第2章極限

Exercises 159–160練習問題 159–160

In the following exercises, suppose

y = f (x)

is defined for all x. For each description, sketch a graph with the indicated property.

以下の問題では、

y = f (x)

はすべてのxで定義されているとする。指定された性質を持つグラフを、それぞれ描きなさい。

Exercise 159問題 159

Discontinuous at

x = 1

with

lim_{x \to −1} f (x) = −1

and

lim_{x \to 2} f (x) = 4

x = 1

で不連続で、

lim_{x \to −1} f (x) = −1

かつ

lim_{x \to 2} f (x) = 4

を満たす。

Solution解き方

Answers may vary; see the following example:

解答は1通りとは限らない。次に例を示す。

区分関数のグラフ。x<1では増加する曲線が(1,1)に近づく。x>1では増加する直線が(1,3)から伸びる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 160問題 160

Discontinuous at

x = 2

but continuous elsewhere with

lim_{x \to 0} f (x) = \frac{1}{2}

x = 2

で不連続、それ以外では連続であり、

lim_{x \to 0} f (x) = \frac{1}{2}

を満たす。

Exercises 161–167練習問題 161–167

Determine whether each of the given statements is true. Justify your response with an explanation or counterexample.

次の各記述の正誤を判定しなさい。説明や反例によって根拠を示すこと。

Exercise 161問題 161

f (t) = \frac{2}{e^{t} - e^{- t}}

is continuous everywhere.

f (t) = \frac{2}{e^{t} - e^{- t}}

は、すべての点で連続である。

Solution解き方

False. It is continuous over

(− \infty, 0) \cup (0, \infty) .

誤り。連続である範囲は

(− \infty, 0) \cup (0, \infty)

である。

Exercise 162問題 162

If the left- and right-hand limits of

f (x)

x \to a

exist and are equal, then f cannot be discontinuous at

x = a .

x \to a

のときの

f (x)

の左右の極限が存在して等しいなら、fが

x = a

で不連続になることはない。

Exercise 163問題 163

If a function is not continuous at a point, then it is not defined at that point.

ある点で連続でない関数は、その点で定義されていない。

Solution解き方

False. Consider

f (x) = {\begin{cases} x if x \neq 0 \\ 4 if x = 0 \end{cases} .

誤り。反例として

f (x) = {\begin{cases} x 条件： x \neq 0 \\ 4 条件： x = 0 \end{cases}

を考える。

Exercise 164問題 164

According to the IVT,

cos x - sin x - x = 2

has a solution over the interval

[−1, 1] .

中間値の定理により、

cos x - sin x - x = 2

は区間

[−1, 1]

内に解を持つ。

Exercise 165問題 165

f (x)

is continuous such that

f (a)

and

f (b)

have opposite signs, then

f (x) = 0

has exactly one solution in

[a, b] .

f (x)

が連続で、

f (a)

と

f (b)

の符号が異なるなら、

f (x) = 0

は

[a, b]

内にちょうど1つの解を持つ。

Solution解き方

False. IVT only says that there is at least one solution; it does not guarantee that there is exactly one. Consider

f (x) = cos (x)

[- π, 2 π] .

誤り。中間値の定理が保証するのは少なくとも1つの解の存在であり、ちょうど1つとは限らない。区間

[- π, 2 π]

で

f (x) = cos (x)

を考えれば、反例になる。

Exercise 166問題 166

The function

f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 1}

is continuous over the interval

[0, 3] .

関数

f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 1}

は区間

[0, 3]

上で連続である。

Exercise 167問題 167

f (x)

is continuous everywhere and

f (a), f (b) > 0,

then there is no root of

f (x)

in the interval

[a, b] .

f (x)

がすべての点で連続で、

f (a), f (b) > 0

なら、区間

[a, b]

内に

f (x)

の零点はない。

Solution解き方

False. The IVT does not work in reverse! Consider

{(x - 1)}^{2}

over the interval

[−2, 2] .

誤り。中間値の定理を逆向きには使えない。区間

[−2, 2]

で

{(x - 1)}^{2}

を考えれば、反例になる。

Exercises 168–169練習問題 168–169

[T] The following problems consider the scalar form of Coulomb’s law, which describes the electrostatic force between two point charges, such as electrons. It is given by the equation

F (r) = k_{e} \frac{| q_{1} q_{2} |}{r^{2}},

where

k_{e}

is Coulomb’s constant,

q_{i}

are the magnitudes of the charges of the two particles, and r is the distance between the two particles.

英語のヒント

[T] 以下では、電子などの2つの点電荷に働く静電気力の大きさを表す、クーロンの法則を考える。式は

F (r) = k_{e} \frac{| q_{1} q_{2} |}{r^{2}}

である。

k_{e}

はクーロン定数、

q_{i}

は2つの粒子の電荷の大きさ、rは粒子間の距離を表す。

Exercise 168問題 168

To simplify the calculation of a model with many interacting particles, after some threshold value

r = R,

we approximate F as zero.

英語のヒント

多数の粒子が相互作用するモデルの計算を簡単にするため、あるしきい値

r = R

を超えたら、Fを0で近似する。

Explain the physical reasoning behind this assumption.
この仮定の物理的な根拠を説明しなさい。
What is the force equation?
力を表す式を書きなさい。
Evaluate the force F using both Coulomb’s law and our approximation, assuming two protons with a charge magnitude of $1.6022 \times 10^{−19} coulombs (C),$ and the Coulomb constant $k_{e} = 8.988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2}$ are 1 m apart. Also, assume $R < 1 m .$ How much inaccuracy does our approximation generate? Is our approximation reasonable?
電荷の大きさが $1.6022 \times 10^{−19} クーロン（C）$ の陽子2つが1 m離れているとし、クーロン定数を $k_{e} = 8.988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2}$ とする。クーロンの法則と、この近似の両方で力Fを求めなさい。ただし $R < 1 m$ とする。近似による誤差はどれほどか。この近似は妥当だろうか。
Is there any finite value of R for which this system remains continuous at R?
Rで連続になるような、有限のRの値は存在するか。

Exercise 169問題 169

Instead of making the force 0 at R, instead we let the force be 10⁻²⁰ for

r \geq R .

Assume two protons, which have a magnitude of charge

1.6022 \times 10^{−19} C,

and the Coulomb constant

k_{e} = 8.988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2} .

Is there a value R that can make this system continuous? If so, find it.

Rで力を0にする代わりに、

r \geq R

では力を10⁻²⁰とする。電荷の大きさが

1.6022 \times 10^{−19} C

の陽子2つを考え、クーロン定数は

k_{e} = 8.988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2}

とする。このモデルを連続にするRは存在するか。存在するなら求めなさい。

Solution解き方

R = 0.0001519 m

R = 0.0001519 m

Exercises 170–172練習問題 170–172

Recall the discussion on spacecraft from the chapter opener. The following problems consider a rocket launch from Earth’s surface. The force of gravity on the rocket is given by

F (d) = - m k / d^{2},

where m is the mass of the rocket, d is the distance of the rocket from the center of Earth, and k is a constant.

章の冒頭の宇宙船の話を思い出そう。以下では、地表から打ち上げられるロケットを考える。ロケットに働く重力は

F (d) = - m k / d^{2}

で与えられる。mはロケットの質量、dは地球の中心からロケットまでの距離、kは定数である。

Exercise 170問題 170

[T] Determine the value and units of k given that the mass of the rocket is 3 million kg. (Hint: The distance from the center of Earth to its surface is 6378 km.)

[T] ロケットの質量を300万kgとして、kの値と単位を求めなさい。ヒント：地球の中心から地表までの距離は6378 kmである。

Exercise 171問題 171

[T] After a certain distance D has passed, the gravitational effect of Earth becomes quite negligible, so we can approximate the force function by

F (d) = {\begin{cases} - \frac{m k}{d^{2}} & if d < D \\ - 10,000 & if d \geq D \end{cases} .

Using the value of k found in the previous exercise, find the necessary condition D such that the force function remains continuous.

[T] ある距離Dを超えると地球の重力の影響が十分小さくなるとして、力を

F (d) = {\begin{cases} - \frac{m k}{d^{2}} & 条件： d < D \\ - 10,000 & 条件： d \geq D \end{cases}

で近似する。前問で得たkを使い、この力の関数が連続になるDの条件を調べなさい。

Solution解き方

D = 345,826 km

D = 345,826 km

Exercise 172問題 172

As the rocket travels away from Earth’s surface, there is a distance D where the rocket sheds some of its mass, since it no longer needs the excess fuel storage. We can write this function as

F (d) = {\begin{cases} - \frac{m_{1} k}{d^{2}} if d < D \\ - \frac{m_{2} k}{d^{2}} if d \geq D \end{cases} .

Is there a D value such that this function is continuous, assuming

m_{1} \neq m_{2} ?

英語のヒント

ロケットが地表から離れていく途中、距離Dで、不要になった燃料タンクを切り離し、質量が減るとする。力の関数は

F (d) = {\begin{cases} - \frac{m_{1} k}{d^{2}} 条件： d < D \\ - \frac{m_{2} k}{d^{2}} 条件： d \geq D \end{cases}

と書ける。

m_{1} \neq m_{2}

のとき、この関数が連続になるDは存在するか。

Exercises 173–175練習問題 173–175

Prove the following functions are continuous everywhere

次の関数が、すべての点で連続であることを証明しなさい。

Exercise 173問題 173

f (θ) = sin θ

f (θ) = sin θ

Solution解き方

For all values of

a, f (a)

is defined,

lim_{θ \to a} f (θ)

exists, and

lim_{θ \to a} f (θ) = f (a) .

Therefore,

f (θ)

is continuous everywhere.

どのaについても、

f (a)

は定義され、

lim_{θ \to a} f (θ)

が存在し、

lim_{θ \to a} f (θ) = f (a)

が成り立つ。したがって、

f (θ)

はすべての点で連続である。

Exercise 174問題 174

g (x) = | x |

g (x) = | x |

Exercise 175問題 175

Where is

f (x) = {\begin{cases} 0 if x is irrational \\ 1 if x is rational \end{cases}

continuous?

f (x) = {\begin{cases} 0 条件： x は無理数 \\ 1 条件： x は有理数 \end{cases}

は、どの点で連続か。

Solution解き方

Nowhere

どの点でも連続ではない。

continuity at a point

ある点での連続性

A function

f (x)

is continuous at a point a if and only if the following three conditions are satisfied: (1)

f (a)

is defined, (2)

lim_{x \to a} f (x)

exists, and (3)

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

関数

f (x)

がaで連続であるための必要十分条件は、(1)

f (a)

が定義される、(2)

lim_{x \to a} f (x)

が存在する、(3)

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

、の3つをすべて満たすことである。

continuity from the left

左連続

A function is continuous from the left at b if

lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)

lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)

のとき、関数はbで左連続であるという。

continuity from the right

右連続

A function is continuous from the right at a if

lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)

lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)

のとき、関数はaで右連続であるという。

continuity over an interval

区間上での連続性

a function that can be traced with a pencil without lifting the pencil; a function is continuous over an open interval if it is continuous at every point in the interval; a function

f (x)

is continuous over a closed interval of the form

[a, b]

if it is continuous at every point in

(a, b),

and it is continuous from the right at a and from the left at b

鉛筆を離さずにグラフをなぞれる、という性質。開区間では、そのすべての点で連続なことをいう。関数

f (x)

が閉区間

[a, b]

で連続であるとは、

(a, b)

のすべての点で連続であり、aで右連続、bで左連続であることをいう。

discontinuity at a point

ある点での不連続

A function is discontinuous at a point or has a discontinuity at a point if it is not continuous at the point

ある点で関数が連続でないこと。その点で不連続である、または不連続を持つという。

infinite discontinuity

無限不連続

An infinite discontinuity occurs at a point a if

lim_{x \to a^{-}} f (x) = ± \infty

lim_{x \to a^{+}} f (x) = ± \infty

lim_{x \to a^{-}} f (x) = ± \infty

または

lim_{x \to a^{+}} f (x) = ± \infty

となるとき、aで無限不連続が生じる。

Intermediate Value Theorem

中間値の定理

Let f be continuous over a closed bounded interval

[a, b];

if z is any real number between

f (a)

and

f (b),

then there is a number c in

[a, b]

satisfying

f (c) = z

fが有界な閉区間

[a, b]

で連続であるとする。

f (a)

と

f (b)

の間にある任意の実数zに対し、

f (c) = z

を満たすcが

[a, b]

内に存在する。

jump discontinuity

跳躍不連続

A jump discontinuity occurs at a point a if

lim_{x \to a^{-}} f (x)

and

lim_{x \to a^{+}} f (x)

both exist, but

lim_{x \to a^{-}} f (x) \neq lim_{x \to a^{+}} f (x)

lim_{x \to a^{-}} f (x)

と

lim_{x \to a^{+}} f (x)

がともに実数として存在するが、

lim_{x \to a^{-}} f (x) \neq lim_{x \to a^{+}} f (x)

となるとき、aで跳躍不連続が生じる。

removable discontinuity

除去可能な不連続

A removable discontinuity occurs at a point a if

f (x)

is discontinuous at a, but

lim_{x \to a} f (x)

exists

f (x)

はaで不連続だが、

lim_{x \to a} f (x)

が存在する場合の不連続。