プリンキピア

第9章1標本による仮説検定

Exercises 107–116練習問題 107–116
Instructions: For the following ten exercises,
Hypothesis testing: For the following ten exercises, answer each question.
指示：以下の10問について。仮説検定：以下の10問では、それぞれの問いに答えよ。
  1. State the null and alternate hypothesis.
    帰無仮説と対立仮説を述べよ。
  2. State the p-value.
    p値を述べよ。
  3. State alpha.
    αを述べよ。
  4. What is your decision?
    どのように判断するか。
  5. Write a conclusion.
    結論を書け。
  6. Answer any other questions asked in the problem.
    問題文にあるほかの問いにも答えよ。
Exercise 107問題 107
According to the Center for Disease Control website, in 2022 at least 2% of high school students reported they had smoked a cigarette. An Introduction to Statistics class conducted a hypothesis test at the local high school (a medium sized–approximately 1,200 students–small city demographic) to determine if the local high school’s percentage was lower. One hundred fifty students were chosen at random and surveyed. Of the 150 students surveyed, 82 have smoked. Use a significance level of 0.05 and using appropriate statistical evidence, conduct a hypothesis test and state the conclusions.
米国疾病予防管理センターのウェブサイトによると、2022年には高校生の少なくとも2%がたばこを吸ったことがあると答えた。「統計学入門」のクラスが、地元の高校（小都市にある生徒約1,200人の中規模校）の割合はそれより低いかどうかを調べる仮説検定を行った。生徒150人を無作為に選んで調査すると、82人が喫煙経験を持っていた。有意水準0.05で、適切な統計的証拠を用いて仮説検定を行い、結論を述べよ。
Exercise 108問題 108
A recent survey in the N.Y. Times Almanac indicated that 48.8% of families own stock. A broker wanted to determine if this survey could be valid. They surveyed a random sample of 250 families and found that 142 owned some type of stock. At the 0.05 significance level, can the survey be considered to be accurate?
英語のヒント
『ニューヨーク・タイムズ年鑑』の最近の調査によると、48.8%の世帯が株式を所有している。ある証券仲介業者は、この調査が妥当かどうかを確かめたかった。250世帯の無作為標本を調査すると、142世帯が何らかの株式を所有していた。有意水準0.05で、この調査は正確だと考えてよいか。
Solution解き方
  1. H0: p = 0.488 Ha: p ≠ 0.488
  2. p-value = 0.0114
    p値 = 0.0114
  3. alpha = 0.05
    α = 0.05
  4. Reject the null hypothesis.
    帰無仮説を棄却する。
  5. There is enough evidence to conclude that the percent of families owning stocks is not 48.8%.
    株式を所有する世帯の割合は48.8%ではないと結論づける十分な証拠がある。
  6. The survey does not appear to be accurate.
    調査は正確ではないようだ。
Exercise 109問題 109
Driver error can be listed as the cause of approximately 54% of all fatal auto accidents, according to the American Automobile Association. Thirty randomly selected fatal accidents are examined, and it is determined that 14 were caused by driver error. Using α = 0.05, is the AAA proportion accurate?
英語のヒント
米国自動車協会によると、すべての死亡自動車事故の約54%は運転者のミスが原因とされる。無作為に選んだ死亡事故30件を調べると、14件が運転者のミスによるものだった。α = 0.05として、同協会の割合は正確か。
Exercise 110問題 110
The US Department of Energy reported that 51.7% of homes were heated by natural gas. A random sample of 221 homes in Kentucky found that 115 were heated by natural gas. Does the evidence support the claim for Kentucky at the α = 0.05 level in Kentucky? Are the results applicable across the country? Why?
英語のヒント
米国エネルギー省は、住宅の51.7%が天然ガスで暖房されていると報告した。ケンタッキー州の住宅221軒の無作為標本では、115軒が天然ガスで暖房されていた。α = 0.05の水準で、州内の証拠はケンタッキー州についてこの主張を支持するか。結果を全国に当てはめられるか。理由も述べよ。
Solution解き方
  1. H0: p = 0.517 Ha: p ≠ 0.517
  2. p-value = 0.9203.
    p値 = 0.9203。
  3. alpha = 0.05.
    α = 0.05。
  4. Do not reject the null hypothesis.
    帰無仮説を棄却しない。
  5. At the 5% significance level, there is not enough evidence to conclude that the proportion of homes in Kentucky that are heated by natural gas is different from the proportion of homes heated by natural gas across the country.
    有意水準5%では、ケンタッキー州で天然ガスを暖房に使う住宅の割合は全国の割合と異なると結論づける証拠は不十分である。
  6. However, we cannot generalize this result to the entire nation. First, the sample’s population is only the state of Kentucky. Second, it is reasonable to assume that homes in the extreme north and south will have extreme high usage and low usage, respectively. We would need to expand our sample base to include these possibilities if we wanted to generalize this claim to the entire nation.
    しかし、この結果を全国に一般化することはできない。第一に、標本の母集団はケンタッキー州だけである。第二に、最北部と最南部の住宅では、それぞれ使用量が極端に多い場合と少ない場合があると考えるのが妥当である。この主張を全国に一般化したければ、そうした可能性も含むよう標本の範囲を広げる必要がある。
Exercise 111問題 111
For Americans using library services, the American Library Association claims that at most 67% of patrons borrow books. The library director in Owensboro, Kentucky feels this is not true, so they asked a local college statistic class to conduct a survey. The class randomly selected 100 patrons and found that 82 borrowed books. Did the class demonstrate that the percentage was higher in Owensboro, KY? Use α = 0.01 level of significance. What is the possible proportion of patrons that do borrow books from the Owensboro Library?
英語のヒント
米国図書館協会は、図書館サービスを利用する米国人のうち、本を借りるのは多くても67%だと主張している。ケンタッキー州オーエンズボロの図書館長はこれを正しくないと感じ、地元の大学の統計学クラスに調査を依頼した。クラスは利用者100人を無作為に選び、82人が本を借りていたと確認した。オーエンズボロでは割合がより高いことを示せたか。有意水準α = 0.01を使え。同図書館で本を借りる利用者の割合として、どのような値が考えられるか。
Exercise 112問題 112
The Weather Underground reported that the mean amount of summer rainfall for the northeastern US is at least 11.52 inches. Ten cities in the northeast are randomly selected and the mean rainfall amount is calculated to be 7.42 inches with a standard deviation of 1.3 inches. At the α = 0.05 level, can it be concluded that the mean rainfall was below the reported average? What if α = 0.01? Assume the amount of summer rainfall follows a normal distribution.
ウェザー・アンダーグラウンドは、米国北東部の夏の平均降水量は少なくとも11.52インチだと報じた。北東部の10都市を無作為に選ぶと、平均降水量は7.42インチ、標準偏差は1.3インチだった。α = 0.05の水準で、平均降水量は報告された平均値より低かったと結論づけられるか。α = 0.01ならどうか。夏の降水量は正規分布に従うと仮定せよ。
Solution解き方
  1. H0: µ ≥ 11.52 Ha: µ < 11.52
  2. p-value = 0.000002 which is almost 0.
    p値 = 0.000002で、ほぼ0である。
  3. alpha = 0.05.
    α = 0.05。
  4. Reject the null hypothesis.
    帰無仮説を棄却する。
  5. At the 5% significance level, there is enough evidence to conclude that the mean amount of summer rain in the northeaster US is less than 11.52 inches, on average.
    有意水準5%では、米国北東部の夏の平均降水量は11.52インチ未満であると結論づける十分な証拠がある。
  6. We would make the same conclusion if alpha was 1% because the p-value is almost 0.
    p値はほぼ0なので、αが1%でも同じ結論になる。
Exercise 113問題 113
A survey in the N.Y. Times Almanac finds the mean commute time (one way) is 25.4 minutes for the 15 largest US cities. The Austin, TX chamber of commerce feels that Austin’s commute time is less and wants to publicize this fact. The mean for 25 randomly selected commuters is 22.1 minutes with a standard deviation of 5.3 minutes. At the α = 0.10 level, is the Austin, TX commute significantly less than the mean commute time for the 15 largest US cities?
英語のヒント
『ニューヨーク・タイムズ年鑑』の調査によると、米国の15大都市の平均通勤時間（片道）は25.4分である。テキサス州オースティンの商工会議所は、同市の通勤時間はもっと短いと考え、この事実を宣伝したい。無作為に選んだ通勤者25人の平均は22.1分、標準偏差は5.3分だった。α = 0.10の水準で、オースティンの通勤時間は米国15大都市の平均通勤時間より有意に短いか。
Exercise 114問題 114
A report by the Gallup Poll found that a woman visits her doctor, on average, at most 5.8 times each year. A random sample of 20 women results in these yearly visit totals
ギャラップの調査報告によると、女性が医師を受診する回数は年平均で多くても5.8回である。女性20人の無作為標本から、次の年間受診回数が得られた。
  • 3
  • 2
  • 1
  • 3
  • 7
  • 2
  • 9
  • 4
  • 6
  • 6
  • 8
  • 0
  • 5
  • 6
  • 4
  • 2
  • 1
  • 3
  • 4
  • 1

At the α = 0.05 level can it be concluded that the sample mean is higher than 5.8 visits per year?
α = 0.05の水準で、標本平均は年5.8回より高いと結論づけられるか。
Solution解き方
  1. H0: µ ≤ 5.8 Ha: µ > 5.8
  2. p-value = 0.9987
    p値 = 0.9987
  3. alpha = 0.05
    α = 0.05
  4. Do not reject the null hypothesis.
    帰無仮説を棄却しない。
  5. At the 5% level of significance, there is not enough evidence to conclude that a woman visits her doctor, on average, more than 5.8 times a year.
    有意水準5%では、女性の医師受診回数は年平均5.8回を超えると結論づける証拠は不十分である。
Exercise 115問題 115
According to the U.S. Census Bureau, the mean family size in the U.S. is 3.13. A sample of a college math class resulted in the following family sizes:
米国国勢調査局によると、米国の平均家族人数は3.13人である。大学の数学クラスを標本として、次の家族人数が得られた。
  • 5
  • 4
  • 5
  • 4
  • 4
  • 3
  • 6
  • 4
  • 3
  • 3
  • 5
  • 5
  • 6
  • 3
  • 3
  • 2
  • 7
  • 4
  • 5
  • 2
  • 2
  • 2
  • 3
  • 2

At α = 0.05 level, is the class’ mean family size greater than the national average? Does the census result remain valid? Why?
α = 0.05の水準で、このクラスの平均家族人数は全国平均より多いか。国勢調査の結果は依然として妥当か。理由も述べよ。
Exercise 116問題 116
The student academic group on a college campus claims that first-year students study at least 2.5 hours per day, on average. One Introduction to Statistics class was skeptical. The class took a random sample of 30 first-year students and found a mean study time of 137 minutes with a standard deviation of 45 minutes. At α = 0.01 level, is the student academic group’s claim correct?
英語のヒント
ある大学の学術系学生団体は、1年生は1日平均で少なくとも2.5時間勉強すると主張している。「統計学入門」のあるクラスは疑問を抱いた。1年生30人の無作為標本を取り、平均勉強時間137分、標準偏差45分を得た。α = 0.01の水準で、学生団体の主張は正しいか。
Solution解き方
  1. H0: µ ≥ 150 Ha: µ < 150
  2. p-value = 0.0622
    p値 = 0.0622
  3. alpha = 0.01
    α = 0.01
  4. Do not reject the null hypothesis.
    帰無仮説を棄却しない。
  5. At the 1% significance level, there is not enough evidence to conclude that first-year students study less than 2.5 hours per day, on average.
    有意水準1%では、1年生の勉強時間は1日平均2.5時間未満であると結論づける証拠は不十分である。
  6. The student academic group’s claim appears to be correct.
    学術系学生団体の主張は正しいようだ。