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第9章1標本による仮説検定

Chapter Review章の復習

In every hypothesis test, the outcomes are dependent on a correct interpretation of the data. Incorrect calculations or misunderstood summary statistics can yield errors that affect the results. A Type I error occurs when a true null hypothesis is rejected. A Type II error occurs when a false null hypothesis is not rejected.
どの仮説検定でも、結果はデータの正しい解釈に依存する。誤った計算や要約統計量の誤解は、結果に影響する過誤を生みうる。真の帰無仮説を棄却すると、第1種の過誤が起きる。偽の帰無仮説を棄却しないと、第2種の過誤が起きる。
The probabilities of these errors are denoted by the Greek letters α and β, for a Type I and a Type II error respectively. The power of the test, 1 – β, quantifies the likelihood that a test will yield the correct result of a true alternative hypothesis being accepted. A high power is desirable.
英語のヒント
これらの過誤の確率は、第1種をα、第2種をβというギリシャ文字で表す。検出力1 − βは、真の対立仮説を受け入れるという正しい結果が検定から得られる確率を数量化したものである。検出力は高いほうが望ましい。

Formula Review公式の復習

α = probability of a Type I error = P(Type I error) = probability of rejecting the null hypothesis when the null hypothesis is true.
α = 第1種の過誤の確率 = P(第1種の過誤) = 帰無仮説が真のときに、それを棄却する確率。
β = probability of a Type II error = P(Type II error) = probability of not rejecting the null hypothesis when the null hypothesis is false.
β = 第2種の過誤の確率 = P(第2種の過誤) = 帰無仮説が偽のときに、それを棄却しない確率。
Exercises 15–24練習問題 15–24
Exercise 15問題 15
The mean price of mid-sized cars in a region is $32,000. A test is conducted to see if the claim is true. State the Type I and Type II errors in complete sentences.
ある地域の中型車の平均価格は32,000ドルである。この主張が正しいかを検定する。第1種と第2種の過誤を、完結した文で示せ。
Solution解き方
Type I: The mean price of mid-sized cars is $32,000, but we conclude that it is not $32,000.
第1種：中型車の平均価格は32,000ドルなのに、32,000ドルではないと結論づける。
Type II: The mean price of mid-sized cars is not $32,000, but we conclude that it is $32,000.
第2種：中型車の平均価格は32,000ドルではないのに、32,000ドルだと結論づける。
Exercise 16問題 16
A sleeping bag is tested to withstand temperatures of –15 °F. You think the bag cannot stand temperatures that low. State the Type I and Type II errors in complete sentences.
英語のヒント
寝袋が華氏−15度に耐えられるか試験される。あなたは、その低温には耐えられないと考えている。第1種と第2種の過誤を、完結した文で示せ。
Exercise 17問題 17
For Exercise 9.12, what are α and β in words?
問題9.12のαとβを言葉で表せ。
Solution解き方
α = the probability that you think the bag cannot withstand -15 degrees F, when in fact it can
α = 実際には華氏−15度に耐えられるのに、寝袋は耐えられないと考える確率。
β = the probability that you think the bag can withstand -15 degrees F, when in fact it cannot
β = 実際には華氏−15度に耐えられないのに、寝袋は耐えられると考える確率。
Exercise 18問題 18
In words, describe 1 – β For Exercise 9.12.
問題9.12の1 − βを言葉で説明せよ。
Exercise 19問題 19
A group of doctors is deciding whether or not to perform an operation. Suppose the null hypothesis, H0, is: the surgical procedure will go well. State the Type I and Type II errors in complete sentences.
医師たちが手術を行うかどうか判断している。帰無仮説H0を「手術はうまくいく」とする。第1種と第2種の過誤を、完結した文で示せ。
Solution解き方
Type I: The procedure will go well, but the doctors think it will not.
第1種：手術はうまくいくのに、医師たちはうまくいかないと考える。
Type II: The procedure will not go well, but the doctors think it will.
第2種：手術はうまくいかないのに、医師たちはうまくいくと考える。
Exercise 20問題 20
A group of doctors is deciding whether or not to perform an operation. Suppose the null hypothesis, H0, is: the surgical procedure will go well. Which is the error with the greater consequence?
医師たちが手術を行うかどうか判断している。帰無仮説H0を「手術はうまくいく」とする。より重大な結果を招くのは、どちらの過誤か。
Exercise 21問題 21
The power of a test is 0.981. What is the probability of a Type II error?
検出力が0.981である。第2種の過誤の確率はいくらか。
Solution解き方
0.019
Exercise 22問題 22
A group of divers is exploring an old sunken ship. Suppose the null hypothesis, H0, is: the sunken ship does not contain buried treasure. State the Type I and Type II errors in complete sentences.
英語のヒント
潜水士たちが古い沈没船を探検している。帰無仮説H0を「沈没船には隠された財宝がない」とする。第1種と第2種の過誤を、完結した文で示せ。
Exercise 23問題 23
A microbiologist is testing a water sample for E-coli. Suppose the null hypothesis, H0, is: the sample does not contain E-coli. The probability that the sample does not contain E-coli, but the microbiologist thinks it does is 0.012. The probability that the sample does contain E-coli, but the microbiologist thinks it does not is 0.002. What is the power of this test?
微生物学者が、水の試料に大腸菌がいるかを検査している。帰無仮説H0を「試料に大腸菌はいない」とする。大腸菌はいないのに、いると考える確率は0.012である。大腸菌がいるのに、いないと考える確率は0.002である。この検定の検出力はいくらか。
Solution解き方
0.998
Exercise 24問題 24
A microbiologist is testing a water sample for E-coli. Suppose the null hypothesis, H0, is: the sample contains E-coli. Which is the error with the greater consequence?
微生物学者が、水の試料に大腸菌がいるかを検査している。帰無仮説H0を「試料には大腸菌がいる」とする。より重大な結果を招くのは、どちらの過誤か。

Homework宿題

Exercises 25–30練習問題 25–30
Exercise 25問題 25
State the Type I and Type II errors in complete sentences given the following statements.
次の主張について、第1種と第2種の過誤を完結した文で示せ。
  1. The mean number of years Americans work before retiring is 34.
    米国人が退職前に働く年数の平均は34年である。
  2. At most 60% of Americans vote in presidential elections.
    大統領選挙に投票する米国人は60%以下である。
  3. The mean starting salary for San Jose State University graduates is at least $100,000 per year.
    サンノゼ州立大学の卒業生の平均初任給は年額10万ドル以上である。
  4. Twenty-nine percent of high school seniors get drunk each month.
    高校最終学年の生徒の29%が毎月酔っぱらう。
  5. Fewer than 5% of adults ride the bus to work in Los Angeles.
    ロサンゼルスでは、バスで通勤する成人は5%未満である。
  6. The mean number of cars a person owns in their lifetime is not more than ten.
    1人が生涯に所有する車の平均台数は10台以下である。
  7. About half of Americans prefer to live away from cities, given the choice.
    英語のヒント
    選べるなら、米国人の約半数は都市から離れて暮らしたいと考えている。
  8. Europeans have a mean paid vacation each year of six weeks.
    ヨーロッパ人の年間有給休暇は平均6週間である。
  9. The chance of developing breast cancer is under 11% for females.
    女性が乳がんになる確率は11%未満である。
  10. Private universities mean tuition cost is more than $20,000 per year.
    私立大学の平均授業料は年額2万ドルを超える。
Solution解き方
  1. Type I error: We conclude that the mean is not 34 years, when it really is 34 years. Type II error: We conclude that the mean is 34 years, when in fact it really is not 34 years.
    第1種の過誤：実際の平均は34年なのに、34年ではないと結論づける。第2種の過誤：実際の平均は34年ではないのに、34年だと結論づける。
  2. Type I error: We conclude that more than 60% of Americans vote in presidential elections, when the actual percentage is at most 60%.Type II error: We conclude that at most 60% of Americans vote in presidential elections when, in fact, more than 60% do.
    第1種の過誤：実際の割合は60%以下なのに、大統領選挙に投票する米国人は60%を超えると結論づける。第2種の過誤：実際には60%を超えるのに、投票する米国人は60%以下だと結論づける。
  3. Type I error: We conclude that the mean starting salary is less than $100,000, when it really is at least $100,000. Type II error: We conclude that the mean starting salary is at least $100,000 when, in fact, it is less than $100,000.
    第1種の過誤：実際の平均初任給は10万ドル以上なのに、10万ドル未満だと結論づける。第2種の過誤：実際は10万ドル未満なのに、平均初任給は10万ドル以上だと結論づける。
  4. Type I error: We conclude that the proportion of high school seniors who get drunk each month is not 29%, when it really is 29%. Type II error: We conclude that the proportion of high school seniors who get drunk each month is 29% when, in fact, it is not 29%.
    第1種の過誤：毎月酔っぱらう高校最終学年の生徒の比率は実際には29%なのに、29%ではないと結論づける。第2種の過誤：実際には29%ではないのに、その比率は29%だと結論づける。
  5. Type I error: We conclude that fewer than 5% of adults ride the bus to work in Los Angeles, when the percentage that do is really 5% or more. Type II error: We conclude that 5% or more adults ride the bus to work in Los Angeles when, in fact, fewer that 5% do.
    第1種の過誤：ロサンゼルスでバス通勤する成人は実際には5%以上なのに、5%未満だと結論づける。第2種の過誤：実際には5%未満なのに、バス通勤する成人は5%以上だと結論づける。
  6. Type I error: We conclude that the mean number of cars a person owns in their lifetime is more than 10, when in reality it is not more than 10. Type II error: We conclude that the mean number of cars a person owns in their lifetime is not more than 10 when, in fact, it is more than 10.
    第1種の過誤：1人が生涯に所有する車の平均台数は実際には10台以下なのに、10台を超えると結論づける。第2種の過誤：実際には10台を超えるのに、平均台数は10台以下だと結論づける。
  7. Type I error: We conclude that the proportion of Americans who prefer to live away from cities is not about half, though the actual proportion is about half. Type II error: We conclude that the proportion of Americans who prefer to live away from cities is half when, in fact, it is not half.
    第1種の過誤：都市から離れて暮らしたい米国人の比率は実際には約半数なのに、約半数ではないと結論づける。第2種の過誤：実際には半数ではないのに、その比率は半数だと結論づける。
  8. Type I error: We conclude that the duration of paid vacations each year for Europeans is not six weeks, when in fact it is six weeks. Type II error: We conclude that the duration of paid vacations each year for Europeans is six weeks when, in fact, it is not.
    第1種の過誤：ヨーロッパ人の年間有給休暇は実際には6週間なのに、6週間ではないと結論づける。第2種の過誤：実際には6週間ではないのに、年間有給休暇は6週間だと結論づける。
  9. Type I error: We conclude that the proportion is less than 11%, when it is really at least 11%. Type II error: We conclude that the proportion of females who develop breast cancer is at least 11%, when in fact it is less than 11%.
    第1種の過誤：実際の比率は11%以上なのに、11%未満だと結論づける。第2種の過誤：実際は11%未満なのに、乳がんになる女性の比率は11%以上だと結論づける。
  10. Type I error: We conclude that the average tuition cost at private universities is more than $20,000, though in reality it is at most $20,000. Type II error: We conclude that the average tuition cost at private universities is at most $20,000 when, in fact, it is more than $20,000.
    第1種の過誤：私立大学の平均授業料は実際には2万ドル以下なのに、2万ドルを超えると結論づける。第2種の過誤：実際には2万ドルを超えるのに、平均授業料は2万ドル以下だと結論づける。
Exercise 26問題 26
For statements a-j in Exercise 9.66, answer the following in complete sentences.
問題9.66のa～jの主張について、次に完結した文で答えよ。
  1. State a consequence of committing a Type I error.
    第1種の過誤を犯した場合の結果を1つ述べよ。
  2. State a consequence of committing a Type II error.
    第2種の過誤を犯した場合の結果を1つ述べよ。
Exercise 27問題 27
When a new drug is created, the pharmaceutical company must subject it to testing before receiving the necessary permission from the Food and Drug Administration (FDA) to market the drug. Suppose the null hypothesis is “the drug is unsafe.” What is the Type II Error?
英語のヒント
新薬を開発した製薬会社は、販売に必要な食品医薬品局（FDA）の許可を得る前に、薬を試験にかけなければならない。帰無仮説を「薬は安全ではない」とする。第2種の過誤は何か。
  1. To conclude the drug is safe when in, fact, it is unsafe.
    実際には安全でないのに、薬は安全だと結論づける。
  2. Not to conclude the drug is safe when, in fact, it is safe.
    実際には安全なのに、薬は安全だと結論づけない。
  3. To conclude the drug is safe when, in fact, it is safe.
    実際に安全なときに、薬は安全だと結論づける。
  4. Not to conclude the drug is unsafe when, in fact, it is unsafe.
    実際には安全でないのに、薬は安全でないと結論づけない。
Solution解き方
b
Exercise 28問題 28
A statistics instructor believes that fewer than 20% of Evergreen Valley College (EVC) students attended the opening midnight showing of the latest Marvel Universe movie. The instructor surveys 84 students and finds that 11 of them attended the midnight showing. The Type I error is to conclude that the percent of EVC students who attended is ________.
統計学の教員は、エバーグリーン・バレー・カレッジ（EVC）の学生のうち、マーベル最新作の公開時の深夜上映に行った人は20%未満と考えている。84人を調査すると、11人が行っていた。第1種の過誤とは、上映に行った同校の学生の割合が________と結論づけることである。
  1. at least 20%, when in fact, it is less than 20%.
    実際には20%未満なのに、20%以上である。
  2. 20%, when in fact, it is 20%.
    実際に20%であるときに、20%である。
  3. less than 20%, when in fact, it is at least 20%.
    実際には20%以上なのに、20%未満である。
  4. less than 20%, when in fact, it is less than 20%.
    実際に20%未満であるときに、20%未満である。
Exercise 29問題 29
It is believed that Lake Tahoe Community College (LTCC) Intermediate Algebra students get less than seven hours of sleep per night, on average. A survey of 22 LTCC Intermediate Algebra students generated a mean of 7.24 hours with a standard deviation of 1.93 hours. At a level of significance of 5%, do LTCC Intermediate Algebra students get less than seven hours of sleep per night, on average?
レイクタホ・コミュニティ・カレッジ（LTCC）の中級代数の学生は、1晩の平均睡眠時間が7時間未満だと考えられている。22人を調べると平均は7.24時間、標準偏差は1.93時間だった。有意水準5%で、同校の中級代数の学生の平均睡眠時間は7時間未満といえるか。
The Type II error is not to reject that the mean number of hours of sleep LTCC students get per night is at least seven when, in fact, the mean number of hours
第2種の過誤とは、LTCCの学生の1晩の平均睡眠時間は7時間以上という主張を、実際の平均睡眠時間が次の状態なのに棄却しないことである：
  1. is more than seven hours.
    7時間を超える。
  2. is at most seven hours.
    7時間以下である。
  3. is at least seven hours.
    7時間以上である。
  4. is less than seven hours.
    7時間未満である。
Solution解き方
d
Exercise 30問題 30
Previously, an organization reported that teenagers spent 4.5 hours per week, on average, on the phone. The organization thinks that, currently, the mean is higher. Fifteen randomly chosen teenagers were asked how many hours per week they spend on the phone. The sample mean was 4.75 hours with a sample standard deviation of 2.0. Conduct a hypothesis test, the Type I error is:
ある団体は以前、十代の人の電話の利用時間は週平均4.5時間だと報告した。現在は平均がそれより高いと考えている。無作為に選んだ15人に週何時間電話を使うかを尋ねると、標本平均は4.75時間、標本標準偏差は2.0だった。仮説検定を行え。第1種の過誤は：
  1. to conclude that the current mean hours per week is higher than 4.5, when in fact, it is higher
    実際に4.5時間より長いとき、現在の週平均利用時間は4.5時間より長いと結論づける。
  2. to conclude that the current mean hours per week is higher than 4.5, when in fact, it is the same
    実際には変わらないのに、現在の週平均利用時間は4.5時間より長いと結論づける。
  3. to conclude that the mean hours per week currently is 4.5, when in fact, it is higher
    実際には長くなっているのに、現在の週平均利用時間は4.5時間だと結論づける。
  4. to conclude that the mean hours per week currently is no higher than 4.5, when in fact, it is not higher
    実際に長くなっていないとき、現在の週平均利用時間は4.5時間以下だと結論づける。
Type I Error
第1種の過誤
The decision is to reject the null hypothesis when, in fact, the null hypothesis is true.
実際には帰無仮説が真であるのに、それを棄却すると判断すること。
Type II Error
第2種の過誤
The decision is not to reject the null hypothesis when, in fact, the null hypothesis is false.
実際には帰無仮説が偽であるのに、それを棄却しないと判断すること。