第2章極限

Proving Limit Laws極限の法則を証明する

We now demonstrate how to use the epsilon-delta definition of a limit to construct a rigorous proof of one of the limit laws. The triangle inequality is used at a key point of the proof, so we first review this key property of absolute value.

英語のヒント

イプシロン・デルタによる定義を使い、極限の法則の1つを厳密に証明しよう。証明の重要な箇所で三角不等式を使うので、まず絶対値のこの性質を復習する。

Proof証明

We prove the following limit law: If

lim_{x \to a} f (x) = L

and

lim_{x \to a} g (x) = M,

then

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = L + M .

次の極限の法則を証明する。

lim_{x \to a} f (x) = L

かつ

lim_{x \to a} g (x) = M

なら、

lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = L + M

である。

Let

ε > 0 .

ε > 0

を任意にとる。

Choose

δ_{1} > 0

so that if

0 < | x - a | < δ_{1},

then

| f (x) - L | < ε / 2 .

0 < | x - a | < δ_{1}

なら

| f (x) - L | < ε / 2

となるように、

δ_{1} > 0

を選ぶ。

Choose

δ_{2} > 0

so that if

0 < | x - a | < δ_{2},

then

| g (x) - M | < ε / 2 .

0 < | x - a | < δ_{2}

なら

| g (x) - M | < ε / 2

となるように、

δ_{2} > 0

を選ぶ。

Choose

δ = min {δ_{1}, δ_{2}} .

δ = min {δ_{1}, δ_{2}}

と選ぶ。

Assume

0 < | x - a | < δ .

0 < | x - a | < δ

と仮定する。

Thus,

したがって、

0 < | x - a | < δ_{1} and 0 < | x - a | < δ_{2} .

0 < | x - a | < δ_{1} および 0 < | x - a | < δ_{2}

Hence,

よって、

\begin{matrix} | (f (x) + g (x)) - (L + M) | & = | (f (x) - L) + (g (x) - M) | \\ \leq | f (x) - L | + | g (x) - M | \\ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε . \end{matrix}

□

We now explore what it means for a limit not to exist. The limit

lim_{x \to a} f (x)

does not exist if there is no real number L for which

lim_{x \to a} f (x) = L .

Thus, for all real numbers L,

lim_{x \to a} f (x) \neq L .

To understand what this means, we look at each part of the definition of

lim_{x \to a} f (x) = L

together with its opposite. A translation of the definition is given in Table 2.10.

英語のヒント

今度は、極限が存在しないとは何を意味するのかを考えよう。

lim_{x \to a} f (x) = L

を満たす実数Lがないとき、極限

lim_{x \to a} f (x)

は存在しないという。つまり、すべての実数Lについて

lim_{x \to a} f (x) \neq L

となる。この意味を理解するため、

lim_{x \to a} f (x) = L

の定義を部分ごとに分け、それぞれの否定を考える。表2.10に、定義とその否定を対比する。

Translation of the Definition of $lim_{x \to a} f (x) = L$ and its Opposite $lim_{x \to a} f (x) = L$ の定義とその否定

Table 2.10表 2.10
Definition 定義	Opposite 否定
1. For every $ε > 0,$ 1. 任意の $ε > 0$ に対し、	1. There exists $ε > 0$ so that 1. ある $ε > 0$ が存在して、
2. there exists a $δ > 0,$ so that 2. ある $δ > 0$ が存在して、	2. for every $δ > 0,$ 2. どんな $δ > 0$ を選んでも、
3. if $0 < \| x - a \| < δ,$ then $\| f (x) - L \| < ε .$ 3. $0 < \| x - a \| < δ$ なら、 $\| f (x) - L \| < ε$ 。	3. There is an x satisfying $0 < \| x - a \| < δ$ so that $\| f (x) - L \| \geq ε .$ 3. $0 < \| x - a \| < δ$ を満たし、しかも $\| f (x) - L \| \geq ε$ となるxが存在する。

Finally, we may state what it means for a limit not to exist. The limit

lim_{x \to a} f (x)

does not exist if for every real number L, there exists a real number

ε > 0

so that for all

δ > 0,

there is an x satisfying

0 < | x - a | < δ,

so that

| f (x) - L | \geq ε .

Let’s apply this in Example 2.43 to show that a limit does not exist.

英語のヒント

これで、極限が存在しないことを正確に述べられる。どんな実数Lに対しても、ある実数

ε > 0

が存在し、どんな

δ > 0

に対しても、

0 < | x - a | < δ

を満たしながら

| f (x) - L | \geq ε

となるxが見つかるなら、

lim_{x \to a} f (x)

は存在しない。例題2.43で、この定義を使って極限が存在しないことを示そう。

Example 2.43例題 2.43

Showing That a Limit Does Not Exist極限が存在しないことを示す

Show that

lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x}

does not exist. The graph of

f (x) = | x | / x

is shown here:

lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x}

が存在しないことを示せ。

f (x) = | x | / x

のグラフを次に示す。

グラフは2つの水平な部分からなる。x<0ではy=−1で、端の(0,−1)は白丸である。x>0ではy=1で、端の(0,1)は白丸である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

Suppose that L is a candidate for a limit. Choose

ε = 1 / 2 .

Lを極限の候補とする。

ε = 1 / 2

と選ぶ。

Let

δ > 0 .

Either

L \geq 0

L < 0 .

L \geq 0,

then let

x = - δ / 2 .

Thus,

δ > 0

を任意にとる。

L \geq 0

か

L < 0

のどちらかである。

L \geq 0

なら、

x = - δ / 2

とおく。すると、

| x - 0 | = | - \frac{δ}{2} - 0 | = \frac{δ}{2} < δ

and

また、

| \frac{| - \frac{δ}{2} |}{- \frac{δ}{2}} - L | = | −1 - L | = L + 1 \geq 1 > \frac{1}{2} = ε .

| \frac{| - \frac{δ}{2} |}{- \frac{δ}{2}} - L | = | −1 - L | = L + 1 \geq 1 > \frac{1}{2} = ε

On the other hand, if

L < 0,

then let

x = δ / 2 .

Thus,

一方、

L < 0

なら、

x = δ / 2

とおく。すると、

| x - 0 | = | \frac{δ}{2} - 0 | = \frac{δ}{2} < δ

and

また、

| \frac{| \frac{δ}{2} |}{\frac{δ}{2}} - L | = | 1 - L | = | L | + 1 \geq 1 > \frac{1}{2} = ε .

| \frac{| \frac{δ}{2} |}{\frac{δ}{2}} - L | = | 1 - L | = | L | + 1 \geq 1 > \frac{1}{2} = ε

Thus, for any value of L,

lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x} \neq L .

したがって、Lをどのように選んでも

lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x} \neq L

となる。

One-Sided and Infinite Limits片側極限と無限大の極限

Just as we first gained an intuitive understanding of limits and then moved on to a more rigorous definition of a limit, we now revisit one-sided limits. To do this, we modify the epsilon-delta definition of a limit to give formal epsilon-delta definitions for limits from the right and left at a point. These definitions only require slight modifications from the definition of the limit. In the definition of the limit from the right, the inequality

0 < x - a < δ

replaces

0 < | x - a | < δ,

which ensures that we only consider values of x that are greater than (to the right of) a. Similarly, in the definition of the limit from the left, the inequality

- δ < x - a < 0

replaces

0 < | x - a | < δ,

which ensures that we only consider values of x that are less than (to the left of) a.

これまで、極限を直感的に理解してから厳密な定義へ進んだ。同じように、片側極限も定義し直そう。イプシロン・デルタによる極限の定義を少し変えるだけで、右側極限と左側極限を定義できる。右側極限では、

0 < | x - a | < δ

を

0 < x - a < δ

に置き換える。これによって、aより大きい、つまりaの右側にあるxだけを考える。同様に、左側極限では、

0 < | x - a | < δ

を

- δ < x - a < 0

に置き換える。これによって、aより小さい、つまりaの左側にあるxだけを考える。

Definition定義

Limit from the Right: Let

f (x)

be defined over an open interval of the form

(a, b)

where

a < b .

Then,

右側極限：

a < b

とし、

f (x)

が開区間

(a, b)

で定義されているとする。このとき、

lim_{x \to a^{+}} f (x) = L

if for every

ε > 0,

there exists a

δ > 0

such that if

0 < x - a < δ,

then

| f (x) - L | < ε .

任意の

ε > 0

に対し、ある

δ > 0

が存在して、

0 < x - a < δ

なら

| f (x) - L | < ε

が成り立つとき、上の右側極限が成り立つという。

Limit from the Left: Let

f (x)

be defined over an open interval of the form

(b, a)

where

b < a .

Then,

左側極限：

b < a

とし、

f (x)

が開区間

(b, a)

で定義されているとする。このとき、

lim_{x \to a^{-}} f (x) = L

if for every

ε > 0,

there exists a

δ > 0

such that if

- δ < x - a < 0,

then

| f (x) - L | < ε .

任意の

ε > 0

に対し、ある

δ > 0

が存在して、

- δ < x - a < 0

なら

| f (x) - L | < ε

が成り立つとき、上の左側極限が成り立つという。

Example 2.44例題 2.44

Proving a Statement about a Limit From the Right右側極限を証明する

Prove that

lim_{x \to 4^{+}} \sqrt{x - 4} = 0 .

lim_{x \to 4^{+}} \sqrt{x - 4} = 0

を証明せよ。

Solution解き方

Let

ε > 0 .

ε > 0

を任意にとる。

Choose

δ = ε^{2} .

Since we ultimately want

| \sqrt{x - 4} - 0 | < ε,

we manipulate this inequality to get

\sqrt{x - 4} < ε

or, equivalently,

0 < x - 4 < ε^{2},

making

δ = ε^{2}

a clear choice. We may also determine

δ

geometrically, as shown in Figure 2.42.

δ = ε^{2}

と選ぶ。最後に示したい

| \sqrt{x - 4} - 0 | < ε

を変形すると、

\sqrt{x - 4} < ε

、つまり

0 < x - 4 < ε^{2}

となるので、

δ = ε^{2}

という選び方が自然に得られる。図2.42のように、

δ

を図から求めることもできる。

x>4でのf(x)=√(x−4)のグラフを使い、δを求める図。極限の候補は0なので、青い水平線y=0+ε、y=0−εを引く。曲線と交わるのは上側の線だけであり、その交点から赤い鉛直線をx軸へ下ろす。交点のx座標は√(x−4)=ε、つまりx=ε²+4を解いて得られる。δは、この点と4の距離なので、ε²である。 — Figure 2.42図 2.42
This graph shows how we find δ for the proof in Example 2.44.
例題2.44の証明でδを選ぶ方法。

Assume

0 < x - 4 < δ .

Thus,

0 < x - 4 < ε^{2} .

Hence,

0 < \sqrt{x - 4} < ε .

Finally,

| \sqrt{x - 4} - 0 | < ε .

0 < x - 4 < δ

と仮定する。すると

0 < x - 4 < ε^{2}

なので、

0 < \sqrt{x - 4} < ε

となる。最後に、

| \sqrt{x - 4} - 0 | < ε

を得る。

Therefore,

lim_{x \to 4^{+}} \sqrt{x - 4} = 0 .

したがって、

lim_{x \to 4^{+}} \sqrt{x - 4} = 0

である。

We conclude the process of converting our intuitive ideas of various types of limits to rigorous formal definitions by pursuing a formal definition of infinite limits. To have

lim_{x \to a} f (x) = + \infty,

we want the values of the function

f (x)

to get larger and larger as x approaches a. Instead of the requirement that

| f (x) - L | < ε

for arbitrarily small ε when

0 < | x - a | < δ

for small enough

δ,

we want

f (x) > M

for arbitrarily large positive M when

0 < | x - a | < δ

for small enough

δ .

Figure 2.43 illustrates this idea by showing the value of

δ

for successively larger values of M.

さまざまな極限について、直感を厳密な定義に変える作業の最後として、無限大の極限を考えよう。

lim_{x \to a} f (x) = + \infty

とは、xがaへ近づくにつれ、

f (x)

の値がいくらでも大きくなることである。有限の極限では、どんな小さい正のεに対しても、

δ

を十分小さく選ぶことで、

0 < | x - a | < δ

なら

| f (x) - L | < ε

となることを求めた。今度は、どんな大きな正のMに対しても、

δ

を十分小さく選ぶことで、

0 < | x - a | < δ

なら

f (x) > M

となることを求める。図2.43は、Mを順に大きくしたときに選べる

δ

を示している。

2つの図が横に並ぶ。どちらにも、x軸の上で、垂直漸近線x=aを挟む2本の曲線がある。左の曲線はxがaへ近づくと正の無限大へ向かい、xが負の無限大へ向かうと0へ近づく。右の曲線もxがaへ近づくと正の無限大へ向かい、xが正の無限大へ向かうと0へ近づく。最初の図では正のMをy軸上に取り、水平線y=Mを両方の曲線まで引く。交点からx軸へ鉛直線を下ろし、aから2つの交点のx座標までの距離の小さいほうをδとする。2番目の図ではMを大きくしているので、交点のx座標はaに近づき、δは小さくなる。 — Figure 2.43図 2.43
These graphs plot values of $δ$ for M to show that $lim_{x \to a} f (x) = + \infty .$
Mに対する $δ$ の選び方を示し、 $lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ を説明している。

Definition定義

Let

f (x)

be defined for all

x \neq a

in an open interval containing a. Then, we have an infinite limit

aを含むある開区間で、

x \neq a

を満たすすべてのxについて

f (x)

が定義されているとする。次の無限大の極限は、

lim_{x \to a} f (x) = + \infty

if for every

M > 0,

there exists

δ > 0

such that if

0 < | x - a | < δ,

then

f (x) > M .

任意の

M > 0

に対し、ある

δ > 0

が存在して、

0 < | x - a | < δ

なら

f (x) > M

が成り立つことを意味する。

Let

f (x)

be defined for all

x \neq a

in an open interval containing a. Then, we have a negative infinite limit

aを含むある開区間で、

x \neq a

を満たすすべてのxについて

f (x)

が定義されているとする。次の負の無限大の極限は、

lim_{x \to a} f (x) = − \infty

if for every

M > 0,

there exists

δ > 0

such that if

0 < | x - a | < δ,

then

f (x) < − M .

任意の

M > 0

に対し、ある

δ > 0

が存在して、

0 < | x - a | < δ

なら

f (x) < − M

が成り立つことを意味する。

第2章極限

Proving Limit Laws極限の法則を証明する

Proof証明

Translation of the Definition of limx→af(x)=L and its Oppositelimx→af(x)=Lの定義とその否定

Showing That a Limit Does Not Exist極限が存在しないことを示す

One-Sided and Infinite Limits片側極限と無限大の極限

Proving a Statement about a Limit From the Right右側極限を証明する

Translation of the Definition of $lim_{x \to a} f (x) = L$ and its Opposite $lim_{x \to a} f (x) = L$ の定義とその否定