第2章極限

Key Concepts重要な概念

The intuitive notion of a limit may be converted into a rigorous mathematical definition known as the epsilon-delta definition of the limit.
極限についての直感的な考え方は、イプシロン・デルタによる厳密な数学的定義として表せる。
The epsilon-delta definition may be used to prove statements about limits.
イプシロン・デルタによる定義を使って、極限に関する主張を証明できる。
The epsilon-delta definition of a limit may be modified to define one-sided limits.
イプシロン・デルタによる極限の定義を修正すると、片側極限も定義できる。

Exercises 176–179練習問題 176–179

In the following exercises, write the appropriate

ε

δ

definition for each of the given statements.

次の各主張に対応する

ε

・

δ

による定義を書け。

Exercise 176問題 176

lim_{x \to a} f (x) = N

lim_{x \to a} f (x) = N

Exercise 177問題 177

lim_{t \to b} g (t) = M

lim_{t \to b} g (t) = M

Solution解き方

For every

ε > 0,

there exists a

δ > 0,

so that if

0 < | t - b | < δ,

then

| g (t) - M | < ε

任意の

ε > 0

に対し、ある

δ > 0

が存在して、

0 < | t - b | < δ

なら

| g (t) - M | < ε

となる。

Exercise 178問題 178

lim_{x \to c} h (x) = L

lim_{x \to c} h (x) = L

Exercise 179問題 179

lim_{x \to a} φ (x) = A

lim_{x \to a} φ (x) = A

Solution解き方

For every

ε > 0,

there exists a

δ > 0,

so that if

0 < | x - a | < δ,

then

| φ (x) - A | < ε

任意の

ε > 0

に対し、ある

δ > 0

が存在して、

0 < | x - a | < δ

なら

| φ (x) - A | < ε

となる。

Exercises 180–181練習問題 180–181

The following graph of the function f satisfies

lim_{x \to 2} f (x) = 2 .

In the following exercises, determine a value of

δ > 0

that satisfies each statement.

次の関数fのグラフは、

lim_{x \to 2} f (x) = 2

を満たす。各問の条件を満たす

δ > 0

の値を1つ求めよ。

x>0の第1象限に描かれた、増加する下に凸の曲線。(0,0)、(1,0.5)、(2,2)、(3,4)付近を通る。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 180問題 180

0 < | x - 2 | < δ,

then

| f (x) - 2 | < 1 .

0 < | x - 2 | < δ

なら、

| f (x) - 2 | < 1

。

Exercise 181問題 181

0 < | x - 2 | < δ,

then

| f (x) - 2 | < 0.5 .

0 < | x - 2 | < δ

なら、

| f (x) - 2 | < 0.5

。

Solution解き方

δ \leq 0.25

δ \leq 0.25

Exercises 182–183練習問題 182–183

The following graph of the function f satisfies

lim_{x \to 3} f (x) = −1 .

In the following exercises, determine a value of

δ > 0

that satisfies each statement.

次の関数fのグラフは、

lim_{x \to 3} f (x) = −1

を満たす。各問の条件を満たす

δ > 0

の値を1つ求めよ。

x≥0での、減少する1次関数のグラフ。(0,2)、(1,1)、(2,0)、(3,−1)、(4,−2)などを通る。

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Exercise 182問題 182

0 < | x - 3 | < δ,

then

| f (x) + 1 | < 1 .

0 < | x - 3 | < δ

なら、

| f (x) + 1 | < 1

。

Exercise 183問題 183

0 < | x - 3 | < δ,

then

| f (x) + 1 | < 2 .

0 < | x - 3 | < δ

なら、

| f (x) + 1 | < 2

。

Solution解き方

δ \leq 2

δ \leq 2

Exercises 184–185練習問題 184–185

The following graph of the function f satisfies

lim_{x \to 3} f (x) = 2 .

In the following exercises, for each value of ε, find a value of

δ > 0

such that the precise definition of limit holds true.

次の関数fのグラフは、

lim_{x \to 3} f (x) = 2

を満たす。各問のεに対し、極限の厳密な定義を満たす

δ > 0

の値を1つ求めよ。

増加する1次関数のグラフ。x軸と約(2.25,0)で交わり、(3,2)のほか、(1,−5)、(4,5)付近を通る。

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Exercise 184問題 184

ε = 1.5

ε = 1.5

Exercise 185問題 185

ε = 3

ε = 3

Solution解き方

δ \leq 1

δ \leq 1

Exercises 186–187練習問題 186–187

[T] In the following exercises, use a graphing calculator to find a number

δ

such that the statements hold true.

[T] 次の各問では、グラフ電卓を使い、指定された条件が成り立つ

δ

の値を求めよ。

Exercise 186問題 186

| sin (2 x) - \frac{1}{2} | < 0.1,

whenever

| x - \frac{π}{12} | < δ

| x - \frac{π}{12} | < δ

を満たすときは常に、

| sin (2 x) - \frac{1}{2} | < 0.1

となる。

Exercise 187問題 187

| \sqrt{x - 4} - 2 | < 0.1, whenever | x - 8 | < δ

| \sqrt{x - 4} - 2 | < 0.1, 〜のときは常に | x - 8 | < δ

Solution解き方

δ < 0.3900

δ < 0.3900

Exercises 188–192練習問題 188–192

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

次の各極限を、極限の厳密な定義を使って証明せよ。

Exercise 188問題 188

lim_{x \to 2} (5 x + 8) = 18

lim_{x \to 2} (5 x + 8) = 18

Exercise 189問題 189

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = 6

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = 6

Solution解き方

Let

δ = ε .

0 < | x - 3 | < ε,

then

| x + 3 - 6 | = | x - 3 | < ε .

δ = ε

とおく。

0 < | x - 3 | < ε

なら、

| x + 3 - 6 | = | x - 3 | < ε

となる。

Exercise 190問題 190

lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2} = 5

lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2} = 5

Exercise 191問題 191

lim_{x \to 0} x^{4} = 0

lim_{x \to 0} x^{4} = 0

Solution解き方

Let

δ = \sqrt[4]{ε} .

0 < | x | < \sqrt[4]{ε},

then

| x^{4} | = x^{4} < ε .

δ = \sqrt[4]{ε}

とおく。

0 < | x | < \sqrt[4]{ε}

なら、

| x^{4} | = x^{4} < ε

となる。

Exercise 192問題 192

lim_{x \to 2} (x^{2} + 2 x) = 8

lim_{x \to 2} (x^{2} + 2 x) = 8

Exercises 193–195練習問題 193–195

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given one-sided limits.

次の各片側極限を、極限の厳密な定義を使って証明せよ。

Exercise 193問題 193

lim_{x \to 5^{-}} \sqrt{5 - x} = 0

lim_{x \to 5^{-}} \sqrt{5 - x} = 0

Solution解き方

Let

δ = ε^{2} .

5 - ε^{2} < x < 5,

then

| \sqrt{5 - x} | = \sqrt{5 - x} < ε .

δ = ε^{2}

とおく。

5 - ε^{2} < x < 5

なら、

| \sqrt{5 - x} | = \sqrt{5 - x} < ε

となる。

Exercise 194問題 194

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = −2, where f (x) = {\begin{matrix} 8 x - 3, if x < 0 \\ 4 x - 2, if x \geq 0 \end{matrix} .

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = −2, ここで f (x) = {\begin{matrix} 8 x - 3, 条件： x < 0 \\ 4 x - 2, 条件： x \geq 0 \end{matrix}

Exercise 195問題 195

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 3, where f (x) = {\begin{matrix} 5 x - 2, if x < 1 \\ 7 x - 1, if x \geq 1 \end{matrix} .

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 3, ここで f (x) = {\begin{matrix} 5 x - 2, 条件： x < 1 \\ 7 x - 1, 条件： x \geq 1 \end{matrix}

Solution解き方

Let

δ = ε / 5 .

1 - ε / 5 < x < 1,

then

| f (x) - 3 | = 5 - 5 x < ε

δ = ε / 5

とおく。

1 - ε / 5 < x < 1

なら、

| f (x) - 3 | = 5 - 5 x < ε

となる。

Exercises 196–204練習問題 196–204

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

次の各無限大の極限を、極限の厳密な定義を使って証明せよ。

Exercise 196問題 196

lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = \infty

lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = \infty

Exercise 197問題 197

lim_{x \to −1} \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} = \infty

lim_{x \to −1} \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} = \infty

Solution解き方

Let

δ = \sqrt{\frac{3}{M}} .

0 < | x + 1 | < \sqrt{\frac{3}{M}},

then

f (x) = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} > M .

任意のM>0に対して

δ = \sqrt{\frac{3}{M}}

とおく。

0 < | x + 1 | < \sqrt{\frac{3}{M}}

なら、

f (x) = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} > M

となる。

Exercise 198問題 198

lim_{x \to 2} - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = − \infty

lim_{x \to 2} - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = − \infty

Exercise 199問題 199

An engineer is using a machine to cut a flat square of Aerogel of area 144 cm². If there is a maximum error tolerance in the area of 8 cm², how accurately must the engineer cut on the side, assuming all sides have the same length? How do these numbers relate to

δ,

ε, a, and L?

英語のヒント

技術者が機械を使い、エアロゲルの平板を面積144cm²の正方形に切り出す。面積の許容誤差の最大値が8cm²で、4辺の長さを等しくする場合、1辺の長さをどの程度の精度で切る必要があるか。これらの数値は、

δ

、ε、a、Lとどのように対応するか。

Solution解き方

0.328 cm,

ε = 8, δ = \sqrt{152} - 12, a = 12, L = 144

辺の長さの誤差を√152−12 cm（約0.3288cm）未満にする。対応は

ε = 8, δ = \sqrt{152} - 12, a = 12, L = 144

である。小数第3位までの安全側の目安なら、0.328cm未満とする。

Exercise 200問題 200

Use the precise definition of limit to prove that the following limit does not exist:

lim_{x \to 1} \frac{| x - 1 |}{x - 1} .

極限の厳密な定義を使い、

lim_{x \to 1} \frac{| x - 1 |}{x - 1}

が存在しないことを証明せよ。

Exercise 201問題 201

Using precise definitions of limits, prove that

lim_{x \to 0} f (x)

does not exist, given that

f (x)

is the ceiling function. (Hint: Try any

δ < 1 .)

f (x)

を天井関数として、

lim_{x \to 0} f (x)

が存在しないことを、極限の厳密な定義で証明せよ。ヒント：

δ < 1

の範囲で任意のδを考える。

Solution解き方

Answers may vary.

証明の書き方は複数ある。

Exercise 202問題 202

Using precise definitions of limits, prove that

lim_{x \to 0} f (x)

does not exist:

f (x) = {\begin{cases} 1 if x is rational \\ 0 if x is irrational \end{cases} .

(Hint: Think about how you can always choose a rational number

0 < r < δ,

but

| f (r) - 0 | = 1 .)

極限の厳密な定義を使い、次の関数について

lim_{x \to 0} f (x)

が存在しないことを証明せよ。

f (x) = {\begin{cases} 1 （xが有理数のとき） \\ 0 （xが無理数のとき） \end{cases}

。ヒント：いつでも

0 < r < δ

となる有理数rを選べるが、そのとき

| f (r) - 0 | = 1

となることを考える。

Exercise 203問題 203

Using precise definitions of limits, determine

lim_{x \to 0} f (x)

for

f (x) = {\begin{cases} x if x is rational \\ 0 if x is irrational \end{cases} .

(Hint: Break into two cases, x rational and x irrational.)

次の関数について、極限の厳密な定義を使って

lim_{x \to 0} f (x)

を求めよ。

f (x) = {\begin{cases} x （xが有理数のとき） \\ 0 （xが無理数のとき） \end{cases}

。ヒント：xが有理数の場合と無理数の場合に分ける。

Solution解き方

Exercise 204問題 204

Using the function from the previous exercise, use the precise definition of limits to show that

lim_{x \to a} f (x)

does not exist for

a \neq 0 .

前の問の関数について、

a \neq 0

なら

lim_{x \to a} f (x)

が存在しないことを、極限の厳密な定義で示せ。

Exercises 205–207練習問題 205–207

For the following exercises, suppose that

lim_{x \to a} f (x) = L

and

lim_{x \to a} g (x) = M

both exist. Use the precise definition of limits to prove the following limit laws:

lim_{x \to a} f (x) = L

と

lim_{x \to a} g (x) = M

がともに存在するとする。極限の厳密な定義を使い、次の各法則を証明せよ。

Exercise 205問題 205

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = L + M

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = L + M

Solution解き方

\begin{array}{l} \lim_{x \to a} (f (x)) + \lim_{x \to a} (g (x)) \\ = L + M \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{x \to a} (f (x)) + \lim_{x \to a} (g (x)) \\ = L + M \end{array}

Exercise 206問題 206

lim_{x \to a} [c f (x)] = c L

for any real constant c (Hint: Consider two cases:

c = 0

and

c \neq 0 .)

任意の実定数cについて、

lim_{x \to a} [c f (x)] = c L

。ヒント：

c = 0

と

c \neq 0

に場合分けする。

Exercise 207問題 207

lim_{x \to a} [f (x) g (x)] = L M .

(Hint:

| f (x) g (x) - L M | =

| f (x) g (x) - f (x) M + f (x) M - L M | \leq | f (x) | | g (x) - M | + | M | | f (x) - L | .)

lim_{x \to a} [f (x) g (x)] = L M

。ヒント：

| f (x) g (x) - L M | =

| f (x) g (x) - f (x) M + f (x) M - L M | \leq | f (x) | | g (x) - M | + | M | | f (x) - L |

を使う。

Solution解き方

Answers may vary.

証明の書き方は複数ある。

Chapter Review Exercises章末の復習問題

Exercises 208–212練習問題 208–212

True or False. In the following exercises, justify your answer with a proof or a counterexample.

次の各命題の真偽を判定し、証明または反例を示して答えよ。

Exercise 208問題 208

A function has to be continuous at

x = a

if the

lim_{x \to a} f (x)

exists.

lim_{x \to a} f (x)

が存在するなら、関数は

x = a

で連続でなければならない。

Exercise 209問題 209

You can use the quotient rule to evaluate

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} .

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}

は、商の極限の法則を使って求められる。

Solution解き方

False

誤り。

Exercise 210問題 210

If there is a vertical asymptote at

x = a

for the function

f (x),

then f is undefined at the point

x = a .

関数

f (x)

が

x = a

に垂直漸近線を持つなら、fは点

x = a

で定義されていない。

Exercise 211問題 211

lim_{x \to a} f (x)

does not exist, then f is undefined at the point

x = a .

lim_{x \to a} f (x)

が存在しないなら、fは点

x = a

で定義されていない。

Solution解き方

False. A removable discontinuity is possible.

偽。たとえば、x<0ではf(x)=0、x≥0ではf(x)=1とすれば、f(0)は定義されているが、0での両側極限は存在しない。原文の「除去可能な不連続」は極限が存在する場合なので、この命題の反例にはならない。

Exercise 212問題 212

Using the graph, find each limit or explain why the limit does not exist.

グラフを使って各極限を求めるか、極限が存在しない理由を説明せよ。

$lim_{x \to −1} f (x)$
$lim_{x \to −1} f (x)$
$lim_{x \to 1} f (x)$
$lim_{x \to 1} f (x)$
$lim_{x \to 0^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 0^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 2} f (x)$
$lim_{x \to 2} f (x)$

いくつかの部分からなる区分的な関数のグラフ。x<−1では、減少する下に凸の曲線で、端の(−1,1)は白丸である。次は(−1,−2)から(0,−1)まで増加する直線。続いて、白丸(0,0)から白丸(1,1)へ、増加する上に凸の曲線がある。点(1,−1)には黒丸がある。x>1では、白丸(1,1)から右へ水平線が延びている。

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Exercises 213–222練習問題 213–222

In the following exercises, evaluate the limit algebraically or explain why the limit does not exist.

次の各極限を式の変形によって求めるか、極限が存在しない理由を説明せよ。

Exercise 213問題 213

lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2}

lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2}

Solution解き方

Exercise 214問題 214

lim_{x \to 0} 3 x^{2} - 2 x + 4

lim_{x \to 0} 3 x^{2} - 2 x + 4

Exercise 215問題 215

lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 1}{3 x - 2}

lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 1}{3 x - 2}

Solution解き方

8 / 7

8 / 7

Exercise 216問題 216

lim_{x \to π / 2} \frac{cot x}{cos x}

lim_{x \to π / 2} \frac{cot x}{cos x}

Exercise 217問題 217

lim_{x \to −5} \frac{x^{2} + 25}{x + 5}

lim_{x \to −5} \frac{x^{2} + 25}{x + 5}

Solution解き方

DNE

存在しない。

Exercise 218問題 218

lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} - 4}

lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} - 4}

Exercise 219問題 219

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 1}

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 1}

Solution解き方

2 / 3

2 / 3

Exercise 220問題 220

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}

Exercise 221問題 221

lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}

lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}

Solution解き方

−4;

Exercise 222問題 222

lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2}

lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2}

Exercises 223–225練習問題 223–225

In the following exercises, use the squeeze theorem to prove the limit.

次の各極限を、はさみうちの定理を使って証明せよ。

Exercise 223問題 223

lim_{x \to 0} x^{2} cos (2 π x) = 0

lim_{x \to 0} x^{2} cos (2 π x) = 0

Solution解き方

Since

−1 \leq cos (2 π x) \leq 1,

then

- x^{2} \leq x^{2} cos (2 π x) \leq x^{2} .

Since

lim_{x \to 0} x^{2} = 0 = lim_{x \to 0} - x^{2},

it follows that

lim_{x \to 0} x^{2} cos (2 π x) = 0 .

−1 \leq cos (2 π x) \leq 1

なので、

- x^{2} \leq x^{2} cos (2 π x) \leq x^{2}

となる。

lim_{x \to 0} x^{2} = 0 = lim_{x \to 0} - x^{2}

より、

lim_{x \to 0} x^{2} cos (2 π x) = 0

が従う。

Exercise 224問題 224

lim_{x \to 0} x^{3} sin (\frac{π}{x}) = 0

lim_{x \to 0} x^{3} sin (\frac{π}{x}) = 0

Exercise 225問題 225

Determine the domain such that the function

f (x) = \sqrt{x - 2} + x e^{x}

is continuous over its domain.

関数

f (x) = \sqrt{x - 2} + x e^{x}

が定義域全体で連続となるような定義域を求めよ。

Solution解き方

[2, \infty]

[2, \infty]

Exercises 226–227練習問題 226–227

In the following exercises, determine the value of c such that the function remains continuous. Draw your resulting function to ensure it is continuous.

次の各関数が連続になるように、cの値を求めよ。得られた関数のグラフを描き、連続であることを確認せよ。

Exercise 226問題 226

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x > c \\ 2 x, x \leq c \end{cases}

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x > c \\ 2 x, x \leq c \end{cases}

Exercise 227問題 227

f (x) = {\begin{cases} \sqrt{x + 1}, x > − 1 \\ x^{2} + c, x \leq - 1 \end{cases}

f (x) = {\begin{cases} \sqrt{x + 1}, x > − 1 \\ x^{2} + c, x \leq - 1 \end{cases}

Solution解き方

c = −1

c = −1

Exercises 228–232練習問題 228–232

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the limit.

次の各極限を、極限の厳密な定義を使って証明せよ。

Exercise 228問題 228

lim_{x \to 1} (8 x + 16) = 24

lim_{x \to 1} (8 x + 16) = 24

Exercise 229問題 229

lim_{x \to 0} x^{3} = 0

lim_{x \to 0} x^{3} = 0

Solution解き方

δ = \sqrt[3]{ε}

δ = \sqrt[3]{ε}

Exercise 230問題 230

A ball is thrown into the air and the vertical position is given by

x (t) = −4.9 t^{2} + 25 t + 5 .

Use the Intermediate Value Theorem to show that the ball must land on the ground sometime between 5 sec and 6 sec after the throw.

空中へ投げたボールの鉛直位置が、

x (t) = −4.9 t^{2} + 25 t + 5

で与えられる。中間値の定理を使い、投げてから5秒と6秒の間に、必ず地面へ着くことを示せ。

Exercise 231問題 231

A particle moving along a line has a displacement according to the function

x (t) = t^{2} - 2 t + 4,

where x is measured in meters and t is measured in seconds. Find the average velocity over the time period

t \in [0, 2] .

直線上を動く粒子の変位が、

x (t) = t^{2} - 2 t + 4

で与えられる。xの単位はm、tの単位は秒である。

t \in [0, 2]

での平均速度を求めよ。

Solution解き方

0 m / sec

0 m / sec

Exercise 232問題 232

From the previous exercises, estimate the instantaneous velocity at

t = 2

by checking the average velocity within

Δt = 0.01 sec .

前の問題で、

Δt = 0.01 sec .

以内の時間幅での平均速度を調べ、

t = 2

での瞬間速度を推定せよ。

epsilon-delta definition of the limit

極限のイプシロン・デルタ定義

lim_{x \to a} f (x) = L

if for every

ε > 0,

there exists a

δ > 0

such that if

0 < | x - a | < δ,

then

| f (x) - L | < ε

任意の

ε > 0

に対し、ある

δ > 0

が存在して、

0 < | x - a | < δ

なら

| f (x) - L | < ε

が成り立つとき、

lim_{x \to a} f (x) = L

という。

triangle inequality

三角不等式

If a and b are any real numbers, then

| a + b | \leq | a | + | b |

任意の実数a、bに対して、

| a + b | \leq | a | + | b |

が成り立つ。