第2章極限

Additional Limit Evaluation Techniques極限を求めるためのさらに進んだ方法

As we have seen, we may evaluate easily the limits of polynomials and limits of some (but not all) rational functions by direct substitution. However, as we saw in the introductory section on limits, it is certainly possible for

lim_{x \to a} f (x)

to exist when

f (a)

is undefined. The following observation allows us to evaluate many limits of this type:

英語のヒント

多項式関数や、一部の有理関数の極限は、そのまま代入すれば簡単に求められた。しかし、極限の導入で見たように、

f (a)

が未定義でも

lim_{x \to a} f (x)

が存在することはある。次の性質を使うと、そのような極限を多く求められる。

If for all

x \neq a, f (x) = g (x)

over some open interval containing a, then

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) .

aを含むある開区間で、aを除くすべてのxについて

f (x) = g (x)

が成り立つなら、

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x)

である。

To understand this idea better, consider the limit

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} .

この考えをよく理解するため、極限

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

を考えよう。

The function

次の関数を考える。

\begin{matrix} f (x) & = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} \end{matrix}

and the function

g (x) = x + 1

are identical for all values of

x \neq 1 .

The graphs of these two functions are shown in Figure 2.24.

この関数と

g (x) = x + 1

は、

x \neq 1

を満たすすべての値で一致する。図2.24に、2つのグラフを示す。

2つのグラフを並べている。g(x)=x+1は、y切片(0,1)、x切片(−1,0)を持つ直線である。f(x)=(x²−1)/(x−1)もx≠1では同じ直線だが、点(1,2)が白丸になっている。 — Figure 2.24図 2.24
The graphs of $f (x)$ and $g (x)$ are identical for all $x \neq 1 .$ Their limits at 1 are equal.
$f (x)$ と $g (x)$ のグラフは、 $x \neq 1$ で一致し、1での極限も等しい。

We see that

したがって、次のようになる。

\begin{matrix} lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & = lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} (x + 1) \\ = 2 . \end{matrix}

The limit has the form

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)},

where

lim_{x \to a} f (x) = 0

and

lim_{x \to a} g (x) = 0 .

(In this case, we say that

f (x) / g (x)

has the indeterminate form

0 / 0 .)

The following Problem-Solving Strategy provides a general outline for evaluating limits of this type.

英語のヒント

この極限は

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}

の形で、

lim_{x \to a} f (x) = 0

かつ

lim_{x \to a} g (x) = 0

となっている。このとき、

f (x) / g (x)

は

0 / 0

という不定形になるという。次の解法の指針は、この型の極限を求めるための大まかな手順である。

Calculating a Limit When $f (x) / g (x)$ has the Indeterminate Form 0/0 $f (x) / g (x)$ が0/0の不定形になる極限を求める

First, we need to make sure that our function has the appropriate form and cannot be evaluated immediately using the limit laws.
まず、関数が該当する不定形になっており、極限の法則をすぐには適用できないことを確かめる。
We then need to find a function that is equal to $h (x) = f (x) / g (x)$ for all $x \neq a$ over some interval containing a. To do this, we may need to try one or more of the following steps:
次に、aを含むある区間で、 $x \neq a$ のとき $h (x) = f (x) / g (x)$ と等しくなる関数を探す。そのため、次の操作を1つ以上試す。
1. If $f (x)$ and $g (x)$ are polynomials, we should factor each function and cancel out any common factors.
  $f (x)$ と $g (x)$ が多項式なら、それぞれを因数分解し、共通の因子を約分する。
2. If the numerator or denominator contains a difference involving a square root, we should try multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the expression involving the square root.
  英語のヒント
  分子や分母に平方根を含む差の形の式があれば、その共役な式を分子と分母に掛けてみる。
3. If $f (x) / g (x)$ is a complex fraction, we begin by simplifying it.
  $f (x) / g (x)$ が繁分数、つまり分子や分母にさらに分数を含む式なら、まずそれを整理する。
Last, we apply the limit laws.
最後に、極限の法則を使う。

The next examples demonstrate the use of this Problem-Solving Strategy. Example 2.17 illustrates the factor-and-cancel technique; Example 2.18 shows multiplying by a conjugate. In Example 2.19, we look at simplifying a complex fraction.

英語のヒント

次の例題で、この解法の指針を使う。例題2.17では因数分解と約分、例題2.18では共役な式を掛ける方法を示す。例題2.19では、繁分数の整理を扱う。

Example 2.17例題 2.17

Evaluating a Limit by Factoring and Canceling因数分解と約分によって極限を求める

Evaluate

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} .

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}

を求めなさい。

Solution解き方

Step 1. The function

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}

is undefined for

x = 3 .

In fact, if we substitute 3 into the function we get

0 / 0,

which is indeterminate. Factoring and canceling is a good strategy:

手順1．関数

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}

は

x = 3

で未定義である。実際に3を代入すると、不定形

0 / 0

になる。ここでは、因数分解して約分する方法が有効である。

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)}

Step 2. For all

x \neq 3, \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = \frac{x}{2 x + 1} .

Therefore,

手順2．

x \neq 3, \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = \frac{x}{2 x + 1}

が成り立つ。したがって、次のようになる。

lim_{x \to 3} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)} = lim_{x \to 3} \frac{x}{2 x + 1} .

lim_{x \to 3} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)} = lim_{x \to 3} \frac{x}{2 x + 1}

Step 3. Evaluate using the limit laws:

手順3．極限の法則を使って計算する。

lim_{x \to 3} \frac{x}{2 x + 1} = \frac{3}{7} .

lim_{x \to 3} \frac{x}{2 x + 1} = \frac{3}{7}

Example 2.18例題 2.18

Evaluating a Limit by Multiplying by a Conjugate共役な式を掛けて極限を求める

Evaluate

lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} .

lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}

を求めなさい。

Solution解き方

Step 1.

\frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}

has the form

0 / 0

at −1. Let’s begin by multiplying by

\sqrt{x + 2} + 1,

the conjugate of

\sqrt{x + 2} - 1,

on the numerator and denominator:

手順1．

\frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}

は−1で

0 / 0

の不定形になる。まず、

\sqrt{x + 2} - 1

の共役な式である

\sqrt{x + 2} + 1

を、分子と分母の両方に掛ける。

lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} = lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 2} + 1}{\sqrt{x + 2} + 1} .

lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} = lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 2} + 1}{\sqrt{x + 2} + 1}

Step 2. We then multiply out the numerator. We don’t multiply out the denominator because we are hoping that the

(x + 1)

in the denominator cancels out in the end:

手順2．分子を展開する。分母は展開せずに残す。最後に分母の

(x + 1)

を約分で消せると期待しているからである。

= lim_{x \to −1} \frac{x + 1}{(x + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)} .

= lim_{x \to −1} \frac{x + 1}{(x + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)}

Step 3. Then we cancel:

手順3．約分する。

= lim_{x \to −1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} .

= lim_{x \to −1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1}

Step 4. Last, we apply the limit laws:

手順4．最後に、極限の法則を使う。

lim_{x \to −1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} = \frac{1}{2} .

lim_{x \to −1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} = \frac{1}{2}

Example 2.19例題 2.19

Evaluating a Limit by Simplifying a Complex Fraction繁分数を整理して極限を求める

Evaluate

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} .

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1}

を求めなさい。

Solution解き方

Step 1.

\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1}

has the form

0 / 0

at 1. We simplify the algebraic fraction by multiplying by

2 (x + 1) / 2 (x + 1) :

手順1．

\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1}

は1で

0 / 0

の不定形になる。

2 (x + 1) / 2 (x + 1)

を掛けて、分子にある分数を取り除く。

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)} .

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}

Step 2. Next, we multiply through the numerators. Do not multiply the denominators because we want to be able to cancel the factor

(x - 1) :

手順2．分子を展開する。分母は展開せず、因子

(x - 1) :

を約分できる形に残す。

= lim_{x \to 1} \frac{2 - (x + 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} .

= lim_{x \to 1} \frac{2 - (x + 1)}{2 (x - 1) (x + 1)}

Step 3. Then, we simplify the numerator:

手順3．分子を整理する。

= lim_{x \to 1} \frac{- x + 1}{2 (x - 1) (x + 1)} .

= lim_{x \to 1} \frac{- x + 1}{2 (x - 1) (x + 1)}

Step 4. Now we factor out −1 from the numerator:

手順4．分子から−1をくくり出す。

= lim_{x \to 1} \frac{- (x - 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} .

= lim_{x \to 1} \frac{- (x - 1)}{2 (x - 1) (x + 1)}

Step 5. Then, we cancel the common factors of

(x - 1) :

手順5．共通の因子

(x - 1) :

を約分する。

= lim_{x \to 1} \frac{−1}{2 (x + 1)} .

= lim_{x \to 1} \frac{−1}{2 (x + 1)}

Step 6. Last, we evaluate using the limit laws:

手順6．最後に、極限の法則を使って求める。

lim_{x \to 1} \frac{−1}{2 (x + 1)} = - \frac{1}{4} .

lim_{x \to 1} \frac{−1}{2 (x + 1)} = - \frac{1}{4}

Example 2.20 does not fall neatly into any of the patterns established in the previous examples. However, with a little creativity, we can still use these same techniques.

英語のヒント

例題2.20は、これまでの例題の型にそのまま当てはまらない。しかし、少し工夫すれば、同じ手法を使える。

Example 2.20例題 2.20

Evaluating a Limit When the Limit Laws Do Not Apply極限の法則を直接使えない場合

Evaluate

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)}) .

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)})

を求めなさい。

Solution解き方

Both

1 / x

and

5 / x (x - 5)

fail to have a limit at zero. Since neither of the two functions has a limit at zero, we cannot apply the sum law for limits; we must use a different strategy. In this case, we find the limit by performing addition and then applying one of our previous strategies. Observe that

英語のヒント

1 / x

も

5 / x (x - 5)

も、0での極限を持たない。そのため、和の極限の法則は使えず、別の方法が必要である。この場合は、先に和を計算してから、これまでの方法を使う。次の式変形に注目しよう。

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)} & = \frac{x - 5 + 5}{x (x - 5)} \\ = \frac{x}{x (x - 5)} . \end{matrix}

Thus,

したがって、

\begin{matrix} lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)}) & = lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x - 5)} \\ = lim_{x \to 0} \frac{1}{x - 5} \\ = - \frac{1}{5} . \end{matrix}

Let’s now revisit one-sided limits. Simple modifications in the limit laws allow us to apply them to one-sided limits. For example, to apply the limit laws to a limit of the form

lim_{x \to a^{-}} h (x),

we require the function

h (x)

to be defined over an open interval of the form

(b, a);

for a limit of the form

lim_{x \to a^{+}} h (x),

we require the function

h (x)

to be defined over an open interval of the form

(a, c) .

Example 2.21 illustrates this point.

英語のヒント

ここで、片側極限に戻ろう。極限の法則は、条件を少し変更すれば片側極限にも使える。たとえば、

lim_{x \to a^{-}} h (x)

に適用するには、

h (x)

が

(b, a)

の形の開区間で定義されていることを要求する。

lim_{x \to a^{+}} h (x)

に適用するには、

h (x)

が

(a, c)

の形の開区間で定義されていることを要求する。例題2.21で具体的に見よう。

Example 2.21例題 2.21

Evaluating a One-Sided Limit Using the Limit Laws極限の法則を使って片側極限を求める

Evaluate each of the following limits, if possible.

可能なら、次の各極限を求めなさい。

$lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$
$lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$
$lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3}$
$lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3}$

Solution解き方

Figure 2.25 illustrates the function

f (x) = \sqrt{x - 3}

and aids in our understanding of these limits.

図2.25に

f (x) = \sqrt{x - 3}

を示す。グラフを見ると、これらの極限を理解しやすい。

f(x)=√(x−3)のグラフ。頂点を(3,0)として右に開いた放物線の、上半分の形をしている。 — Figure 2.25図 2.25
The graph shows the function $f (x) = \sqrt{x - 3} .$
関数 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ のグラフ。

The function $f (x) = \sqrt{x - 3}$ is defined over the interval $[3, + \infty) .$ Since this function is not defined to the left of 3, we cannot apply the limit laws to compute $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3} .$ In fact, since $f (x) = \sqrt{x - 3}$ is undefined to the left of 3, $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$ does not exist.
関数 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ の定義域は $[3, + \infty)$ である。3より左側では定義されないため、 $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$ を求めるのに極限の法則は使えない。実際、 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ は3の左側で未定義なので、 $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$ は存在しない。
Since $f (x) = \sqrt{x - 3}$ is defined to the right of 3, the limit laws do apply to $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3} .$ By applying these limit laws we obtain $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3} = 0 .$
$f (x) = \sqrt{x - 3}$ は3より右側で定義されているため、 $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3}$ には極限の法則を使える。計算すると、 $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3} = 0$ を得る。

In Example 2.22 we look at one-sided limits of a piecewise-defined function and use these limits to draw a conclusion about a two-sided limit of the same function.

例題2.22では、区分的に定義された関数の片側極限を求め、それを使って両側極限について結論を出す。

Example 2.22例題 2.22

Evaluating a Two-Sided Limit Using the Limit Laws極限の法則を使って両側極限を求める

For

f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 3 & if x < 2 \\ {(x - 3)}^{2} & if x \geq 2 \end{matrix},

evaluate each of the following limits:

f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 3 & 条件： x < 2 \\ {(x - 3)}^{2} & 条件： x \geq 2 \end{matrix}

について、次の各極限を求めなさい。

$lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 2} f (x)$
$lim_{x \to 2} f (x)$

Solution解き方

Figure 2.26 illustrates the function

f (x)

and aids in our understanding of these limits.

図2.26に

f (x)

を示す。グラフを見ると、これらの極限を理解しやすい。

区分的に定義された関数のグラフ。x<2では直線4x−3で、端点(2,5)は白丸である。x≥2では放物線(x−3)²で、始点(2,1)は黒丸、頂点は(3,0)である。 — Figure 2.26図 2.26
This graph shows a function $f (x) .$
関数 $f (x)$ のグラフ。

Since $f (x) = 4 x - 3$ for all x in $(− \infty, 2),$ replace $f (x)$ in the limit with $4 x - 3$ and apply the limit laws:
区間 $(− \infty, 2)$ のすべてのxで $f (x) = 4 x - 3$ なので、極限の中の $f (x)$ を $4 x - 3$ に置き換え、極限の法則を使う。

$lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} (4 x - 3) = 5 .$
$lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} (4 x - 3) = 5$
Since $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ for all x in $(2, + \infty),$ replace $f (x)$ in the limit with ${(x - 3)}^{2}$ and apply the limit laws:
区間 $(2, + \infty)$ のすべてのxで $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ なので、極限の中の $f (x)$ を ${(x - 3)}^{2}$ に置き換え、極限の法則を使う。

$lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} {(x - 3)}^{2} = 1 .$
$lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} {(x - 3)}^{2} = 1$
Since $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 5$ and $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 1,$ we conclude that $lim_{x \to 2} f (x)$ does not exist.
$lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 5$ と $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 1$ は一致しないため、 $lim_{x \to 2} f (x)$ は存在しない。

We now turn our attention to evaluating a limit of the form

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)},

where

lim_{x \to a} f (x) = K,

where

K \neq 0

and

lim_{x \to a} g (x) = 0 .

That is,

f (x) / g (x)

has the form

K / 0, K \neq 0

at a.

次に、

lim_{x \to a} f (x) = K

、

K \neq 0

、

lim_{x \to a} g (x) = 0

を満たす場合の極限

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}

を考える。つまり、aで

f (x) / g (x)

が

K / 0, K \neq 0

の形になる場合である。

Example 2.23例題 2.23

Evaluating a Limit of the Form $K / 0, K \neq 0$ Using the Limit Laws $K / 0, K \neq 0$ の形になる極限を求める

Evaluate

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} .

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x}

を求めなさい。

Solution解き方

Step 1. After substituting in

x = 2,

we see that this limit has the form

−1 / 0 .

That is, as x approaches 2 from the left, the numerator approaches −1; and the denominator approaches 0. Consequently, the magnitude of

\frac{x - 3}{x (x - 2)}

becomes infinite. To get a better idea of what the limit is, we need to factor the denominator:

英語のヒント

手順1．

x = 2

を代入すると、

−1 / 0

の形になる。つまり、xが左から2に近づくと、分子は−1へ、分母は0へ近づく。このため、

\frac{x - 3}{x (x - 2)}

の絶対値は際限なく大きくなる。正負どちらに発散するかを調べるため、分母を因数分解する。

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x (x - 2)} .

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x (x - 2)}

Step 2. Since

x - 2

is the only part of the denominator that is zero when 2 is substituted, we then separate

1 / (x - 2)

from the rest of the function:

手順2．分母の因子のうち、2を代入して0になるのは

x - 2

だけである。そこで、

1 / (x - 2)

を残りの因子から分ける。

= lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x - 2} .

= lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x - 2}

Step 3.

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x} = - \frac{1}{2}

and

lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x - 2} = − \infty .

Therefore, the product of

(x - 3) / x

and

1 / (x - 2)

has a limit of

+∞:

手順3．

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x} = - \frac{1}{2}

であり、

lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x - 2} = − \infty

である。したがって、

(x - 3) / x

と

1 / (x - 2)

の積は

+∞:

に発散する。

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = + \infty .

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = + \infty

第2章極限

Additional Limit Evaluation Techniques極限を求めるためのさらに進んだ方法

Evaluating a Limit by Factoring and Canceling因数分解と約分によって極限を求める

Evaluating a Limit by Multiplying by a Conjugate共役な式を掛けて極限を求める

Evaluating a Limit by Simplifying a Complex Fraction繁分数を整理して極限を求める

Evaluating a Limit When the Limit Laws Do Not Apply極限の法則を直接使えない場合

Evaluating a One-Sided Limit Using the Limit Laws極限の法則を使って片側極限を求める

Evaluating a Two-Sided Limit Using the Limit Laws極限の法則を使って両側極限を求める

Evaluating a Limit of the Form K/0,K≠0 Using the Limit LawsK/0,K≠0の形になる極限を求める

Evaluating a Limit of the Form $K / 0, K \neq 0$ Using the Limit Laws $K / 0, K \neq 0$ の形になる極限を求める