プリンキピア

第9章1標本による仮説検定

Decision and Conclusion判断と結論

A systematic way to make a decision of whether to reject or not reject the null hypothesis is to compare the p-value and a preset or preconceived α (also called a "significance level"). A preset α is the probability of a Type I error (rejecting the null hypothesis when the null hypothesis is true). It may or may not be given to you at the beginning of the problem.
英語のヒント
帰無仮説を棄却するかしないかを系統的に判断する方法は、p値と、あらかじめ設定したα（「有意水準」とも呼ぶ）を比較することである。設定したαは、第1種の過誤、すなわち真の帰無仮説を棄却する確率である。問題の冒頭で与えられる場合も、与えられない場合もある。
When you make a decision to reject or not reject H0, do as follows:
H0を棄却するかしないかを判断するときは、次のようにする：
  • If α > p-value, reject H0. The results of the sample data are significant. There is sufficient evidence to conclude that H0 is an incorrect belief and that the alternative hypothesis, Ha, may be correct.
    α > p値なら、H0を棄却する。標本データの結果は有意である。H0が誤った考えで、対立仮説Haが正しいかもしれないと結論づける十分な証拠がある。
  • If α ≤ p-value, do not reject H0. The results of the sample data are not significant.There is not sufficient evidence to conclude that the alternative hypothesis,Ha, may be correct.
    α ≤ p値なら、H0を棄却しない。標本データの結果は有意ではない。対立仮説Haが正しいかもしれないと結論づける十分な証拠はない。
  • When you "do not reject H0", it does not mean that you should believe that H0 is true. It simply means that the sample data have failed to provide sufficient evidence to cast serious doubt about the truthfulness of Ho.
    英語のヒント
    「H0を棄却しない」ことは、「H0が真だと信じるべきだ」という意味ではない。標本データが、Hoの正しさに重大な疑いを投げかけるだけの証拠を示せなかったという意味にすぎない。
Conclusion: After you make your decision, write a thoughtful conclusion about the hypotheses in terms of the given problem.
結論：判断した後、与えられた問題に即して、仮説について十分に考えた結論を書く。
Example 9.10例題 9.10
When using the p-value to evaluate a hypothesis test, it is sometimes useful to use the following memory device
p値で仮説検定を評価するときは、次の覚え方が役立つことがある。
If the p-value is low, the null must go.
p値が低ければ、帰無仮説は退場。
If the p-value is high, the null must fly.
p値が高ければ、帰無仮説は通過。
This memory aid relates a p-value less than the established alpha (the p is low) as rejecting the null hypothesis and, likewise, relates a p-value higher than the established alpha (the p is high) as not rejecting the null hypothesis.
この覚え方は、p値が設定したαより小さい場合（pが低い）を帰無仮説の棄却に結び付ける。同様に、p値がαより大きい場合（pが高い）を、帰無仮説を棄却しないことに結び付ける。
Fill in the blanks.
空欄を埋めよ。
Reject the null hypothesis when ______________________________________.
______________________________________のとき、帰無仮説を棄却する。
The results of the sample data _____________________________________.
標本データの結果は_____________________________________。
Do not reject the null when hypothesis when __________________________________________.
__________________________________________のとき、帰無仮説を棄却しない。
The results of the sample data ____________________________________________.
標本データの結果は____________________________________________。
Solution解き方
Reject the null hypothesis when the p-value is less than the established alpha value. The results of the sample data support the alternative hypothesis.
p値が設定したαより小さいとき、帰無仮説を棄却する。標本データの結果は対立仮説を支持する。
Do not reject the null hypothesis when the p-value is greater than the established alpha value. The results of the sample data do not support the alternative hypothesis.
p値が設定したαより大きいとき、帰無仮説を棄却しない。標本データの結果は対立仮説を支持しない。

Chapter Review章の復習

When the probability of an event occurring is low, and it happens, it is called a rare event. Rare events are important to consider in hypothesis testing because they can inform your willingness not to reject or to reject a null hypothesis. To test a null hypothesis, find the p-value for the sample data and graph the results. When deciding whether or not to reject the null the hypothesis, keep these two parameters in mind:
発生確率の低い出来事が起きた場合、それをまれな事象と呼ぶ。まれな事象は、帰無仮説を棄却するかしないかの判断材料になるため、仮説検定で重要である。帰無仮説を検定するには、標本データのp値を求め、結果をグラフにする。棄却の判断では、次の2つの基準を覚えておく：
  1. α > p-value, reject the null hypothesis
    α > p値なら、帰無仮説を棄却する。
  2. α ≤ p-value, do not reject the null hypothesis
    α ≤ p値なら、帰無仮説を棄却しない。
Exercises 43–51練習問題 43–51
Exercise 43問題 43
When do you reject the null hypothesis?
どのようなときに帰無仮説を棄却するか。
Exercise 44問題 44
The probability of winning the grand prize at a particular carnival game is 0.005. Is the outcome of winning very likely or very unlikely?
ある祭りのゲームで特賞が当たる確率は0.005である。当たるという結果は、非常に起きやすいか、起きにくいか。
Solution解き方
The outcome of winning is very unlikely.
当たるという結果は非常に起きにくい。
Exercise 45問題 45
The probability of winning the grand prize at a particular carnival game is 0.005. Michele wins the grand prize. Is this considered a rare or common event? Why?
ある祭りのゲームで特賞が当たる確率は0.005である。ミシェルが特賞を当てた。これはまれな事象か、よくある事象か。理由も述べよ。
Exercise 46問題 46
It is believed that the mean height of high school students who play basketball on the school team is 73 inches with a standard deviation of 1.8 inches. A random sample of 40 players is chosen. The sample mean was 71 inches, and the sample standard deviation was 1.5 inches. Do the data support the claim that the mean height is less than 73 inches? The p-value is almost zero. State the null and alternative hypotheses and interpret the p-value.
高校のバスケットボール部員の平均身長は73インチ、標準偏差は1.8インチと考えられている。40人を無作為に選ぶと、標本平均は71インチ、標本標準偏差は1.5インチだった。データは、平均身長が73インチ未満という主張を支持するか。p値はほぼ0である。帰無仮説と対立仮説を示し、p値を解釈せよ。
Solution解き方
H0: μ > = 73
Ha: μ < 73
The p-value is almost zero, which means there is sufficient data to conclude that the mean height of high school students who play basketball on the school team is less than 73 inches at the 5% level. The data do support the claim.
H0：μ ≥ 73、Ha：μ < 73。p値はほぼ0なので、有意水準5%で、高校のバスケットボール部員の平均身長は73インチ未満と結論づける十分なデータがある。データは主張を支持している。
Exercise 47問題 47
The mean age of graduate students at a University is at most 31 y ears with a standard deviation of two years. A random sample of 15 graduate students is taken. The sample mean is 32 years and the sample standard deviation is three years. Are the data significant at the 1% level? The p-value is 0.0264. State the null and alternative hypotheses and interpret the p-value.
ある大学の大学院生の平均年齢は31歳以下、標準偏差は2歳である。15人の無作為標本を取ると、標本平均は32歳、標本標準偏差は3歳だった。このデータは有意水準1%で有意か。p値は0.0264である。帰無仮説と対立仮説を示し、p値を解釈せよ。
Exercise 48問題 48
Does the shaded region represent a low or a high p-value compared to a level of significance of 1%?
塗られた領域は、有意水準1%と比べて低いp値を表すか、高いp値を表すか。
15付近を頂点とする正規分布曲線で、ほぼ0のp値を示す。17より右の小さな裾の塗られた領域が、この非常に低いp値を表す。

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 9.3図 9.3
Solution解き方
The shaded region shows a low p-value.
塗られた領域は低いp値を示す。
Exercise 49問題 49
What should you do when α > p-value?
α > p値のとき、どうすべきか。
Exercise 50問題 50
What should you do if α = p-value?
α = p値の場合、どうすべきか。
Solution解き方
Do not reject H0.
H0を棄却しない。
Exercise 51問題 51
If you do not reject the null hypothesis, then it must be true. Is this statement correct? State why or why not in complete sentences.
「帰無仮説を棄却しないなら、それは真に違いない」。この主張は正しいか。その理由を完結した文で述べよ。
Exercises 52–59練習問題 52–59
Use the following information to answer the next seven exercises: Suppose that a recent article stated that the mean time spent in jail by a first-time convicted burglar is 2.5 years. A study was then done to see if the mean time has increased in the new century. A random sample of 26 first-time convicted burglars in a recent year was picked. The mean length of time in jail from the survey was three years with a standard deviation of 1.8 years. Suppose that it is somehow known that the population standard deviation is 1.5. Conduct a hypothesis test to determine if the mean length of jail time has increased. Assume the distribution of the jail times is approximately normal.
次の情報を使って、続く7問に答えよ。最近の記事で、侵入窃盗で初めて有罪となった人の平均収監期間は2.5年と報じられたとする。その後、新世紀に入って平均期間が延びたかを調べる研究が行われた。最近のある年に、初めて有罪となった侵入窃盗犯26人を無作為に選ぶと、平均収監期間は3年、標準偏差は1.8年だった。母標準偏差が1.5年と何らかの方法で分かっているとする。平均収監期間が延びたかを仮説検定せよ。収監期間の分布は近似的に正規分布と仮定する。
Exercise 52問題 52
Is this a test of means or proportions?
これは平均の検定か、比率の検定か。
Solution解き方
means
平均
Exercise 53問題 53
What symbol represents the random variable for this test?
この検定の確率変数を表す記号は何か。
Exercise 54問題 54
In words, define the random variable for this test.
この検定の確率変数を言葉で定義する。
Solution解き方
the mean time spent in jail for 26 first time convicted burglars
初めて有罪となった侵入窃盗犯26人の平均収監期間。
Exercise 55問題 55
Is σ known and, if so, what is it?
σは既知か。既知なら、値はいくらか。
Exercise 56問題 56
Calculate the following:
次の値を求める：
  1. x ¯ _______
  2. σ _______
  3. sx _______
  4. n _______
Solution解き方
  1. 3
  2. 1.5
  3. 1.8
  4. 26
Exercise 57問題 57
Since both σ and s x are given, which should be used? In one to two complete sentences, explain why.
σと s x の両方が与えられているが、どちらを使うべきか。理由を1～2個の完結した文で説明せよ。
Exercise 58問題 58
State the distribution to use for the hypothesis test.
仮説検定に使う分布を示す。
Solution解き方
X ¯ ~N( 2.5, 1.5 26 )
Exercise 59問題 59
A random survey of 75 student loan recipients revealed that the mean length of time in repayment is 17.4 years with a standard deviation of 6.3 years. Conduct a hypothesis test to determine if the population mean time in repayment could likely be 15 years.
学生ローン利用者75人を無作為に調べると、平均返済期間は17.4年、標準偏差は6.3年だった。母平均返済期間が15年である可能性を調べる仮説検定を行え。
  1. Is this a test of one mean or proportion?
    これは1つの平均の検定か、比率の検定か。
  2. State the null and alternative hypotheses.
    H0: ____________________ Ha : ____________________
    帰無仮説と対立仮説を示せ。H0：____________________。Ha：____________________。
  3. Is this a right-tailed, left-tailed, or two-tailed test?
    これは右片側検定、左片側検定、両側検定のどれか。
  4. What symbol represents the random variable for this test?
    この検定の確率変数を表す記号は何か。
  5. In words, define the random variable for this test.
    この検定の確率変数を言葉で定義する。
  6. Is the population standard deviation known and, if so, what is it?
    母標準偏差は既知か。既知なら、その値はいくらか。
  7. Calculate the following:
    次の値を求める：
    1. x ¯ = _____________
    2. s = ____________
    3. n = ____________
  8. Which test should be used?
    どの検定を使うべきか。
  9. State the distribution to use for the hypothesis test.
    仮説検定に使う分布を示す。
  10. Find the p-value.
    p値を求める。
  11. At a pre-conceived α = 0.05, what is your:
    あらかじめα = 0.05と定めた場合、次の各項目を答える：
    1. Decision:
      判断：
    2. Reason for the decision:
      判断の理由：
    3. Conclusion (write out in a complete sentence):
      結論（完全な文で書く）：