第8章信頼区間

Changing the Confidence Level or Sample Size信頼水準または標本の大きさを変える

Example 8.4例題 8.4

Suppose we change the original problem in Example 8.2 by using a 95% confidence level. Find a 95% confidence interval for the true (population) mean statistics exam score.

例8.2の問題を変更し、信頼水準を95%にするとする。統計学の試験の真の平均点（母平均）の95%信頼区間を求めよ。

Solution解き方

To find the confidence interval, you need the sample mean,

\bar{x}

, and the EBM.

信頼区間を求めるには、標本平均

\bar{x}

とEBMが必要である。

$\bar{x}$ = 68
EBM = $(z_{\frac{α}{2}}) (\frac{σ}{\sqrt{n}})$
σ = 3; n = 36; The confidence level is 95% (CL = 0.95).
σ = 3、n = 36、信頼水準は95%（CL = 0.95）である。

CL = 0.95 so α = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05

CL = 0.95なので、α = 1 − CL = 1 − 0.95 = 0.05となる。

\frac{α}{2} = 0.025 z_{\frac{α}{2}} = z_{0.025}

The area to the right of z_0.025 is 0.025 and the area to the left of z_0.025 is 1 – 0.025 = 0.975.

z_0.025の右側の面積は0.025であり、z_0.025の左側の面積は1 − 0.025 = 0.975である。

z_{\frac{α}{2}} = z_{0.025} = 1.96

when using invnorm(0.975,0,1) on the TI-83, 83+, or 84+ calculators. (This can also be found using appropriate commands on other calculators, using a computer, or using a probability table for the standard normal distribution.)

TI-83、83+、84+の電卓でinvnorm(0.975,0,1)を使った場合の値である。（ほかの電卓の適切なコマンド、コンピューター、標準正規分布の確率表でも求められる。）

EBM = (1.96)

(\frac{3}{\sqrt{36}})

= 0.98

\bar{x}

– EBM = 68 – 0.98 = 67.02

\bar{x}

− EBM = 68 − 0.98 = 67.02

\bar{x}

+ EBM = 68 + 0.98 = 68.98

Notice that the EBM is larger for a 95% confidence level in the original problem.

元の問題で信頼水準を95%にすると、EBMが大きくなることに注目しよう。

We estimate with 95% confidence that the true population mean for all statistics exam scores is between 67.02 and 68.98.

統計学の全試験の真の母平均点は67.02から68.98の間にあると、95%の信頼度で推定する。

Explanation of 95% Confidence Level: Ninety-five percent of all confidence intervals constructed in this way contain the true value of the population mean statistics exam score.

信頼水準95%の説明：この方法で作ったすべての信頼区間の95%が、統計学の試験の母平均点の真の値を含む。

Comparing the results: The 90% confidence interval is (67.18, 68.82). The 95% confidence interval is (67.02, 68.98). The 95% confidence interval is wider. If you look at the graphs, because the area 0.95 is larger than the area 0.90, it makes sense that the 95% confidence interval is wider. To be more confident that the confidence interval actually does contain the true value of the population mean for all statistics exam scores, the confidence interval necessarily needs to be wider.

英語のヒント

結果の比較：90%信頼区間は(67.18, 68.82)であり、95%信頼区間は(67.02, 68.98)である。95%信頼区間のほうが広い。グラフを見ると、面積0.95は面積0.90より大きいため、95%信頼区間が広くなるのは納得できる。信頼区間が統計学の全試験の母平均点の真の値を実際に含むという確信を強めるには、信頼区間を必ず広くしなければならない。

Figure 8.5図 8.5

Summary: Effect of Changing the Confidence Level

まとめ：信頼水準を変えることの影響

Increasing the confidence level increases the error bound, making the confidence interval wider.
信頼水準を上げると誤差限界が大きくなり、信頼区間が広くなる。
Decreasing the confidence level decreases the error bound, making the confidence interval narrower.
信頼水準を下げると誤差限界が小さくなり、信頼区間が狭くなる。

Example 8.5例題 8.5

Suppose we change the original problem in Example 8.2 to see what happens to the error bound if the sample size is changed.

例8.2の問題を変更し、標本の大きさを変えた場合に誤差限界がどうなるかを調べるとする。

Leave everything the same except the sample size. Use the original 90% confidence level. What happens to the error bound and the confidence interval if we increase the sample size and use n = 100 instead of n = 36? What happens if we decrease the sample size to n = 25 instead of n = 36?

標本の大きさ以外はすべて同じにする。信頼水準には元の90%を使う。標本の大きさをn = 36からn = 100へ増やすと、誤差限界と信頼区間はどうなるか。n = 36からn = 25へ減らすと、どうなるか。

$\bar{x}$ = 68
EBM = $(z_{\frac{α}{2}}) (\frac{σ}{\sqrt{n}})$
σ = 3; The confidence level is 90% (CL=0.90); $z_{\frac{α}{2}}$ = z_0.05 = 1.645.
σ = 3、信頼水準は90%（CL = 0.90）、 $z_{\frac{α}{2}}$ = z_0.05 = 1.645である。

Solution解き方

If we increase the sample size n to 100, we decrease the error bound.

標本の大きさnを100に増やすと、誤差限界は小さくなる。

When n = 100: EBM =

(z_{\frac{α}{2}}) (\frac{σ}{\sqrt{n}})

= (1.645)

(\frac{3}{\sqrt{100}})

= 0.4935.

n = 100のとき、EBM =

(z_{\frac{α}{2}}) (\frac{σ}{\sqrt{n}})

= (1.645)

(\frac{3}{\sqrt{100}})

= 0.4935となる。

Solution解き方

If we decrease the sample size n to 25, we increase the error bound.

標本の大きさnを25に減らすと、誤差限界は大きくなる。

When n = 25: EBM =

(z_{\frac{α}{2}}) (\frac{σ}{\sqrt{n}})

= (1.645)

(\frac{3}{\sqrt{25}})

= 0.987.

n = 25のとき、EBM =

(z_{\frac{α}{2}}) (\frac{σ}{\sqrt{n}})

= (1.645)

(\frac{3}{\sqrt{25}})

= 0.987となる。

Summary: Effect of Changing the Sample Size

まとめ：標本の大きさを変えることの影響

Increasing the sample size causes the error bound to decrease, making the confidence interval narrower.
英語のヒント
標本の大きさを増やすと誤差限界が小さくなり、信頼区間が狭くなる。
Decreasing the sample size causes the error bound to increase, making the confidence interval wider.
標本の大きさを減らすと誤差限界が大きくなり、信頼区間が広くなる。

Working Backwards to Find the Error Bound or Sample Mean逆算して誤差限界または標本平均を求める

When we calculate a confidence interval, we find the sample mean, calculate the error bound, and use them to calculate the confidence interval. However, sometimes when we read statistical studies, the study may state the confidence interval only. If we know the confidence interval, we can work backwards to find both the error bound and the sample mean.

英語のヒント

信頼区間を計算するときは、標本平均と誤差限界を求め、それらを使って信頼区間を計算する。しかし、統計的な研究を読むと、信頼区間だけが記されていることもある。信頼区間が分かれば、逆算して誤差限界と標本平均の両方を求められる。

Finding the Error Bound誤差限界の求め方

From the upper value for the interval, subtract the sample mean,
区間の上端の値から標本平均を引く。
OR, from the upper value for the interval, subtract the lower value. Then divide the difference by two.
または、区間の上端の値から下端の値を引き、その差を2で割る。

Finding the Sample Mean標本平均の求め方

Subtract the error bound from the upper value of the confidence interval,
信頼区間の上端の値から誤差限界を引く。
OR, average the upper and lower endpoints of the confidence interval.
または、信頼区間の上端と下端の値の平均を取る。

Notice that there are two methods to perform each calculation. You can choose the method that is easier to use with the information you know.

それぞれの計算に2通りの方法があることに注目しよう。分かっている情報に応じて、使いやすい方法を選べる。

Example 8.6例題 8.6

Suppose we know that a confidence interval is (67.18, 68.82) and we want to find the error bound. We may know that the sample mean is 68, or perhaps our source only gave the confidence interval and did not tell us the value of the sample mean.

信頼区間が(67.18, 68.82)と分かっており、誤差限界を求めたいとする。標本平均が68と分かっている場合もあれば、情報源が信頼区間しか示しておらず、標本平均の値は分からない場合もある。

Calculate the Error Bound:誤差限界を計算する：

If we know that the sample mean is 68: EBM = 68.82 – 68 = 0.82.
標本平均が68と分かっている場合：EBM = 68.82 − 68 = 0.82。
If we don't know the sample mean: EBM = $\frac{(68.82 - 67.18)}{2}$ = 0.82.
標本平均が分からない場合：EBM = $\frac{(68.82 - 67.18)}{2}$ = 0.82。

Calculate the Sample Mean:標本平均を計算する：

If we know the error bound: $\bar{x}$ = 68.82 – 0.82 = 68
誤差限界が分かっている場合： $\bar{x}$ = 68.82 − 0.82 = 68。
If we don't know the error bound: $\bar{x}$ = $\frac{(67.18 + 68.82)}{2}$ = 68.
誤差限界が分からない場合： $\bar{x}$ = $\frac{(67.18 + 68.82)}{2}$ = 68。