第9章1標本による仮説検定

9.3 Probability Distribution Needed for Hypothesis Testing9.3　仮説検定に必要な確率分布

Earlier in the course, we discussed sampling distributions. Particular distributions are associated with various types of hypothesis testing.

これまでに標本分布を学んだ。さまざまな種類の仮説検定には、それぞれ特定の分布が対応する。

The following table summarizes various hypothesis tests and corresponding probability distributions that will be used to conduct the test (based on the assumptions shown below):

次の表は、さまざまな仮説検定と、検定に使う対応する確率分布をまとめたものである（以下に示す仮定に基づく）：

Table 9.4表 9.4
Type of Hypothesis Test 仮説検定の種類	Population Parameter 母数	Estimated value (point estimate) 推定値（点推定値）	Probability Distribution Used 使う確率分布
Hypothesis test for the mean, when the population standard deviation is known 母標準偏差が既知の場合の平均の仮説検定	Population mean $μ$ 母平均 $μ$	Sample mean $\bar{x}$ 標本平均 $\bar{x}$	Normal distribution, $\bar{X} ~ N (μ_{X}, \frac{σ_{X}}{\sqrt{n}})$ 正規分布、 $\bar{X} ~ N (μ_{X}, \frac{σ_{X}}{\sqrt{n}})$
Hypothesis test for the mean, when the population standard deviation is unknown and the distribution of the sample mean is approximately normal 母標準偏差が未知で、標本平均の分布が近似的に正規分布である場合の、平均の仮説検定	Population mean $μ$ 母平均 $μ$	Sample mean $\bar{x}$ 標本平均 $\bar{x}$	Student’s t-distribution, ${t_{d}}_{f}$ スチューデントのt分布、 ${t_{d}}_{f}$
Hypothesis test for proportions 比率の仮説検定	Population proportion $p$ 母比率 $p$	Sample proportion $p'$ 標本比率 $p'$	Normal distribution, $P' ~ N (p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}})$ 正規分布、 $P' ~ N (p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}})$

Assumptions仮定

When you perform a hypothesis test of a single population mean μ using a normal distribution (often called a z-test), you take a simple random sample from the population. The population you are testing is normally distributed, or your sample size is sufficiently large. You know the value of the population standard deviation, which, in reality, is rarely known.

正規分布を用いて1つの母平均μの仮説検定を行うとき（一般にz検定と呼ぶ）、母集団から単純無作為標本を取る。検定対象の母集団は正規分布に従うか、標本が十分大きい必要がある。また、母標準偏差の値が既知である必要があるが、実際にはそれが分かることはめったにない。

When you perform a hypothesis test of a single population mean μ using a Student's t-distribution (often called a t-test), there are fundamental assumptions that need to be met in order for the test to work properly. Your data should be a simple random sample that comes from a population that is approximately normally distributed. You use the sample standard deviation to approximate the population standard deviation. (Note that if the sample size is sufficiently large, a t-test will work even if the population is not approximately normally distributed).

英語のヒント

スチューデントのt分布を用いて1つの母平均μの仮説検定を行うとき（一般にt検定と呼ぶ）、正しく機能させるために満たすべき基本的な仮定がある。データは、近似的に正規分布に従う母集団からの単純無作為標本であるべきである。母標準偏差は標本標準偏差で近似する。（標本が十分大きい場合、母集団が近似的に正規分布でなくてもt検定は機能する。）

When you perform a hypothesis test of a single population proportion p, you take a simple random sample from the population. You must meet the conditions for a binomial distribution: there are a certain number n of independent trials, the outcomes of any trial are success or failure, and each trial has the same probability of a success p. The shape of the binomial distribution needs to be similar to the shape of the normal distribution. To ensure this, the quantities np and nq must both be greater than five (

n p > 5

and

n q > 5

). Then the binomial distribution of a sample (estimated) proportion can be approximated by the normal distribution with

μ = p

and

σ = \sqrt{\frac{p q}{n}}

. Remember that

q = 1 - p

1つの母比率pの仮説検定を行うときは、母集団から単純無作為標本を取る。二項分布の条件を満たさなければならない。すなわち、一定回数nの独立な試行があり、各試行の結果は成功か失敗で、どの試行も同じ成功確率pを持つ。二項分布の形は正規分布の形に近い必要がある。そのために、npとnqは両方とも5より大きくなければならない（

n p > 5

、

n q > 5

）。このとき、標本比率（推定比率）の二項分布は、

μ = p

、

σ = \sqrt{\frac{p q}{n}}

の正規分布で近似できる。

q = 1 - p

であることを思い出そう。

Chapter Review章の復習

In order for a hypothesis test’s results to be generalized to a population, certain requirements must be satisfied.

英語のヒント

仮説検定の結果を母集団に一般化するには、一定の要件を満たさなければならない。

When testing for a single population mean:

1つの母平均を検定する場合：

A Student's t-test should be used if the data come from a simple, random sample and the population is approximately normally distributed, or the sample size is large, with an unknown standard deviation.
データが単純無作為標本から得られ、母集団が近似的に正規分布であるか、標本が大きい場合で、母標準偏差が未知なら、スチューデントのt検定を使う。
The normal test will work if the data come from a simple, random sample and the population is approximately normally distributed, or the sample size is large, with a known standard deviation.
データが単純無作為標本から得られ、母集団が近似的に正規分布であるか、標本が大きい場合で、母標準偏差が既知なら、正規分布による検定を使える。

When testing a single population proportion use a normal test for a single population proportion if the data comes from a simple, random sample, fill the requirements for a binomial distribution, and the mean number of successes and the mean number of failures satisfy the conditions: np > 5 and nq > 5 where n is the sample size, p is the probability of a success, and q is the probability of a failure.

1つの母比率を検定する場合、データが単純無作為標本から得られ、二項分布の要件を満たし、成功回数と失敗回数の平均がnp > 5かつnq > 5を満たすなら、正規分布による検定を使う。nは標本の大きさ、pは成功の確率、qは失敗の確率である。

Formula Review公式の復習

If there is no given preconceived α, then use α = 0.05.

あらかじめ定めたαが指定されていなければ、α = 0.05を使う。

Types of Hypothesis Tests仮説検定の種類

Single population mean, known population variance (or standard deviation): Normal test.
1つの母平均、母分散（または母標準偏差）が既知：正規分布による検定。
Single population mean, unknown population variance (or standard deviation): Student's t-test.
1つの母平均、母分散（または母標準偏差）が未知：スチューデントのt検定。
Single population proportion: Normal test.
1つの母比率：正規分布による検定。
For a single population mean, we may use a normal distribution with the following mean and standard deviation. Means: $μ = μ_{\bar{x}}$ and $σ_{\bar{x}} = \frac{σ_{x}}{\sqrt{n}}$
1つの母平均には、次の平均と標準偏差を持つ正規分布を使える。平均の場合： $μ = μ_{\bar{x}}$ 、 $σ_{\bar{x}} = \frac{σ_{x}}{\sqrt{n}}$ 。
A single population proportion, we may use a normal distribution with the following mean and standard deviation. Proportions: µ = p and $σ = \sqrt{\frac{p q}{n}}$ .
1つの母比率には、次の平均と標準偏差を持つ正規分布を使える。比率の場合：μ = p、 $σ = \sqrt{\frac{p q}{n}}$ 。

Exercises 31–41練習問題 31–41

Exercise 31問題 31

Which two distributions can you use for hypothesis testing for this chapter?

この章の仮説検定では、どの2つの分布を使えるか。

Solution解き方

A normal distribution or a Student’s t-distribution

正規分布またはスチューデントのt分布。

Exercise 32問題 32

Which distribution do you use when you are testing a population mean and the population standard deviation is known? Assume a normal distribution, with n ≥ 30.

母平均を検定し、母標準偏差が既知の場合、どの分布を使うか。正規分布を仮定し、n ≥ 30とする。

Exercise 33問題 33

Which distribution do you use when the standard deviation is not known and you are testing one population mean? Assume sample size is large.

標準偏差が未知で、1つの母平均を検定する場合、どの分布を使うか。標本は大きいとする。

Solution解き方

Use a Student’s t-distribution

スチューデントのt分布を使う。

Exercise 34問題 34

A population mean is 13. The sample mean is 12.8, and the sample standard deviation is two. The sample size is 20. What distribution should you use to perform a hypothesis test? Assume the underlying population is normal.

母平均は13である。標本平均は12.8、標本標準偏差は2、標本の大きさは20である。仮説検定にどの分布を使うべきか。背景の母集団は正規分布と仮定する。

Exercise 35問題 35

A population has a mean of 25 and a standard deviation of five. The sample mean is 24, and the sample size is 108. What distribution should you use to perform a hypothesis test?

母集団の平均は25、標準偏差は5である。標本平均は24、標本の大きさは108である。仮説検定にどの分布を使うべきか。

Solution解き方

a normal distribution for a single population mean

1つの母平均に対する正規分布。

Exercise 36問題 36

It is thought that 42% of respondents in a taste test would prefer Brand A. In a particular test of 100 people, 39% preferred Brand A. What distribution should you use to perform a hypothesis test?

味の比較試験では、回答者の42%が銘柄Aを好むと考えられている。ある100人の試験では、39%がAを好んだ。仮説検定にどの分布を使うべきか。

Exercise 37問題 37

You are performing a hypothesis test of a single population mean using a Student’s t-distribution. What must you assume about the distribution of the data?

スチューデントのt分布を使って1つの母平均を仮説検定している。データの分布について、どのような仮定が必要か。

Solution解き方

It must be approximately normally distributed.

近似的に正規分布に従っていなければならない。

Exercise 38問題 38

You are performing a hypothesis test of a single population mean using a Student’s t-distribution. The data are not from a simple random sample. Can you accurately perform the hypothesis test?

スチューデントのt分布を使って1つの母平均を仮説検定している。データは単純無作為標本から得たものではない。正確に仮説検定を行えるか。

Exercise 39問題 39

You are performing a hypothesis test of a single population proportion. What must be true about the quantities of np and nq?

1つの母比率を仮説検定している。npとnqの値は、何を満たさなければならないか。

Solution解き方

They must both be greater than five.

両方とも5より大きくなければならない。

Exercise 40問題 40

You are performing a hypothesis test of a single population proportion. You find out that np is less than five. What must you do to be able to perform a valid hypothesis test?

1つの母比率を仮説検定している。npが5未満だと分かった。妥当な仮説検定を行うには、何をすべきか。

Exercise 41問題 41

You are performing a hypothesis test of a single population proportion. The data come from which distribution?

1つの母比率を仮説検定している。データはどの分布から得られるか。

Solution解き方

binomial distribution

二項分布。

第9章1標本による仮説検定

9.3 Probability Distribution Needed for Hypothesis Testing9.3 仮説検定に必要な確率分布

Assumptions仮定

Chapter Review章の復習

Formula Review公式の復習

Types of Hypothesis Tests仮説検定の種類

9.3 Probability Distribution Needed for Hypothesis Testing9.3　仮説検定に必要な確率分布