなさい。不連続なら、除去可能・跳躍・無限のいずれかに分類すること。

Solution解き方

Discontinuous at 1; removable

1で不連続。除去可能な不連続である。

Continuity over an Interval区間上での連続性

Now that we have explored the concept of continuity at a point, we extend that idea to continuity over an interval. As we develop this idea for different types of intervals, it may be useful to keep in mind the intuitive idea that a function is continuous over an interval if we can use a pencil to trace the function between any two points in the interval without lifting the pencil from the paper. In preparation for defining continuity on an interval, we begin by looking at the definition of what it means for a function to be continuous from the right at a point and continuous from the left at a point.

英語のヒント

ある点での連続性を学んだので、これを区間上での連続性へ広げよう。さまざまな区間で考える際には、「区間内の任意の2点の間を、鉛筆を紙から離さずにグラフに沿ってなぞれる」という直感を思い出すとよい。区間上の連続性を定義する準備として、まず、ある点での右連続・左連続を定義する。

A function is continuous over an open interval if it is continuous at every point in the interval. A function

f (x)

is continuous over a closed interval of the form

[a, b]

if it is continuous at every point in

(a, b)

and is continuous from the right at a and is continuous from the left at b. Analogously, a function

f (x)

is continuous over an interval of the form

(a, b]

if it is continuous over

(a, b)

and is continuous from the left at b. Continuity over other types of intervals are defined in a similar fashion.

英語のヒント

開区間のすべての点で連続なら、関数はその開区間上で連続であるという。関数

f (x)

が閉区間

[a, b]

上で連続であるとは、

(a, b)

のすべての点で連続であり、さらにaで右連続、bで左連続であることをいう。同様に、関数

f (x)

が

(a, b]

上で連続であるとは、

(a, b)

上で連続で、bで左連続であることをいう。ほかの種類の区間でも、同じように定義する。

Requiring that

lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)

and

lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)

ensures that we can trace the graph of the function from the point

(a, f (a))

to the point

(b, f (b))

without lifting the pencil. If, for example,

lim_{x \to a^{+}} f (x) \neq f (a),

we would need to lift our pencil to jump from

f (a)

to the graph of the rest of the function over

(a, b] .

lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)

と

lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)

を要求することで、点

(a, f (a))

から点

(b, f (b))

まで、鉛筆を離さずにグラフをなぞれる。たとえば

lim_{x \to a^{+}} f (x) \neq f (a)

なら、

f (a)

に対応する点から

(a, b]

上の残りのグラフへ移る際、鉛筆を持ち上げて飛び移らなければならない。

Example 2.33例題 2.33

Continuity on an Interval区間上での連続性

State the interval(s) over which the function

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}

is continuous.

関数

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}

が連続である区間をすべて挙げなさい。

Solution解き方

Since

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}

is a rational function, it is continuous at every point in its domain. The domain of

f (x)

is the set

(− \infty, −2) \cup (−2, 0) \cup (0, + \infty) .

Thus,

f (x)

is continuous over each of the intervals

(− \infty, −2), (−2, 0),

and

(0, + \infty) .

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}

は有理関数なので、定義域のすべての点で連続である。

f (x)

の定義域は

(− \infty, −2) \cup (−2, 0) \cup (0, + \infty)

である。したがって、

f (x)

は各区間

(− \infty, −2), (−2, 0)

および

(0, + \infty)

で連続である。

Example 2.34例題 2.34

Continuity over an Interval区間上での連続性

State the interval(s) over which the function

f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}

is continuous.

関数

f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}

が連続である区間をすべて挙げなさい。

Solution解き方

From the limit laws, we know that

lim_{x \to a} \sqrt[]{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - a^{2}}

for all values of a in

(−2, 2) .

We also know that

lim_{x \to {−2}^{+}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0

exists and

lim_{x \to 2^{-}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0

exists. Therefore,

f (x)

is continuous over the interval

[−2, 2] .

極限の法則から、

(−2, 2)

のすべてのaについて

lim_{x \to a} \sqrt[]{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - a^{2}}

が成り立つ。また、端点では

lim_{x \to {−2}^{+}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0

と

lim_{x \to 2^{-}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0

が成り立ち、それぞれの関数値に等しい。したがって、

f (x)

は区間

[−2, 2]

上で連続である。

The Theorem 2.9 allows us to expand our ability to compute limits. In particular, this theorem ultimately allows us to demonstrate that trigonometric functions are continuous over their domains.

定理2.9により、求められる極限の範囲が広がる。特に、この定理を使うと、三角関数がそれぞれの定義域で連続であることを示せる。

Before we move on to Example 2.35, recall that earlier, in the section on limit laws, we showed

lim_{x \to 0} cos x = 1 = cos (0) .

Consequently, we know that

f (x) = cos x

is continuous at 0. In Example 2.35 we see how to combine this result with the composite function theorem.

例題2.35へ進む前に、極限の法則の節で

lim_{x \to 0} cos x = 1 = cos (0)

を示したことを思い出そう。したがって、

f (x) = cos x

は0で連続である。この結果を合成関数の定理と組み合わせる方法を、例題2.35で見る。

Example 2.35例題 2.35

Limit of a Composite Cosine Function余弦を含む合成関数の極限

Evaluate

lim_{x \to π / 2} cos (x - \frac{π}{2}) .

lim_{x \to π / 2} cos (x - \frac{π}{2})

を求めなさい。

Solution解き方

The given function is a composite of

cos x

and

x - \frac{π}{2} .

Since

lim_{x \to π / 2} (x - \frac{π}{2}) = 0

and

cos x

is continuous at 0, we may apply the composite function theorem. Thus,

与えられた関数は、

cos x

と

x - \frac{π}{2}

の合成である。

lim_{x \to π / 2} (x - \frac{π}{2}) = 0

であり、

cos x

は0で連続なので、合成関数の定理を使える。したがって、次のようになる。

lim_{x \to π / 2} cos (x - \frac{π}{2}) = cos (lim_{x \to π / 2} (x - \frac{π}{2})) = cos (0) = 1 .

lim_{x \to π / 2} cos (x - \frac{π}{2}) = cos (lim_{x \to π / 2} (x - \frac{π}{2})) = cos (0) = 1

The proof of the next theorem uses the composite function theorem as well as the continuity of

f (x) = sin x

and

g (x) = cos x

at the point 0 to show that trigonometric functions are continuous over their entire domains.

次の定理の証明では、合成関数の定理と、

f (x) = sin x

および

g (x) = cos x

の0での連続性を使い、三角関数がそれぞれの定義域全体で連続であることを示す。

Proof証明

We begin by demonstrating that

cos x

is continuous at every real number. To do this, we must show that

lim_{x \to a} cos x = cos a

for all values of a.

まず、

cos x

がすべての実数で連続であることを示す。そのためには、どのaについても

lim_{x \to a} cos x = cos a

が成り立つことを示せばよい。

\begin{matrix} lim_{x \to a} cos x & = lim_{x \to a} cos ((x - a) + a) & rewrite x = x - a + a \\ = lim_{x \to a} (cos (x - a) cos a - sin (x - a) sin a) & apply the identity for the cosine of the sum of two angles \\ = cos (lim_{x \to a} (x - a)) cos a - sin (lim_{x \to a} (x - a)) sin a & lim_{x \to a} (x - a) = 0, and sin x and cos x are continuous at 0 \\ = cos (0) cos a - sin (0) sin a & evaluate cos(0) and sin(0) and simplify \\ = 1 \cdot cos a - 0 \cdot sin a = cos a . \end{matrix}

\begin{matrix} lim_{x \to a} cos x & = lim_{x \to a} cos ((x - a) + a) & 書き換える式： x = x - a + a \\ = lim_{x \to a} (cos (x - a) cos a - sin (x - a) sin a) & 余弦の加法定理を用いる \\ = cos (lim_{x \to a} (x - a)) cos a - sin (lim_{x \to a} (x - a)) sin a & lim_{x \to a} (x - a) = 0, および sin x および cos x は0で連続 \\ = cos (0) cos a - sin (0) sin a & cos(0)とsin(0)の値を代入して整理する \\ = 1 \cdot cos a - 0 \cdot sin a = cos a . \end{matrix}

The proof that

sin x

is continuous at every real number is analogous. Because the remaining trigonometric functions may be expressed in terms of

sin x

and

cos x,

their continuity follows from the quotient limit law.

sin x

がすべての実数で連続であることも、同様に示せる。残りの三角関数は

sin x

と

cos x

を使って表せるので、商の極限の法則から、それぞれの定義域での連続性が従う。

□

As you can see, the composite function theorem is invaluable in demonstrating the continuity of trigonometric functions. As we continue our study of calculus, we revisit this theorem many times.

このように、合成関数の定理は三角関数の連続性を示すうえで非常に役に立つ。微積分の学習を進める中で、何度もこの定理を使うことになる。