第2章極限

The Existence of a Limit極限が存在するかどうか

As we consider the limit in the next example, keep in mind that for the limit of a function to exist at a point, the functional values must approach a single real-number value at that point. If the functional values do not approach a single value, then the limit does not exist.

英語のヒント

次の例題では、関数の極限がある点で存在するためには、関数の値が1つの実数に近づかなければならないことを意識しよう。1つの値に近づかないなら、極限は存在しない。

Example 2.7例題 2.7

Evaluating a Limit That Fails to Exist存在しない極限を調べる

Evaluate

lim_{x \to 0} sin (1 / x)

using a table of values.

値の表を使って、

lim_{x \to 0} sin (1 / x)

を調べなさい。

Solution解き方

Table 2.5 lists values for the function

sin (1 / x)

for the given values of x.

表2.5は、指定したxの値に対する関数

sin (1 / x)

の値を示している。

Table of Functional Values for $lim_{x \to 0} sin (\frac{1}{x})$ $lim_{x \to 0} sin (\frac{1}{x})$ を調べるための関数値の表

Table 2.5表 2.5
x	$sin (\frac{1}{x})$	x	$sin (\frac{1}{x})$
−0.1	0.544021110889	0.1	−0.544021110889
−0.01	0.50636564111	0.01	−0.50636564111
−0.001	−0.8268795405312	0.001	0.826879540532
−0.0001	0.305614388888	0.0001	−0.305614388888
−0.00001	−0.035748797987	0.00001	0.035748797987
−0.000001	0.349993504187	0.000001	−0.349993504187

After examining the table of functional values, we can see that the y-values do not seem to approach any one single value. It appears the limit does not exist. Before drawing this conclusion, let’s take a more systematic approach. Take the following sequence of x-values approaching 0:

英語のヒント

関数の値の表を見ると、yの値は1つの値に近づいているようには見えない。極限は存在しないようだ。ただし、結論を出す前に、もう少し系統的に調べよう。0に近づく、次のようなxの値の列を取る。

\frac{2}{π}, \frac{2}{3 π}, \frac{2}{5 π}, \frac{2}{7 π}, \frac{2}{9 π}, \frac{2}{11 π},….

The corresponding y-values are

それに対応するyの値は、次のようになる。

1, −1, 1, −1, 1, −1,….

At this point we can indeed conclude that

lim_{x \to 0} sin (1 / x)

does not exist. (Mathematicians frequently abbreviate “does not exist” as DNE. Thus, we would write

lim_{x \to 0} sin (1 / x)

DNE.) The graph of

f (x) = sin (1 / x)

is shown in Figure 2.17 and it gives a clearer picture of the behavior of

sin (1 / x)

as x approaches 0. You can see that

sin (1 / x)

oscillates ever more wildly between −1 and 1 as x approaches 0.

英語のヒント

これで、

lim_{x \to 0} sin (1 / x)

は存在しないと結論づけられる。数学では「存在しない」をDNE（does not exist）と略すことがよくある。そこで、

lim_{x \to 0} sin (1 / x)

DNEと書く。図2.17は

f (x) = sin (1 / x)

のグラフで、xが0に近づくときの

sin (1 / x)

の振る舞いを、より分かりやすく示している。xが0に近づくほど、

sin (1 / x)

は−1と1の間をますます激しく振動する。

f(x)=sin(1/x)のグラフ。xが0に近づくと、−1と1の間で急速に振動する。x軸上で0から離れるにつれ、振動の間隔は広がる。 — Figure 2.17図 2.17
The graph of $f (x) = sin (1 / x)$ oscillates rapidly between −1 and 1 as x approaches 0.
$f (x) = sin (1 / x)$ のグラフは、xが0に近づくと−1と1の間で急速に振動する。

One-Sided Limits片側極限

Sometimes indicating that the limit of a function fails to exist at a point does not provide us with enough information about the behavior of the function at that particular point. To see this, we now revisit the function

g (x) = | x - 2 | / (x - 2)

introduced at the beginning of the section (see Figure 2.12(b)). As we pick values of x close to 2,

g (x)

does not approach a single value, so the limit as x approaches 2 does not exist—that is,

lim_{x \to 2} g (x)

DNE. However, this statement alone does not give us a complete picture of the behavior of the function around the x-value 2. To provide a more accurate description, we introduce the idea of a one-sided limit. For all values to the left of 2 (or the negative side of 2),

g (x) = −1 .

Thus, as x approaches 2 from the left,

g (x)

approaches −1. Mathematically, we say that the limit as x approaches 2 from the left is −1. Symbolically, we express this idea as

英語のヒント

ある点で極限が存在しないと述べるだけでは、その点の周辺で関数がどう振る舞うかを十分に表せないことがある。この節の冒頭で登場した関数

g (x) = | x - 2 | / (x - 2)

を、もう一度考えよう（図2.12(b)）。xの値を2に近づけても、

g (x)

は1つの値に近づかない。したがって、xが2に近づくときの極限は存在せず、

lim_{x \to 2} g (x)

DNEである。しかし、これだけでは2付近での関数の様子を十分に伝えられない。より正確に述べるため、片側極限を導入する。2の左側、つまり2より小さい側の値では、常に

g (x) = −1

である。したがって、xが左から2に近づくとき、

g (x)

は−1に近づく。このとき「xが左から2に近づくときの極限は−1である」といい、次のように表す。

lim_{x \to 2^{-}} g (x) = −1 .

lim_{x \to 2^{-}} g (x) = −1

Similarly, as x approaches 2 from the right (or from the positive side),

g (x)

approaches 1. Symbolically, we express this idea as

同様に、xが2の右側、つまり2より大きい側から近づくとき、

g (x)

は1に近づく。これを次のように表す。

lim_{x \to 2^{+}} g (x) = 1 .

lim_{x \to 2^{+}} g (x) = 1

We can now present an informal definition of one-sided limits.

ここで、片側極限を直感的に定義しよう。

Definition定義

We define two types of one-sided limits.

片側極限を2種類に分けて定義する。

Limit from the left: Let

f (x)

be a function defined at all values in an open interval of the form (c, a), and let L be a real number. If the values of the function

f (x)

approach the real number L as the values of x (where

x < a)

approach the number a, then we say that L is the limit of

f (x)

as x approaches a from the left. Symbolically, we express this idea as

左側極限：関数

f (x)

が、(c,a)の形のある開区間内のすべての値で定義され、Lを実数とする。xをaより小さい側（

x < a

）からaに近づけると、関数

f (x)

が実数Lに近づくなら、Lを「xが左からaに近づくときの

f (x)

の極限」という。これを次のように表す。

lim_{x \to a^{-}} f (x) = L .

lim_{x \to a^{-}} f (x) = L

(2.6)

Limit from the right: Let

f (x)

be a function defined at all values in an open interval of the form

(a, c),

and let L be a real number. If the values of the function

f (x)

approach the real number L as the values of x (where

x > a)

approach the number a, then we say that L is the limit of

f (x)

as x approaches a from the right. Symbolically, we express this idea as

右側極限：関数

f (x)

が、

(a, c)

の形のある開区間内のすべての値で定義され、Lを実数とする。xをaより大きい側（

x > a

）からaに近づけると、関数

f (x)

が実数Lに近づくなら、Lを「xが右からaに近づくときの

f (x)

の極限」という。これを次のように表す。

lim_{x \to a^{+}} f (x) = L .

lim_{x \to a^{+}} f (x) = L

(2.7)

Example 2.8例題 2.8

Evaluating One-Sided Limits片側極限を求める

For the function

f (x) = {\begin{cases} x + 1 & if x < 2 \\ x^{2} - 4 & if x \geq 2 \end{cases},

evaluate each of the following limits.

関数

f (x) = {\begin{cases} x + 1 & 条件： x < 2 \\ x^{2} - 4 & 条件： x \geq 2 \end{cases}

について、次の各極限を求めなさい。

$lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} f (x)$

Solution解き方

We can use tables of functional values again Table 2.6. Observe that for values of x less than 2, we use

f (x) = x + 1

and for values of x greater than 2, we use

f (x) = x^{2} - 4 .

ここでも関数の値の表を使える（表2.6）。xが2より小さいときは

f (x) = x + 1

を使い、2より大きいときは

f (x) = x^{2} - 4

を使う。

Table of Functional Values for $f (x) = {\begin{cases} x + 1 if x < 2 \\ x^{2} - 4 if x \geq 2 \end{cases}$ $f (x) = {\begin{cases} x + 1 条件： x < 2 \\ x^{2} - 4 条件： x \geq 2 \end{cases}$ の関数値の表

Table 2.6表 2.6
x	$f (x) = x + 1$	x	$f (x) = x^{2} −4$
1.9	2.9	2.1	0.41
1.99	2.99	2.01	0.0401
1.999	2.999	2.001	0.004001
1.9999	2.9999	2.0001	0.00040001
1.99999	2.99999	2.00001	0.0000400001

Based on this table, we can conclude that a.

lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 3

and b.

lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 0 .

Therefore, the (two-sided) limit of

f (x)

does not exist at

x = 2 .

Figure 2.18 shows a graph of

f (x)

and reinforces our conclusion about these limits.

英語のヒント

この表から、a.

lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 3

、b.

lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 0

と結論づけられる。左右の極限が一致しないため、

x = 2

での

f (x)

の両側極限は存在しない。図2.18の

f (x)

のグラフも、この結論を裏づけている。

区分的に定義された関数のグラフ。x<2ではf(x)=x+1で、x切片は(−1,0)、y切片は(0,1)、端点(2,3)は白丸である。x≥2ではf(x)=x²−4のグラフの一部で、端点(2,0)は黒丸である。原文は(2,0)を頂点と呼んでいるが、この放物線の頂点ではない。 — Figure 2.18図 2.18
The graph of $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 if x < 2 \\ x^{2} - 4 if x \geq 2 \end{matrix}$ has a break at $x = 2 .$
$f (x) = {\begin{matrix} x + 1 条件： x < 2 \\ x^{2} - 4 条件： x \geq 2 \end{matrix}$ のグラフは、 $x = 2$ で途切れている。

Checkpoint 2.7確認問題 2.7

Use a table of functional values to estimate the following limits, if possible.

関数の値の表を使い、可能なら次の各極限を推定しなさい。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2}$
$lim_{x \to 2^{-}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2}$
$lim_{x \to 2^{+}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2}$
$lim_{x \to 2^{+}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2}$

Solution解き方

lim_{x \to 2^{-}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2} = −4;

lim_{x \to 2^{+}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2} = 4

lim_{x \to 2^{-}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2} = −4

lim_{x \to 2^{+}} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2} = 4

Let us now consider the relationship between the limit of a function at a point and the limits from the right and left at that point. It seems clear that if the limit from the right and the limit from the left have a common value, then that common value is the limit of the function at that point. Similarly, if the limit from the left and the limit from the right take on different values, the limit of the function does not exist. These conclusions are summarized in Theorem 2.2.

英語のヒント

ある点での関数の極限と、その点での左右の極限との関係を考えよう。右側極限と左側極限が同じ値なら、その共通の値が、その点での関数の極限になる。一方、左右の極限が異なる値なら、関数の極限は存在しない。これらを定理2.2にまとめる。

第2章極限

The Existence of a Limit極限が存在するかどうか

Evaluating a Limit That Fails to Exist存在しない極限を調べる

Table of Functional Values for limx→0sin(1x)limx→0sin(1x)を調べるための関数値の表

One-Sided Limits片側極限

Evaluating One-Sided Limits片側極限を求める

Table of Functional Values for f(x)={x+1ifx<2x2−4ifx≥2f(x)={x+1条件：x<2x2−4条件：x≥2の関数値の表

Table of Functional Values for $lim_{x \to 0} sin (\frac{1}{x})$ $lim_{x \to 0} sin (\frac{1}{x})$ を調べるための関数値の表

Table of Functional Values for $f (x) = {\begin{cases} x + 1 if x < 2 \\ x^{2} - 4 if x \geq 2 \end{cases}$ $f (x) = {\begin{cases} x + 1 条件： x < 2 \\ x^{2} - 4 条件： x \geq 2 \end{cases}$ の関数値の表