第2章極限

2.3 The Limit Laws2.3　極限の法則

Learning Objectives学習目標

Recognize the basic limit laws.
基本的な極限の法則を理解する。
Use the limit laws to evaluate the limit of a function.
極限の法則を使って、関数の極限を求める。
Evaluate the limit of a function by factoring.
因数分解によって、関数の極限を求める。
Use the limit laws to evaluate the limit of a polynomial or rational function.
極限の法則を使って、多項式関数や有理関数の極限を求める。
Evaluate the limit of a function by factoring or by using conjugates.
因数分解や共役な式を使って、関数の極限を求める。
Evaluate the limit of a function by using the squeeze theorem.
はさみうちの定理を使って、関数の極限を求める。

In the previous section, we evaluated limits by looking at graphs or by constructing a table of values. In this section, we establish laws for calculating limits and learn how to apply these laws. In the Student Project at the end of this section, you have the opportunity to apply these limit laws to derive the formula for the area of a circle by adapting a method devised by the Greek mathematician Archimedes. We begin by restating two useful limit results from the previous section. These two results, together with the limit laws, serve as a foundation for calculating many limits.

英語のヒント

前の節では、グラフや値の表を使って極限を求めた。この節では、極限を計算するための法則と、その使い方を学ぶ。節の最後の探究課題では、ギリシャの数学者アルキメデスが考案した方法を応用し、極限の法則を使って円の面積の公式を導く。まず、前の節の有用な2つの極限を確認しよう。この2つの結果と極限の法則が、多くの極限を計算する土台になる。

Evaluating Limits with the Limit Laws極限の法則を使って極限を求める

The first two limit laws were stated in Theorem 2.1 and we repeat them here. These basic results, together with the other limit laws, allow us to evaluate limits of many algebraic functions.

最初の2つの法則は定理2.1で述べたもので、ここでもう一度示す。これらの基本的な結果を、ほかの極限の法則と組み合わせると、多くの代数関数の極限を求められる。

Example 2.13例題 2.13

Evaluating a Basic Limit基本的な極限を求める

Evaluate each of the following limits using Theorem 2.4.

定理2.4を使って、次の各極限を求めなさい。

$lim_{x \to 2} x$
$lim_{x \to 2} x$
$lim_{x \to 2} 5$
$lim_{x \to 2} 5$

Solution解き方

The limit of x as x approaches a is a: $lim_{x \to 2} x = 2 .$
xがaに近づくとき、xの極限はaである。 $lim_{x \to 2} x = 2$ 。
The limit of a constant is that constant: $lim_{x \to 2} 5 = 5 .$
定数の極限は、その定数自身である。 $lim_{x \to 2} 5 = 5$ 。

We now take a look at the limit laws, the individual properties of limits. The proofs that these laws hold are omitted here.

次に、極限のそれぞれの性質を表す法則を見よう。これらの法則の証明は、ここでは省略する。

Theorem 2.5定理 2.5

Limit Laws極限の法則

Let

f (x)

and

g (x)

be defined for all

x \neq a

over some open interval containing a. Assume that L and M are real numbers such that

lim_{x \to a} f (x) = L

and

lim_{x \to a} g (x) = M .

Let c be a constant. Then, each of the following statements holds:

aを含むある開区間において、

x \neq a

を満たすすべての値で

f (x)

と

g (x)

が定義されているとする。実数LとMについて、

lim_{x \to a} f (x) = L

、

lim_{x \to a} g (x) = M

が成り立つとし、cを定数とする。このとき、次の法則が成り立つ。

Sum law for limits:

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x) = L + M

和の極限：

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x) = L + M

Difference law for limits:

lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x) = L - M

差の極限：

lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x) = L - M

Constant multiple law for limits:

lim_{x \to a} c f (x) = c \cdot lim_{x \to a} f (x) = c L

定数倍の極限：

lim_{x \to a} c f (x) = c \cdot lim_{x \to a} f (x) = c L

Product law for limits:

lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x) = L \cdot M

積の極限：

lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x) = L \cdot M

Quotient law for limits:

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{L}{M}

for

M \neq 0

商の極限：

M \neq 0

のとき、

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{L}{M}

。

Power law for limits:

lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = {(lim_{x \to a} f (x))}^{n} = L^{n}

for every positive integer n.

累乗の極限：任意の正の整数nについて、

lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = {(lim_{x \to a} f (x))}^{n} = L^{n}

。

Root law for limits:

lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{lim_{x \to a} f (x)} = \sqrt[n]{L}

for all L if n is odd and for

L \geq 0

if n is even and

f (x) \geq 0

累乗根の極限：

lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{lim_{x \to a} f (x)} = \sqrt[n]{L}

。nが奇数ならすべてのLについて成り立つ。nが偶数なら、

L \geq 0

で、考えている範囲で

f (x) \geq 0

を満たす場合に成り立つ。

We now practice applying these limit laws to evaluate a limit.

これらの法則を使って、実際に極限を求めてみよう。

Example 2.14例題 2.14

Evaluating a Limit Using Limit Laws極限の法則を使って求める

Use the limit laws to evaluate

lim_{x \to −3} (4 x + 2) .

極限の法則を使って、

lim_{x \to −3} (4 x + 2)

を求めなさい。

Solution解き方

Let’s apply the limit laws one step at a time to be sure we understand how they work. We need to keep in mind the requirement that, at each application of a limit law, the new limits must exist for the limit law to be applied.

英語のヒント

法則の使い方を確かめるため、1段階ずつ適用しよう。法則を適用するたびに、新たに現れる極限が存在しなければならないことを忘れてはいけない。

\begin{matrix} lim_{x \to −3} (4 x + 2) & = lim_{x \to −3} 4 x + lim_{x \to −3} 2 & Apply the sum law. \\ = 4 \cdot lim_{x \to −3} x + lim_{x \to −3} 2 & Apply the constant multiple law. \\ = 4 \cdot (−3) + 2 = −10 . & Apply the basic limit results and simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} lim_{x \to −3} (4 x + 2) & = lim_{x \to −3} 4 x + lim_{x \to −3} 2 & 極限の和の法則を用いる。 \\ = 4 \cdot lim_{x \to −3} x + lim_{x \to −3} 2 & 極限の定数倍の法則を用いる。 \\ = 4 \cdot (−3) + 2 = −10 . & 基本的な極限の結果を用いて整理する。 \end{matrix}

Example 2.15例題 2.15

Using Limit Laws Repeatedly極限の法則を繰り返し使う

Use the limit laws to evaluate

lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} .

極限の法則を使って、

lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4}

を求めなさい。

Solution解き方

To find this limit, we need to apply the limit laws several times. Again, we need to keep in mind that as we rewrite the limit in terms of other limits, each new limit must exist for the limit law to be applied.

この極限を求めるには、法則を何度か使う必要がある。ほかの極限を用いて式を書き換えるたびに、新たに現れるそれぞれの極限が存在することを確かめてから、法則を適用する。

\begin{matrix} lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} & = \frac{lim_{x \to 2} (2 x^{2} - 3 x + 1)}{lim_{x \to 2} (x^{3} + 4)} & Apply the quotient law, making sure that. {(2)}^{3} + 4 \neq 0 \\ = \frac{2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 3 \cdot lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4} & Apply the sum law and constant multiple law. \\ = \frac{2 \cdot {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 3 \cdot lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4} & Apply the power law. \\ = \frac{2 (4) - 3 (2) + 1}{{(2)}^{3} + 4} = \frac{1}{4} . & Apply the basic limit laws and simplify. \end{matrix}

\begin{matrix} lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} & = \frac{lim_{x \to 2} (2 x^{2} - 3 x + 1)}{lim_{x \to 2} (x^{3} + 4)} & 商の法則を用いる。確認する条件： {(2)}^{3} + 4 \neq 0 \\ = \frac{2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 3 \cdot lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4} & 和と定数倍の法則を用いる。 \\ = \frac{2 \cdot {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 3 \cdot lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4} & 極限のべき乗の法則を用いる。 \\ = \frac{2 (4) - 3 (2) + 1}{{(2)}^{3} + 4} = \frac{1}{4} . & 基本的な極限の法則を用いて整理する。 \end{matrix}

Limits of Polynomial and Rational Functions多項式関数と有理関数の極限

By now you have probably noticed that, in each of the previous examples, it has been the case that

lim_{x \to a} f (x) = f (a) .

This is not always true, but it does hold for all polynomials for any choice of a and for all rational functions at all values of a for which the rational function is defined.

英語のヒント

ここまでの例では、どれも

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

になっていると気づいたかもしれない。これは常に成り立つわけではない。しかし、多項式関数ではどのaでも成り立ち、有理関数ではその関数が定義されるすべてのaで成り立つ。

To see that this theorem holds, consider the polynomial

p (x) = c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0} .

By applying the sum, constant multiple, and power laws, we end up with

この定理を確かめるため、多項式

p (x) = c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0}

を考える。和・定数倍・累乗の極限の法則を適用すると、次を得る。

\begin{matrix} lim_{x \to a} p (x) & = lim_{x \to a} (c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0}) \\ = c_{n} {(lim_{x \to a} x)}^{n} + c_{n - 1} {(lim_{x \to a} x)}^{n - 1} + \dots + c_{1} (lim_{x \to a} x) + lim_{x \to a} c_{0} \\ = c_{n} a^{n} + c_{n - 1} a^{n - 1} + \dots + c_{1} a + c_{0} \\ = p (a) . \end{matrix}

It now follows from the quotient law that if

p (x)

and

q (x)

are polynomials for which

q (a) \neq 0,

then

したがって、

p (x)

と

q (x)

が多項式で

q (a) \neq 0

を満たすなら、商の極限の法則から次が成り立つ。

lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)} .

lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)}

Example 2.16 applies this result.

例題2.16では、この結果を使う。

Example 2.16例題 2.16

Evaluating a Limit of a Rational Function有理関数の極限を求める

Evaluate the

lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} .

lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4}

を求めなさい。

Solution解き方

Since 3 is in the domain of the rational function

f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4},

we can calculate the limit by substituting 3 for x into the function. Thus,

3は有理関数

f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4}

の定義域に入っているので、xに3を代入して極限を計算できる。したがって、次のようになる。

lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} = \frac{10}{19} .

lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} = \frac{10}{19}

第2章極限

2.3 The Limit Laws2.3 極限の法則

Learning Objectives学習目標

Evaluating Limits with the Limit Laws極限の法則を使って極限を求める

Evaluating a Basic Limit基本的な極限を求める

Evaluating a Limit Using Limit Laws極限の法則を使って求める

Using Limit Laws Repeatedly極限の法則を繰り返し使う

Limits of Polynomial and Rational Functions多項式関数と有理関数の極限

Evaluating a Limit of a Rational Function有理関数の極限を求める

2.3 The Limit Laws2.3　極限の法則