第2章極限

Key Concepts重要な概念

The limit laws allow us to evaluate limits of functions without having to go through step-by-step processes each time.
極限の法則を使うと、毎回細かい定義に立ち戻って手順をたどらずに、関数の極限を求められる。
For polynomials and rational functions, $lim_{x \to a} f (x) = f (a) .$
多項式関数では $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ が成り立つ。有理関数でも、aがその定義域に入る場合に成り立つ。
You can evaluate the limit of a function by factoring and canceling, by multiplying by a conjugate, or by simplifying a complex fraction.
因数分解と約分、共役な式を掛ける操作、繁分数の整理によって、関数の極限を求められる。
The squeeze theorem allows you to find the limit of a function if the function is always greater than one function and less than another function with limits that are known.
はさみうちの定理では、求めたい関数を上下からはさむ2つの関数が同じ既知の極限を持つとき、はさまれた関数の極限もその値になる。

Key Equations重要な式

Basic Limit Results 極限の基本的な結果	$lim_{x \to a} x = a lim_{x \to a} c = c$
Important Limits 重要な極限	$lim_{θ \to 0} sin θ = 0$ $lim_{θ \to 0} cos θ = 1$ $lim_{θ \to 0} \frac{sin θ}{θ} = 1$ $lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} = 0$

Exercises 83–86練習問題 83–86

In the following exercises, use the limit laws to evaluate each limit. Justify each step by indicating the appropriate limit law(s).

以下の問題では、極限の法則を使って各極限を求めなさい。各段階で適用した法則を示し、式変形の根拠を明らかにすること。

Exercise 83問題 83

lim_{x \to 0} (4 x^{2} - 2 x + 3)

lim_{x \to 0} (4 x^{2} - 2 x + 3)

Solution解き方

Use constant multiple law and difference law:

lim_{x \to 0} (4 x^{2} - 2 x + 3) = 4 lim_{x \to 0} x^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 = 3

定数倍・和・差の極限の法則を使う。

lim_{x \to 0} (4 x^{2} - 2 x + 3) = 4 lim_{x \to 0} x^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 = 3

。

Exercise 84問題 84

lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 5}{4 - 7 x}

lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 5}{4 - 7 x}

Exercise 85問題 85

lim_{x \to −2} \sqrt{x^{2} - 6 x + 3}

lim_{x \to −2} \sqrt{x^{2} - 6 x + 3}

Solution解き方

Use root law:

lim_{x \to −2} \sqrt{x^{2} - 6 x + 3} = \sqrt{lim_{x \to −2} (x^{2} - 6 x + 3)} = \sqrt{19}

累乗根の極限の法則を使う。

lim_{x \to −2} \sqrt{x^{2} - 6 x + 3} = \sqrt{lim_{x \to −2} (x^{2} - 6 x + 3)} = \sqrt{19}

。

Exercise 86問題 86

lim_{x \to −1} {(9 x + 1)}^{2}

lim_{x \to −1} {(9 x + 1)}^{2}

Exercises 87–92練習問題 87–92

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

以下の問題では、直接代入によって各極限を求めなさい。

Exercise 87問題 87

lim_{x \to 7} x^{2}

lim_{x \to 7} x^{2}

Solution解き方

Exercise 88問題 88

lim_{x \to −2} (4 x^{2} - 1)

lim_{x \to −2} (4 x^{2} - 1)

Exercise 89問題 89

lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + sin x}

lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + sin x}

Solution解き方

Exercise 90問題 90

lim_{x \to 2} e^{2 x - x^{2}}

lim_{x \to 2} e^{2 x - x^{2}}

Exercise 91問題 91

lim_{x \to 1} \frac{2 - 7 x}{x + 6}

lim_{x \to 1} \frac{2 - 7 x}{x + 6}

Solution解き方

- \frac{5}{7}

- \frac{5}{7}

Exercise 92問題 92

lim_{x \to 3} ln e^{3 x}

lim_{x \to 3} ln e^{3 x}

Exercises 93–102練習問題 93–102

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form

0 / 0 .

Then, evaluate the limit.

以下の問題では、直接代入すると

0 / 0

の不定形になることを示してから、極限を求めなさい。

Exercise 93問題 93

lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}

lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}

Solution解き方

lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4} = \frac{16 - 16}{4 - 4} = \frac{0}{0};

then,

lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{(x + 4) (x - 4)}{x - 4} = 8

直接代入すると

lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4} = \frac{16 - 16}{4 - 4} = \frac{0}{0}

。式を変形すると

lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{(x + 4) (x - 4)}{x - 4} = 8

。

Exercise 94問題 94

lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}

lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}

Exercise 95問題 95

lim_{x \to 6} \frac{3 x - 18}{2 x - 12}

lim_{x \to 6} \frac{3 x - 18}{2 x - 12}

Solution解き方

lim_{x \to 6} \frac{3 x - 18}{2 x - 12} = \frac{18 - 18}{12 - 12} = \frac{0}{0};

then,

lim_{x \to 6} \frac{3 x - 18}{2 x - 12} = lim_{x \to 6} \frac{3 (x - 6)}{2 (x - 6)} = \frac{3}{2}

直接代入すると

lim_{x \to 6} \frac{3 x - 18}{2 x - 12} = \frac{18 - 18}{12 - 12} = \frac{0}{0}

。式を変形すると

lim_{x \to 6} \frac{3 x - 18}{2 x - 12} = lim_{x \to 6} \frac{3 (x - 6)}{2 (x - 6)} = \frac{3}{2}

。

Exercise 96問題 96

lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{2} - 1}{h}

lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{2} - 1}{h}

Exercise 97問題 97

lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3}

lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3}

Solution解き方

lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3} = \frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0};

then,

lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3} = lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3} \frac{\sqrt{t} + 3}{\sqrt{t} + 3} = lim_{t \to 9} (\sqrt{t} + 3) = 6

直接代入すると

lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3} = \frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}

。式を変形すると

lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3} = lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3} \frac{\sqrt{t} + 3}{\sqrt{t} + 3} = lim_{t \to 9} (\sqrt{t} + 3) = 6

。

Exercise 98問題 98

lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h},

where a is a non-zero real-valued constant

lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h}

。ここで、aは0でない実数定数とする。

Exercise 99問題 99

lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{tan θ}

lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{tan θ}

Solution解き方

lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{tan θ} = \frac{sin π}{tan π} = \frac{0}{0};

then,

lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{tan θ} = lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{\frac{sin θ}{cos θ}} = lim_{θ \to π} cos θ = −1

直接代入すると

lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{tan θ} = \frac{sin π}{tan π} = \frac{0}{0}

。式を変形すると

lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{tan θ} = lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{\frac{sin θ}{cos θ}} = lim_{θ \to π} cos θ = −1

。

Exercise 100問題 100

lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}

lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}

Exercise 101問題 101

lim_{x \to 1 / 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1}

lim_{x \to 1 / 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1}

Solution解き方

lim_{x \to 1 / 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0};

then,

lim_{x \to 1 / 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1} = lim_{x \to 1 / 2} \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{2 x - 1} = \frac{5}{2}

直接代入すると

lim_{x \to 1 / 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}

。式を変形すると

lim_{x \to 1 / 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1} = lim_{x \to 1 / 2} \frac{(2 x - 1) (x + 2)}{2 x - 1} = \frac{5}{2}

。

Exercise 102問題 102

lim_{x \to −3} \frac{\sqrt{x + 4} - 1}{x + 3}

lim_{x \to −3} \frac{\sqrt{x + 4} - 1}{x + 3}

Exercises 103–106練習問題 103–106

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of Example 2.23 to simplify the function to help determine the limit.

以下の問題では、直接代入すると未定義の式になることを確かめなさい。その後、例題2.23の方法で関数を整理し、極限を判断しなさい。

Exercise 103問題 103

lim_{x \to {−2}^{-}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}

lim_{x \to {−2}^{-}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}

Solution解き方

−∞

Exercise 104問題 104

lim_{x \to {−2}^{+}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}

lim_{x \to {−2}^{+}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}

Exercise 105問題 105

lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}

lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}

Solution解き方

−∞

Exercise 106問題 106

lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}

lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}

Exercises 107–114練習問題 107–114

In the following exercises, assume that

lim_{x \to 6} f (x) = 4, lim_{x \to 6} g (x) = 9,

and

lim_{x \to 6} h (x) = 6 .

Use these three facts and the limit laws to evaluate each limit.

以下の問題では、

lim_{x \to 6} f (x) = 4, lim_{x \to 6} g (x) = 9

および

lim_{x \to 6} h (x) = 6

とする。この3つの値と極限の法則を使って、各極限を求めなさい。

Exercise 107問題 107

lim_{x \to 6} 2 f (x) g (x)

lim_{x \to 6} 2 f (x) g (x)

Solution解き方

lim_{x \to 6} 2 f (x) g (x) = 2 lim_{x \to 6} f (x) lim_{x \to 6} g (x) = 72

lim_{x \to 6} 2 f (x) g (x) = 2 lim_{x \to 6} f (x) lim_{x \to 6} g (x) = 72

Exercise 108問題 108

lim_{x \to 6} \frac{g (x) - 1}{f (x)}

lim_{x \to 6} \frac{g (x) - 1}{f (x)}

Exercise 109問題 109

lim_{x \to 6} (f (x) + \frac{1}{3} g (x))

lim_{x \to 6} (f (x) + \frac{1}{3} g (x))

Solution解き方

lim_{x \to 6} (f (x) + \frac{1}{3} g (x)) = lim_{x \to 6} f (x) + \frac{1}{3} lim_{x \to 6} g (x) = 7

lim_{x \to 6} (f (x) + \frac{1}{3} g (x)) = lim_{x \to 6} f (x) + \frac{1}{3} lim_{x \to 6} g (x) = 7

Exercise 110問題 110

lim_{x \to 6} \frac{{(h (x))}^{3}}{2}

lim_{x \to 6} \frac{{(h (x))}^{3}}{2}

Exercise 111問題 111

lim_{x \to 6} \sqrt{g (x) - f (x)}

lim_{x \to 6} \sqrt{g (x) - f (x)}

Solution解き方

lim_{x \to 6} \sqrt{g (x) - f (x)} = \sqrt{lim_{x \to 6} g (x) - lim_{x \to 6} f (x)} = \sqrt{5}

lim_{x \to 6} \sqrt{g (x) - f (x)} = \sqrt{lim_{x \to 6} g (x) - lim_{x \to 6} f (x)} = \sqrt{5}

Exercise 112問題 112

lim_{x \to 6} x \cdot h (x)

lim_{x \to 6} x \cdot h (x)

Exercise 113問題 113

lim_{x \to 6} [(x + 1) \cdot f (x)]

lim_{x \to 6} [(x + 1) \cdot f (x)]

Solution解き方

lim_{x \to 6} [(x + 1) f (x)] = (lim_{x \to 6} (x + 1)) (lim_{x \to 6} f (x)) = 28

lim_{x \to 6} [(x + 1) f (x)] = (lim_{x \to 6} (x + 1)) (lim_{x \to 6} f (x)) = 28

Exercise 114問題 114

lim_{x \to 6} (f (x) \cdot g (x) - h (x))

lim_{x \to 6} (f (x) \cdot g (x) - h (x))

Exercises 115–117練習問題 115–117

[T] In the following exercises, use a calculator to draw the graph of each piecewise-defined function and study the graph to evaluate the given limits.

[T] 以下の問題では、電卓で各区分関数のグラフを描き、それを調べて指定された極限を求めなさい。

Exercise 115問題 115

f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \leq 3 \\ x + 4, & x > 3 \end{cases}

f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \leq 3 \\ x + 4, & x > 3 \end{cases}

$lim_{x \to 3^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 3^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 3^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 3^{+}} f (x)$

Solution解き方

区分関数のグラフ。x≤3では上に開く放物線x²で、頂点は原点、端点(3,9)は黒丸である。x>3では傾き1の直線x+4で、始点(3,7)は白丸である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

a. 9; b. 7

a. 9　b. 7

Exercise 116問題 116

g (x) = {\begin{cases} x^{3} - 1, & x \leq 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

g (x) = {\begin{cases} x^{3} - 1, & x \leq 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

$lim_{x \to 0^{-}} g (x)$
$lim_{x \to 0^{-}} g (x)$
$lim_{x \to 0^{+}} g (x)$
$lim_{x \to 0^{+}} g (x)$

Exercise 117問題 117

h (x) = {\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1, & x < 2 \\ 3 - x, & x \geq 2 \end{cases}

h (x) = {\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1, & x < 2 \\ 3 - x, & x \geq 2 \end{cases}

$lim_{x \to 2^{-}} h (x)$
$lim_{x \to 2^{-}} h (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} h (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} h (x)$

Solution解き方

区分関数のグラフ。x<2では上に開く放物線x²−2x+1で、頂点は(1,0)である。x≥2では傾き−1の直線3−xで、x切片は(3,0)である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

a. 1; b. 1

a. 1　b. 1

Exercises 118–125練習問題 118–125

In the following exercises, use the following graphs and the limit laws to evaluate each limit.

以下の問題では、次のグラフと極限の法則を使って、各極限を求めなさい。

上下に2つの区分関数のグラフがある。上のf(x)は、x<−3で右下がりの直線となり、(−3,0)に近づく。x>−3では右上がりの直線となり、(−3,−2)に近づく。主な点は(0,1)、(−5,2)、(1,2)、(−7,4)、(−9,6)である。下の関数は、x<−3では右下がりの直線で、(−3,−2)に近づく。x>−3では下に開く放物線の右半分のような曲線となり、(−3,2)に近づく。主な点は(0,−7/3)、(−5,0)、(1,−5)、(−7,2)、(−9,4)である。

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Exercise 118問題 118

lim_{x \to {−3}^{+}} (f (x) + g (x))

lim_{x \to {−3}^{+}} (f (x) + g (x))

Exercise 119問題 119

lim_{x \to {−3}^{-}} (f (x) - 3 g (x))

lim_{x \to {−3}^{-}} (f (x) - 3 g (x))

Solution解き方

lim_{x \to {−3}^{-}} (f (x) - 3 g (x)) = lim_{x \to {−3}^{-}} f (x) - 3 lim_{x \to {−3}^{-}} g (x) = 0 + 6 = 6

lim_{x \to {−3}^{-}} (f (x) - 3 g (x)) = lim_{x \to {−3}^{-}} f (x) - 3 lim_{x \to {−3}^{-}} g (x) = 0 + 6 = 6

Exercise 120問題 120

lim_{x \to 0} \frac{f (x) g (x)}{3}

lim_{x \to 0} \frac{f (x) g (x)}{3}

Exercise 121問題 121

lim_{x \to −5} \frac{2 + g (x)}{f (x)}

lim_{x \to −5} \frac{2 + g (x)}{f (x)}

Solution解き方

lim_{x \to −5} \frac{2 + g (x)}{f (x)} = \frac{2 + (lim_{x \to −5} g (x))}{lim_{x \to −5} f (x)} = \frac{2 + 0}{2} = 1

lim_{x \to −5} \frac{2 + g (x)}{f (x)} = \frac{2 + (lim_{x \to −5} g (x))}{lim_{x \to −5} f (x)} = \frac{2 + 0}{2} = 1

Exercise 122問題 122

lim_{x \to 1} {(f (x))}^{2}

lim_{x \to 1} {(f (x))}^{2}

Exercise 123問題 123

lim_{x \to 1} \sqrt[3]{f (x) - g (x)}

lim_{x \to 1} \sqrt[3]{f (x) - g (x)}

Solution解き方

lim_{x \to 1} \sqrt[3]{f (x) - g (x)} = \sqrt[3]{lim_{x \to 1} f (x) - lim_{x \to 1} g (x)} = \sqrt[3]{2 + 5} = \sqrt[3]{7}

lim_{x \to 1} \sqrt[3]{f (x) - g (x)} = \sqrt[3]{lim_{x \to 1} f (x) - lim_{x \to 1} g (x)} = \sqrt[3]{2 + 5} = \sqrt[3]{7}

Exercise 124問題 124

lim_{x \to −7} (x \cdot g (x))

lim_{x \to −7} (x \cdot g (x))

Exercise 125問題 125

lim_{x \to −9} [x \cdot f (x) + 2 \cdot g (x)]

lim_{x \to −9} [x \cdot f (x) + 2 \cdot g (x)]

Solution解き方

lim_{x \to −9} (x f (x) + 2 g (x)) = (lim_{x \to −9} x) (lim_{x \to −9} f (x)) + 2 lim_{x \to −9} (g (x)) = (−9) (6) + 2 (4) = −46

lim_{x \to −9} (x f (x) + 2 g (x)) = (lim_{x \to −9} x) (lim_{x \to −9} f (x)) + 2 lim_{x \to −9} (g (x)) = (−9) (6) + 2 (4) = −46

Exercises 126–130練習問題 126–130

For the following problems, evaluate the limit using the squeeze theorem. Use a calculator to graph the functions

f (x), g (x),

and

h (x)

when possible.

以下の問題では、はさみうちの定理を使って極限を求めなさい。可能なら電卓で

f (x), g (x)

および

h (x)

のグラフを描くこと。

Exercise 126問題 126

[T] True or False? If

2 x - 1 \leq g (x) \leq x^{2} - 2 x + 3,

then

lim_{x \to 2} g (x) = 0 .

[T] 正しいか、誤りか。

2 x - 1 \leq g (x) \leq x^{2} - 2 x + 3

ならば、

lim_{x \to 2} g (x) = 0

である。

Exercise 127問題 127

[T]

lim_{θ \to 0} θ^{2} cos (\frac{1}{θ})

[T]

lim_{θ \to 0} θ^{2} cos (\frac{1}{θ})

Solution解き方

The limit is zero.

極限は0である。

区間[−1,1]での3つのグラフ。赤はθ²、青は−θ²で、原点を頂点としてそれぞれ上下に開く放物線である。緑のθ²cos(1/θ)は、この2つの間にはさまれている。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 128問題 128

lim_{x \to 0} f (x),

where

f (x) = {\begin{cases} 0, & x rational \\ x^{2}, & x irrational \end{cases}

lim_{x \to 0} f (x)

を求めなさい。ここで、

f (x) = {\begin{cases} 0, & x 有理数 \\ x^{2}, & x 無理数 \end{cases}

とする。

Exercise 129問題 129

[T] In physics, the magnitude of an electric field generated by a point charge at a distance r in vacuum is governed by Coulomb’s law:

E (r) = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}},

where E represents the magnitude of the electric field, q is the charge of the particle, r is the distance between the particle and where the strength of the field is measured, and

\frac{1}{4 π ε_{0}}

is Coulomb’s constant:

8.988 \times 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2} .

英語のヒント

[T] 真空中の点電荷から距離rの位置に生じる電場の大きさは、クーロンの法則

E (r) = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}}

で与えられる。Eは電場の大きさ、qは粒子の電荷、rは粒子から測定点までの距離である。また、

\frac{1}{4 π ε_{0}}

はクーロン定数で、その値は

8.988 \times 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}

である。ここでは次問のように正の電荷を考える。

Use a graphing calculator to graph $E (r)$ given that the charge of the particle is $q = 10^{−10} .$
粒子の電荷を $q = 10^{−10}$ として、グラフ電卓で $E (r)$ を描きなさい。
Evaluate $lim_{r \to 0^{+}} E (r) .$ What is the physical meaning of this quantity? Is it physically relevant? Why are you evaluating from the right?
$lim_{r \to 0^{+}} E (r)$ を求めなさい。この量の物理的な意味は何か。物理的に妥当なものだろうか。また、なぜ右側からの極限を求めるのか。

Solution解き方

第1象限と第2象限に2つの枝を持つ関数のグラフ。どちらもy軸に近づくと正の無限大に発散し、左右に離れるとx軸に近づく。物理的な距離に対応するのは、正の横座標の側である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

b. ∞. The magnitude of the electric field as you approach the particle q becomes infinite. It does not make physical sense to evaluate negative distance.

b. ∞。点電荷qへ近づくと、点電荷モデルでは電場の大きさが際限なく増加する。距離を負にすることには物理的な意味がない。

Exercise 130問題 130

[T] The density of an object is given by its mass divided by its volume:

ρ = m / V .

[T] 物体の密度は、質量を体積で割って求める。

ρ = m / V

。

Use a calculator to plot the volume as a function of density $(V = m / ρ),$ assuming you are examining something of mass 8 kg ( $m = 8).$
質量8 kg（ $m = 8$ ）の物体を考え、密度の関数として体積 $(V = m / ρ)$ のグラフを電卓で描きなさい。
Evaluate $lim_{ρ \to 0^{+}} V (ρ)$ and explain the physical meaning.
$lim_{ρ \to 0^{+}} V (ρ)$ を求め、その物理的な意味を説明しなさい。

constant multiple law for limits

定数倍の極限の法則

the limit law

lim_{x \to a} c f (x) = c \cdot lim_{x \to a} f (x) = c L

極限の法則

lim_{x \to a} c f (x) = c \cdot lim_{x \to a} f (x) = c L

。

difference law for limits

差の極限の法則

the limit law

lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x) = L - M

極限の法則

lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x) = L - M

。

limit laws

極限の法則

the individual properties of limits; for each of the individual laws, let

f (x)

and

g (x)

be defined for all

x \neq a

over some open interval containing a; assume that L and M are real numbers so that

lim_{x \to a} f (x) = L

and

lim_{x \to a} g (x) = M;

let c be a constant

極限の個々の性質。各法則では、aを含むある開区間内の

x \neq a

を満たすすべての値で、

f (x)

と

g (x)

が定義されているとする。また、実数LとMについて

lim_{x \to a} f (x) = L

、

lim_{x \to a} g (x) = M

が成り立ち、cは定数とする。

power law for limits

累乗の極限の法則

the limit law

lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = {(lim_{x \to a} f (x))}^{n} = L^{n}

for every positive integer n

すべての正の整数nについて成り立つ、極限の法則

lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = {(lim_{x \to a} f (x))}^{n} = L^{n}

。

product law for limits

積の極限の法則

the limit law

lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x) = L \cdot M

極限の法則

lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x) = L \cdot M

。

quotient law for limits

商の極限の法則

the limit law

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{L}{M}

for

M \neq 0

M \neq 0

のときに成り立つ、極限の法則

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{L}{M}

。

root law for limits

累乗根の極限の法則

the limit law

lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{lim_{x \to a} f (x)} = \sqrt[n]{L}

for all L if n is odd and for

L \geq 0

if n is even

極限の法則

lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{lim_{x \to a} f (x)} = \sqrt[n]{L}

。nが奇数ならすべてのLで成り立つ。nが偶数なら

L \geq 0

とし、極限を取る範囲でf(x)≥0であることを要する。

squeeze theorem

はさみうちの定理

states that if

f (x) \leq g (x) \leq h (x)

for all

x \neq a

over an open interval containing a and

lim_{x \to a} f (x) = L = lim_{x \to a} h (x)

where L is a real number, then

lim_{x \to a} g (x) = L

aを含むある開区間で、

x \neq a

を満たすすべての値について

f (x) \leq g (x) \leq h (x)

とする。実数Lについて

lim_{x \to a} f (x) = L = lim_{x \to a} h (x)

が成り立つなら、

lim_{x \to a} g (x) = L

となる、という定理。

sum law for limits

和の極限の法則

The limit law

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x) = L + M

極限の法則

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x) = L + M

。