第2章極限

The Intermediate Value Theorem中間値の定理

Functions that are continuous over intervals of the form

[a, b],

where a and b are real numbers, exhibit many useful properties. Throughout our study of calculus, we will encounter many powerful theorems concerning such functions. The first of these theorems is the Intermediate Value Theorem.

英語のヒント

実数a,bについて、

[a, b]

の形の区間で連続な関数は、有用な性質を数多く持つ。微積分では、そのような関数に関する強力な定理をいくつも学ぶ。最初に取り上げるのは、中間値の定理である。

Example 2.36例題 2.36

Application of the Intermediate Value Theorem中間値の定理の応用

Show that

f (x) = x - cos x

has at least one zero.

f (x) = x - cos x

が少なくとも1つの零点を持つことを示しなさい。

Solution解き方

Since

f (x) = x - cos x

is continuous over

(− \infty, + \infty),

it is continuous over any closed interval of the form

[a, b] .

If you can find an interval

[a, b]

such that

f (a)

and

f (b)

have opposite signs, you can use the Intermediate Value Theorem to conclude there must be a real number c in

(a, b)

that satisfies

f (c) = 0 .

Note that

英語のヒント

f (x) = x - cos x

は

(− \infty, + \infty)

で連続なので、どの閉区間

[a, b]

でも連続である。

f (a)

と

f (b)

が異なる符号になる区間

[a, b]

を見つければ、中間値の定理により、

f (c) = 0

を満たす実数cが

(a, b)

内に存在するといえる。ここで、次に注目する。

f (0) = 0 - cos (0) = −1 < 0

and

また、

f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - cos \frac{π}{2} = \frac{π}{2} > 0 .

f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - cos \frac{π}{2} = \frac{π}{2} > 0

Using the Intermediate Value Theorem, we can see that there must be a real number c in

[0, π / 2]

that satisfies

f (c) = 0 .

Therefore,

f (x) = x - cos x

has at least one zero.

中間値の定理から、

f (c) = 0

を満たす実数cが

[0, π / 2]

内に存在する。したがって、

f (x) = x - cos x

には少なくとも1つ零点がある。

Example 2.37例題 2.37

When Can You Apply the Intermediate Value Theorem?中間値の定理はいつ使えるか

f (x)

is continuous over

[0, 2], f (0) > 0

and

f (2) > 0,

can we use the Intermediate Value Theorem to conclude that

f (x)

has no zeros in the interval

[0, 2]?

Explain.

f (x)

について、

[0, 2]

で連続かつf(0)>0、さらに

f (2) > 0

とする。中間値の定理を使って、

f (x)

は区間

[0, 2]?

内に零点を持たないと結論づけられるか。説明しなさい。

Solution解き方

No. The Intermediate Value Theorem only allows us to conclude that we can find a value between

f (0)

and

f (2);

it doesn’t allow us to conclude that we can’t find other values. To see this more clearly, consider the function

f (x) = {(x - 1)}^{2} .

It satisfies

f (0) = 1 > 0, f (2) = 1 > 0,

and

f (1) = 0 .

英語のヒント

結論づけられない。中間値の定理が保証するのは、

f (0)

と

f (2)

の間の値を取ることだけであり、その範囲外の値を取らないとはいっていない。たとえば、

f (x) = {(x - 1)}^{2}

を考えると分かりやすい。この関数は

f (0) = 1 > 0, f (2) = 1 > 0

を満たすが、

f (1) = 0

である。

Example 2.38例題 2.38

When Can You Apply the Intermediate Value Theorem?中間値の定理はいつ使えるか

For

f (x) = 1 / x, f (−1) = −1 < 0

and

f (1) = 1 > 0 .

Can we conclude that

f (x)

has a zero in the interval

[−1, 1] ?

f (x) = 1 / x, f (−1) = −1 < 0

かつ

f (1) = 1 > 0

である。このことから、

f (x)

が区間

[−1, 1]

内に零点を持つと結論づけられるか。

Solution解き方

No. The function is not continuous over

[−1, 1] .

The Intermediate Value Theorem does not apply here.

結論づけられない。この関数は

[−1, 1]

上で連続でないため、中間値の定理は使えない。

Key Concepts重要な概念

For a function to be continuous at a point, it must be defined at that point, its limit must exist at the point, and the value of the function at that point must equal the value of the limit at that point.
関数がある点で連続であるためには、その点で定義され、極限が存在し、その関数値と極限の値が一致しなければならない。
Discontinuities may be classified as removable, jump, or infinite.
不連続には、除去可能・跳躍・無限という種類がある。
A function is continuous over an open interval if it is continuous at every point in the interval. It is continuous over a closed interval if it is continuous at every point in its interior and is continuous at its endpoints.
開区間のすべての点で連続なら、その開区間上で連続である。閉区間では、内部のすべての点で連続であり、端点では区間の内側から連続であることを要求する。
The composite function theorem states: If $f (x)$ is continuous at L and $lim_{x \to a} g (x) = L,$ then $lim_{x \to a} f (g (x)) = f (lim_{x \to a} g (x)) = f (L) .$
合成関数の定理： $f (x)$ がLで連続で、 $lim_{x \to a} g (x) = L$ なら、 $lim_{x \to a} f (g (x)) = f (lim_{x \to a} g (x)) = f (L)$ となる。
The Intermediate Value Theorem guarantees that if a function is continuous over a closed interval, then the function takes on every value between the values at its endpoints.
中間値の定理は、閉区間で連続な関数が、両端の関数値の間にあるすべての値を取ることを保証する。

Exercises 131–138練習問題 131–138

For the following exercises, determine the point(s), if any, at which each function is discontinuous. Classify any discontinuity as jump, removable, infinite, or other.

以下の問題では、各関数が不連続になる点があれば、すべて求めなさい。不連続を、跳躍・除去可能・無限・その他に分類すること。

Exercise 131問題 131

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

Solution解き方

The function is defined for all x in the interval

(0, \infty) .

この関数は、区間

(0, \infty)

内のすべてのxで定義される。

Exercise 132問題 132

f (x) = \frac{2}{x^{2} + 1}

f (x) = \frac{2}{x^{2} + 1}

Exercise 133問題 133

f (x) = \frac{x}{x^{2} - x}

f (x) = \frac{x}{x^{2} - x}

Solution解き方

Removable discontinuity at

x = 0;

infinite discontinuity at

x = 1

x = 0

で除去可能な不連続、

x = 1

で無限不連続。

Exercise 134問題 134

g (t) = t^{−1} + 1

g (t) = t^{−1} + 1

Exercise 135問題 135

f (x) = \frac{5}{e^{x} - 2}

f (x) = \frac{5}{e^{x} - 2}

Solution解き方

Infinite discontinuity at

x = ln 2

x = ln 2

で無限不連続。

Exercise 136問題 136

f (x) = \frac{| x - 2 |}{x - 2}

f (x) = \frac{| x - 2 |}{x - 2}

Exercise 137問題 137

H (x) = tan 2 x

H (x) = tan 2 x

Solution解き方

Infinite discontinuities at

x = \frac{(2 k + 1) π}{4},

for

k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3,…

k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3,…

に対し、

x = \frac{(2 k + 1) π}{4}

で無限不連続。

Exercise 138問題 138

f (t) = \frac{t + 3}{t^{2} + 5 t + 6}

f (t) = \frac{t + 3}{t^{2} + 5 t + 6}

Exercises 139–144練習問題 139–144

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

以下の問題では、指定された点で関数が連続かどうかを調べなさい。不連続なら、その種類も答えること。

Exercise 139問題 139

f (x) = \frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}

x = 1

f (x) = \frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}

について、

x = 1

で調べる。

Solution解き方

No. It is a removable discontinuity.

連続ではない。除去可能な不連続である。

Exercise 140問題 140

h (θ) = \frac{sin θ - cos θ}{tan θ}

θ = π

h (θ) = \frac{sin θ - cos θ}{tan θ}

について、

θ = π

で調べる。

Exercise 141問題 141

g (u) = {\begin{cases} \frac{6 u^{2} + u - 2}{2 u - 1} & if u \neq \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2} & if u = \frac{1}{2} \end{cases},

u = \frac{1}{2}

g (u) = {\begin{cases} \frac{6 u^{2} + u - 2}{2 u - 1} & 条件： u \neq \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2} & 条件： u = \frac{1}{2} \end{cases}

について、

u = \frac{1}{2}

で調べる。

Solution解き方

Yes. It is continuous.

連続である。

Exercise 142問題 142

f (y) = \frac{sin (π y)}{tan (π y)},

y = 1

f (y) = \frac{sin (π y)}{tan (π y)}

について、

y = 1

で調べる。

Exercise 143問題 143

f (x) = {\begin{cases} x^{2} - e^{x} & if x < 0 \\ x - 1 & if x \geq 0 \end{cases},

x = 0

f (x) = {\begin{cases} x^{2} - e^{x} & 条件： x < 0 \\ x - 1 & 条件： x \geq 0 \end{cases}

について、

x = 0

で調べる。

Solution解き方

Yes. It is continuous.

連続である。

Exercise 144問題 144

f (x) = {\begin{cases} x sin (x) if x \leq π \\ x tan (x) if x > π \end{cases},

x = π

f (x) = {\begin{cases} x sin (x) 条件： x \leq π \\ x tan (x) 条件： x > π \end{cases}

について、

x = π

で調べる。

Exercises 145–149練習問題 145–149

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

以下の問題では、指定された区間上で各関数が連続になるようなkの値を求めなさい。

Exercise 145問題 145

f (x) = {\begin{matrix} 3 x + 2, & x < k \\ 2 x - 3, & k \leq x \leq 8 \end{matrix}

f (x) = {\begin{matrix} 3 x + 2, & x < k \\ 2 x - 3, & k \leq x \leq 8 \end{matrix}

Solution解き方

k = −5

k = −5

Exercise 146問題 146

f (θ) = {\begin{cases} sin θ, & 0 \leq θ < \frac{π}{2} \\ cos (θ + k), & \frac{π}{2} \leq θ \leq π \end{cases}

f (θ) = {\begin{cases} sin θ, & 0 \leq θ < \frac{π}{2} \\ cos (θ + k), & \frac{π}{2} \leq θ \leq π \end{cases}

Exercise 147問題 147

f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 2}, & x \neq - 2 \\ k, & x = −2 \end{matrix}

f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 2}, & x \neq - 2 \\ k, & x = −2 \end{matrix}

Solution解き方

k = −1

k = −1

Exercise 148問題 148

f (x) = {\begin{matrix} e^{k x}, & 0 \leq x < 4 \\ x + 3, & 4 \leq x \leq 8 \end{matrix}

f (x) = {\begin{matrix} e^{k x}, & 0 \leq x < 4 \\ x + 3, & 4 \leq x \leq 8 \end{matrix}

Exercise 149問題 149

f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{k x}, & 0 \leq x \leq 3 \\ x + 1, & 3 < x \leq 10 \end{matrix}

f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{k x}, & 0 \leq x \leq 3 \\ x + 1, & 3 < x \leq 10 \end{matrix}

Solution解き方

k = \frac{16}{3}

k = \frac{16}{3}

Exercises 150–158練習問題 150–158

In the following exercises, use the Intermediate Value Theorem (IVT).

以下の問題では、中間値の定理（IVT）を使いなさい。

Exercise 150問題 150

Let

h (x) = {\begin{cases} 3 x^{2} - 4, & x \leq 2 \\ 5 + 4 x, & x > 2 \end{cases}

Over the interval

[0, 4],

there is no value of x such that

h (x) = 10,

although

h (0) < 10

and

h (4) > 10 .

Explain why this does not contradict the IVT.

h (x) = {\begin{cases} 3 x^{2} - 4, & x \leq 2 \\ 5 + 4 x, & x > 2 \end{cases}

とする。

h (0) < 10

かつ

h (4) > 10

だが、区間

[0, 4]

には

h (x) = 10

を満たすxがない。これが中間値の定理に矛盾しない理由を説明しなさい。

Exercise 151問題 151

A particle moving along a line has at each time t a position function

s (t),

which is continuous. Assume

s (2) = 5

and

s (5) = 2 .

Another particle moves such that its position is given by

h (t) = s (t) - t .

Explain why there must be a value c for

2 < c < 5

such that

h (c) = 0 .

直線上を動く粒子の位置を、時刻tの連続関数

s (t)

で表す。

s (2) = 5

かつ

s (5) = 2

とする。別の粒子の位置は

h (t) = s (t) - t

で与えられる。

h (c) = 0

を満たすcが

2 < c < 5

の範囲に存在する理由を説明しなさい。

Solution解き方

Since both s and

y = t

are continuous everywhere, then

h (t) = s (t) - t

is continuous everywhere and, in particular, it is continuous over the closed interval

[2, 5] .

Also,

h (2) = 3 > 0

and

h (5) = −3 < 0 .

Therefore, by the IVT, there is a value

x = c

such that

h (c) = 0 .

sも

y = t

もすべての点で連続なので、

h (t) = s (t) - t

もすべての点で連続であり、特に閉区間

[2, 5]

で連続である。また、

h (2) = 3 > 0

かつ

h (5) = −3 < 0

である。したがって、中間値の定理より、

h (c) = 0

を満たす値

x = c

が2と5の間に存在する。

Exercise 152問題 152

[T] Use the statement “The cosine of t is equal to t cubed.”

[T] 「tの余弦は、tの3乗に等しい」という記述を考える。

Write a mathematical equation of the statement.
この記述を方程式に表しなさい。
Prove that the equation in part a. has at least one real solution.
aの方程式が少なくとも1つの実数解を持つことを証明しなさい。
Use a calculator to find an interval of length 0.01 that contains a solution.
電卓を使い、解を含む長さ0.01の区間を求めなさい。

Exercise 153問題 153

Apply the IVT to determine whether

2^{x} = x^{3}

has a solution in one of the intervals

[1.25, 1.375]

[1.375, 1.5] .

Briefly explain your response for each interval.

中間値の定理を使い、

2^{x} = x^{3}

が区間

[1.25, 1.375]

または

[1.375, 1.5]

で解を持つか調べなさい。それぞれの区間について、理由を簡潔に説明すること。

Solution解き方

The function

f (x) = 2^{x} - x^{3}

is continuous over the interval

[1.25, 1.375]

and has opposite signs at the endpoints.

関数

f (x) = 2^{x} - x^{3}

は区間

[1.25, 1.375]

で連続であり、両端の値の符号が異なるため、この区間には解が存在する。

Exercise 154問題 154

Consider the graph of the function

y = f (x)

shown in the following graph.

次に示す関数

y = f (x)

のグラフを考える。

不連続点を調べるためのグラフ。x=−1では左側の枝が黒丸(−1,3)で終わり、右側の枝はそれより低い白丸から始まる。xが左から0に近づくと曲線は正の無限大へ上がり、右から0に近づくと白丸(0,3)へ近づく。x=1では折れ線上の(1,1)が白丸、その上の(1,2)が黒丸になっている。その後は(2,3.5)付近まで上昇してから下降する。原文で流用されていた別図の代替説明を、実際の画像に基づいて訂正した。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Find all values for which the function is discontinuous.
関数が不連続になる値をすべて求めなさい。
For each value in part a., state why the formal definition of continuity does not apply.
aで求めた各値について、連続性の定義のどの条件を満たさないか述べなさい。
Classify each discontinuity as either jump, removable, or infinite.
各不連続を、跳躍・除去可能・無限のいずれかに分類しなさい。

Exercise 155問題 155

Let

f (x) = {\begin{matrix} 3 x, x > 1 \\ x^{3}, x < 1 \end{matrix} .

f (x) = {\begin{matrix} 3 x, x > 1 \\ x^{3}, x < 1 \end{matrix}

とする。

Sketch the graph of f.
fのグラフを描きなさい。
Is it possible to find a value k such that $f (1) = k,$ which makes $f (x)$ continuous for all real numbers? Briefly explain.
$f (1) = k$ と定めることで、 $f (x)$ がすべての実数で連続になるようなkを選べるか。簡潔に説明しなさい。

Solution解き方

区分関数のグラフ。x<1ではx³の曲線で、白丸(1,1)で終わる。x>1では直線3xで、白丸(1,3)から始まる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

b. It is not possible to redefine

f (1)

since the discontinuity is a jump discontinuity.

b. 跳躍不連続なので、

f (1)

の値を定め直しても連続にはできない。

Exercise 156問題 156

Let

f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}

for

x \neq - 1, 1 .

x \neq - 1, 1

に対して、

f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}

とする。

Sketch the graph of f.
fのグラフを描きなさい。
Is it possible to find values $k_{1}$ and $k_{2}$ such that $f (−1) = k_{1}$ and $f (1) = k_{2},$ and that makes $f (x)$ continuous for all real numbers? Briefly explain.
$f (−1) = k_{1}$ かつ $f (1) = k_{2}$ と定めることで、 $f (x)$ がすべての実数で連続になるような $k_{1}$ と $k_{2}$ を選べるか。簡潔に説明しなさい。

Exercise 157問題 157

Sketch the graph of the function

y = f (x)

with properties i. through vi.

i〜viの性質を持つ関数

y = f (x)

のグラフを描きなさい。

The domain of f is $(− \infty, + \infty) .$
fの定義域は $(− \infty, + \infty)$ である。
f has an infinite discontinuity at $x = −6 .$
fは $x = −6$ で無限不連続を持つ。
$f (−6) = 3$
$f (−6) = 3$
$lim_{x \to {−3}^{-}} f (x) = lim_{x \to {−3}^{+}} f (x) = 2$
$lim_{x \to {−3}^{-}} f (x) = lim_{x \to {−3}^{+}} f (x) = 2$
$f (−3) = 3$
$f (−3) = 3$
f is left continuous but not right continuous at $x = 3 .$
fは $x = 3$ で左連続だが、右連続ではない。

Solution解き方

Answers may vary; see the following example:

解答は1通りとは限らない。次に例を示す。

複数の部分からなるグラフ。x<−8では右上がりの直線が白丸(−8,−8)で終わる。−8≤x<−6では黒丸(−8,0)から曲線が上昇し、−6に左から近づくと正の無限大へ伸びる。点(−6,3)には黒丸がある。−6<x≤3では高さ2の水平線で、(−6,2)が白丸、(3,2)が黒丸である。x>3では白丸(3,3)から右上がりの直線が伸びる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 158問題 158

Sketch the graph of the function

y = f (x)

with properties i. through iv.

i〜ivの性質を持つ関数

y = f (x)

のグラフを描きなさい。

The domain of f is $[0, 5] .$
fの定義域は $[0, 5]$ である。
$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ and $lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ exist and are equal.
$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ と $lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ が存在し、等しい。
$f (x)$ is left continuous but not continuous at $x = 2,$ and right continuous but not continuous at $x = 3 .$
$f (x)$ は $x = 2$ で左連続だが連続ではなく、 $x = 3$ で右連続だが連続ではない。
$f (x)$ has a removable discontinuity at $x = 1,$ a jump discontinuity at $x = 2,$ and the following limits hold: $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = − \infty$ and $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 2 .$
$f (x)$ は $x = 1$ で除去可能な不連続、 $x = 2$ で跳躍不連続を持ち、 $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = − \infty$ かつ $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 2$ が成り立つ。