第8章信頼区間

Exercises 126–132練習問題 126–132

Use the following information to answer the next two exercises: Five hundred and eleven (511) homes in a certain southern California community are randomly surveyed to determine if they meet minimal earthquake preparedness recommendations. One hundred seventy-three (173) of the homes surveyed met the minimum recommendations for earthquake preparedness, and 338 did not.

英語のヒント

次の情報を使って、続く2問に答えよ。南カリフォルニアのある地域の住宅511戸を無作為に調べ、地震への備えに関する最低限の推奨事項を満たすか調査した。173戸が最低限の推奨事項を満たし、338戸は満たしていなかった。

Exercise 126問題 126

Find the confidence interval at the 90% Confidence Level for the true population proportion of southern California community homes meeting at least the minimum recommendations for earthquake preparedness.

南カリフォルニアの地域内の住宅で、地震への備えの最低限の推奨事項を満たす住宅の真の母比率について、信頼水準90%の信頼区間を求めよ。

(0.2975, 0.3796)
(0.6270, 0.6959)
(0.3041, 0.3730)
(0.6204, 0.7025)

Exercise 127問題 127

The point estimate for the population proportion of homes that do not meet the minimum recommendations for earthquake preparedness is ______.

地震への備えの最低限の推奨事項を満たさない住宅の母比率の点推定値は______である。

0.6614
0.3386
173
338

Solution解き方

Exercise 128問題 128

In a specific year, Gallup reported that of the 1,005 people surveyed, 76% of U.S. workers believe that they will continue working past retirement age. The confidence level for this study was reported at 95% with a ±3% margin of error.

ある年のGallupの報告では、1005人を調査したところ、米国の労働者の76%が退職年齢を過ぎても働き続けると考えていた。この調査の信頼水準は95%、誤差限界は±3%と報告された。

Determine the estimated proportion from the sample.
標本から推定比率を求めよ。
Determine the sample size.
標本の大きさを求めよ。
Identify CL and α.
CLとαを示せ。
Calculate the error bound based on the information provided.
与えられた情報に基づき、誤差限界を計算せよ。
Compare the error bound in part d to the margin of error reported by Gallup. Explain any differences between the values.
dで求めた誤差限界とGallupが報告した誤差限界を比較せよ。値の違いがあれば説明せよ。
Create a confidence interval for the results of this study.
この調査結果の信頼区間を作れ。
A reporter is covering the release of this study for a local news station. How should she explain the confidence interval to her audience?
英語のヒント
地元の報道局の記者が、この調査の発表を取材している。彼女は視聴者に信頼区間をどのように説明すべきか。

Exercise 129問題 129

A national survey of 1,000 adults was conducted by Rasmussen Reports. It concluded with 95% confidence that 49% to 55% of Americans believe that big-time college sports programs corrupt the process of higher education.

英語のヒント

Rasmussen Reportsが全米の成人1000人を調査した。大学の大規模スポーツ事業は高等教育の過程を損なうと考える米国人は49%から55%だと、95%の信頼度で結論づけた。

Find the point estimate and the error bound for this confidence interval.
この信頼区間の点推定値と誤差限界を求めよ。
Can we (with 95% confidence) conclude that more than half of all American adults believe this?
米国成人全体の半数を超える人がそう考えていると、95%の信頼度で結論づけられるか。
Use the point estimate from part a and n = 1,000 to calculate a 75% confidence interval for the proportion of American adults that believe that major college sports programs corrupt higher education.
aの点推定値とn = 1000を使い、大学の主要スポーツ事業は高等教育を損なうと考える米国成人の比率の75%信頼区間を計算せよ。
Can we (with 75% confidence) conclude that at least half of all American adults believe this?
米国成人全体の少なくとも半数がそう考えていると、75%の信頼度で結論づけられるか。

Solution解き方

$p^{'}$ = $\frac{(0 .55 + 0 .49)}{2}$ = 0.52; EBP = 0.55 - 0.52 = 0.03
$p^{'}$ = $\frac{(0 .55 + 0 .49)}{2}$ = 0.52、EBP = 0.55 − 0.52 = 0.03。
No, the confidence interval includes values less than or equal to 0.50. It is possible that less than half of the population believe this.
できない。信頼区間には0.50以下の値が含まれている。そう考える人が母集団の半数未満である可能性がある。
CL = 0.75, so α = 1 – 0.75 = 0.25 and $\frac{α}{2} = 0.125 z_{\frac{α}{2}} = 1.150$ . (The area to the right of this z is 0.125, so the area to the left is 1 – 0.125 = 0.875.)
$E B P = (1.150) \sqrt{\frac{0.52 (0.48)}{1, 000}} \approx 0.018$
(p′ - EBP, p′ + EBP) = (0.52 – 0.018, 0.52 + 0.018) = (0.502, 0.538)
CL = 0.75なので、α = 1 − 0.75 = 0.25、 $\frac{α}{2} = 0.125 z_{\frac{α}{2}} = 1.150$ となる。（このzの右側の面積は0.125なので、左側は1 − 0.125 = 0.875である。） $E B P = (1.150) \sqrt{\frac{0.52 (0.48)}{1, 000}} \approx 0.018$ 。(p′ − EBP, p′ + EBP) = (0.52 − 0.018, 0.52 + 0.018) = (0.502, 0.538)。

Alternate Solution
別解

STAT TESTS A: 1-PropZinterval with x = (0.52)(1,000), n = 1,000, CL = 0.75.
STAT → TESTS → A: 1-PropZintervalで、x = (0.52)(1000)、n = 1000、CL = 0.75とする。

Answer is (0.502, 0.538)
答えは(0.502, 0.538)である。
Yes – this interval does not fall less than 0.50 so we can conclude that at least half of all American adults believe that major sports programs corrupt education – but we do so with only 75% confidence.
できる。この区間は0.50を下回らないので、米国成人全体の少なくとも半数が、主要スポーツ事業は教育を損なうと考えていると結論づけられる。ただし、その信頼度は75%にすぎない。

Exercise 130問題 130

Public Policy Polling recently conducted a survey asking adults across the U.S. about music preferences. When asked, 80 of the 571 participants admitted that they have illegally downloaded music.

英語のヒント

Public Policy Pollingが最近、全米の成人に音楽の好みを尋ねる調査を行った。参加者571人のうち80人が、音楽を違法にダウンロードしたことがあると認めた。

Create a 99% confidence interval for the true proportion of American adults who have illegally downloaded music.
音楽を違法にダウンロードしたことのある米国成人の真の比率の99%信頼区間を作れ。
This survey was conducted through automated telephone interviews. The error bound of the survey compensates for sampling error, or natural variability among samples. List some factors that could affect the survey’s outcome that are not covered by the margin of error.
英語のヒント
この調査は自動音声による電話面接で行われた。調査の誤差限界は、標本誤差、すなわち標本間の自然なばらつきに対応するものである。調査結果に影響しうる要因のうち、この誤差限界では扱われないものをいくつか挙げよ。
Without performing any calculations, describe how the confidence interval would change if the confidence level changed from 99% to 90%.
計算せずに、信頼水準が99%から90%に変わると信頼区間がどう変わるか説明せよ。

Exercise 131問題 131

You plan to conduct a survey on your college campus to learn about the political awareness of students. You want to estimate the true proportion of college students on your campus who voted in the 2020 presidential election with 95% confidence and a margin of error no greater than five percent. How many students must you interview?

英語のヒント

大学の学生の政治意識を知るため、キャンパスで調査を行う予定である。2020年の大統領選挙に投票した学生の真の比率を、信頼水準95%、誤差限界5%以下で推定したい。何人に面接する必要があるか。

Solution解き方

CL = 0.95 α = 1 – 0.95 = 0.05

\frac{α}{2}

= 0.025

z_{\frac{α}{2}}

= 1.96. Use p′ = q′ = 0.5.

CL = 0.95、α = 1 − 0.95 = 0.05、

\frac{α}{2}

= 0.025、

z_{\frac{α}{2}}

= 1.96。p′ = q′ = 0.5を使う。

n = \frac{z_{\frac{α}{2}}^{2} p^{'} q^{'}}{E B P^{2}} = \frac{{1.96}^{2} (0.5) (0.5)}{{0.05}^{2}} = 384.16

You need to interview at least 385 students to estimate the proportion to within 5% at 95% confidence.

信頼水準95%、5%以内の誤差で比率を推定するには、少なくとも385人の学生に面接する必要がある。

Exercise 132問題 132

In a recent Zogby International Poll, nine of 48 respondents rated the likelihood of a terrorist attack in their community as “likely” or “very likely.” Use the “plus four” method to create a 97% confidence interval for the proportion of American adults who believe that a terrorist attack in their community is likely or very likely. Explain what this confidence interval means in the context of the problem.

英語のヒント

最近のZogby Internationalの世論調査では、48人中9人が、自分の地域でテロ攻撃が起きる可能性を「高い」または「非常に高い」と評価した。「プラス4」法を使い、このように考える米国成人の比率の97%信頼区間を作れ。問題の状況に即して、この信頼区間の意味を説明せよ。

Binomial Distribution

二項分布

a discrete random variable (RV) which arises from Bernoulli trials; there are a fixed number, n, of independent trials. “Independent” means that the result of any trial (for example, trial 1) does not affect the results of the following trials, and all trials are conducted under the same conditions. Under these circumstances the binomial RV X is defined as the number of successes in n trials. The notation is: X~B(n,p). The mean is μ = np and the standard deviation is σ =

\sqrt{n p q}

. The probability of exactly x successes in n trials is

P (X = x) = (\binom{n}{x}) p^{x} q^{n - x}

ベルヌーイ試行から生じる離散確率変数の分布。固定した回数nの独立な試行を行う。「独立」とは、ある試行（たとえば第1試行）の結果が後続の試行の結果に影響しないことを意味し、すべての試行は同じ条件で行われる。この条件下で二項確率変数Xをn回の試行の成功回数と定義し、X ~ B(n, p)と表す。平均はμ = np、標準偏差はσ =

\sqrt{n p q}

である。n回中ちょうどx回成功する確率は

P (X = x) = (\binom{n}{x}) p^{x} q^{n - x}

となる。