第8章信頼区間

8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution8.2　スチューデントのt分布を用いた1つの母平均の推定

In practice, we rarely know the population standard deviation. In the past, when the sample size was large, this did not present a problem to statisticians. They used the sample standard deviation s as an estimate for σ and proceeded as before to calculate a confidence interval with close enough results. However, statisticians ran into problems when the sample size was small. A small sample size caused inaccuracies in the confidence interval.

英語のヒント

実際には、母標準偏差が分かっていることはめったにない。かつて、標本が大きい場合、これは統計学者にとって問題にならなかった。標本標準偏差sをσの推定値として使い、以前と同じように信頼区間を計算すれば、十分近い結果が得られたからである。しかし標本が小さいと問題が生じた。標本の小ささが、信頼区間の不正確さを引き起こしたのである。

William S. Gosset (1876–1937) of the Guinness brewery in Dublin, Ireland ran into this problem. His experiments with hops and barley produced very few samples. Just replacing σ with s did not produce accurate results when he tried to calculate a confidence interval. He realized that he could not use a normal distribution for the calculation; he found that the actual distribution depends on the sample size. This problem led him to "discover" what is called the Student's t-distribution. The name comes from the fact that Gosset wrote under the pen name "Student."

英語のヒント

アイルランドのダブリンにあるギネス醸造所のウィリアム・S・ゴセット（1876–1937）は、この問題に直面した。ホップと大麦を用いた彼の実験では、ごく少数の標本しか得られなかった。信頼区間を計算しようとしても、σをsに置き換えるだけでは正確な結果は得られなかった。彼は計算に正規分布を使えないことに気づき、実際の分布が標本の大きさに依存することを見いだした。この問題を通じ、彼はいわゆるスチューデントのt分布を「発見」した。この名は、ゴセットが「Student」という筆名で執筆していたことに由来する。

Up until the mid-1970s, some statisticians used the normal distribution approximation for large sample sizes and used the Student's t-distribution only for sample sizes of at most 30. With graphing calculators and computers, the practice now is to use the Student's t-distribution whenever s is used as an estimate for σ.

1970年代半ばまでは、大標本には正規分布近似を使い、標本の大きさが30以下の場合だけスチューデントのt分布を使う統計学者もいた。グラフ電卓やコンピューターが使える現在では、sをσの推定値に使う場合は常に、スチューデントのt分布を使うのが一般的である。

If you draw a simple random sample of size n from a population that has an approximately normal distribution with mean μ and unknown population standard deviation σ and calculate the t-score t =

\frac{\bar{x} - μ}{(\frac{s}{\sqrt{n}})}

, then the t-scores follow a Student's t-distribution with n – 1 degrees of freedom. The t-score has the same interpretation as the z-score. It measures how far

\bar{x}

is from its mean μ. For each sample size n, there is a different Student's t-distribution.

平均μ、未知の母標準偏差σを持つ近似的な正規母集団から、大きさnの単純無作為標本を取り、tスコアt =

\frac{\bar{x} - μ}{(\frac{s}{\sqrt{n}})}

を計算すると、そのtスコアは自由度n − 1のスチューデントのt分布に従う。tスコアの解釈はzスコアと同じであり、

\bar{x}

がその平均μからどれほど離れているかを測る。標本の大きさnごとに、異なるスチューデントのt分布がある。

The degrees of freedom, n – 1, come from the calculation of the sample standard deviation s. This calculation requires n deviations

(x - \bar{x} values)

. Because the sum of the deviations is zero, we can find the last deviation once we know the other n – 1 deviations. The other n – 1 deviations can change or vary freely. We call the number n – 1 the degrees of freedom (df).

英語のヒント

自由度n − 1は、標本標準偏差sの計算に由来する。この計算にはn個の偏差

(x - \bar{x} の値)

が必要である。偏差の和は0なので、ほかのn − 1個の偏差が分かれば、最後の偏差を求められる。ほかのn − 1個の偏差は自由に変化できる。この数n − 1を自由度（df）と呼ぶ。

Properties of the Student's t-Distributionスチューデントのt分布の性質

The graph for the Student's t-distribution is similar to the standard normal curve.
スチューデントのt分布のグラフは、標準正規曲線に似ている。
The mean for the Student's t-distribution is zero and the distribution is symmetric about zero.
スチューデントのt分布の平均は0であり、分布は0を中心に対称である。
The Student's t-distribution has more probability in its tails than the standard normal distribution because the spread of the t-distribution is greater than the spread of the standard normal. So the graph of the Student's t-distribution will be thicker in the tails and shorter in the center than the graph of the standard normal distribution.
スチューデントのt分布は、標準正規分布より広がりが大きいため、裾により多くの確率がある。そのため、グラフは標準正規分布よりも裾が厚く、中央が低くなる。
The exact shape of the Student's t-distribution depends on the degrees of freedom. As the degrees of freedom increases, the graph of Student's t-distribution becomes more like the graph of the standard normal distribution.
スチューデントのt分布の正確な形は、自由度によって決まる。自由度が増えるほど、そのグラフは標準正規分布のグラフに近づく。
The underlying population of individual observations is assumed to be normally distributed with unknown population mean μ and unknown population standard deviation σ. The size of the underlying population is generally not relevant unless it is very small. If it is bell shaped (normal) then the assumption is met and doesn't need discussion. Random sampling is assumed, but that is a completely separate assumption from normality.
英語のヒント
個々の観測値の背景にある母集団は、未知の母平均μと未知の母標準偏差σを持つ正規分布と仮定する。母集団が非常に小さい場合を除き、母集団の大きさは通常関係しない。母集団が釣鐘形（正規分布）なら、この仮定を満たすので、それ以上論じる必要はない。無作為抽出も仮定するが、これは正規性とはまったく別の仮定である。

Calculators and computers can easily calculate any Student's t-probabilities. The TI-83,83+, and 84+ have a tcdf function to find the probability for given values of t. The grammar for the tcdf command is tcdf(lower bound, upper bound, degrees of freedom). However for confidence intervals, we need to use inverse probability to find the value of t when we know the probability.

電卓やコンピューターを使えば、スチューデントのt分布のどの確率も簡単に計算できる。TI-83、83+、84+には、指定したtの値に対する確率を求めるtcdf関数がある。コマンドの構文はtcdf(下限, 上限, 自由度)である。ただし信頼区間では、既知の確率からtの値を求めるため、確率の逆の計算が必要になる。

For the TI-84+ you can use the invT command on the DISTRibution menu. The invT command works similarly to the invnorm. The invT command requires two inputs: invT(area to the left, degrees of freedom) The output is the t-score that corresponds to the area we specified.

The TI-83 and 83+ do not have the invT command. (The TI-89 has an inverse T command.)

TI-84+では、DISTRibutionメニューのinvTコマンドを使える。invTはinvnormと同様に動く。入力は2つで、invT(左側の面積, 自由度)とする。出力は、指定した面積に対応するtスコアである。TI-83と83+にはinvTコマンドがない。（TI-89にはinverse Tコマンドがある。）

A probability table for the Student's t-distribution can also be used. The table gives t-scores that correspond to the confidence level (column) and degrees of freedom (row). (The TI-86 does not have an invT program or command, so if you are using that calculator, you need to use a probability table for the Student's t-Distribution.) When using a t-table, note that some tables are formatted to show the confidence level in the column headings, while the column headings in some tables may show only corresponding area in one or both tails.

A Student's t table (See Tables) gives t-scores given the degrees of freedom and the right-tailed probability. The table is very limited. Calculators and computers can easily calculate any Student's t-probabilities.

スチューデントのt分布の確率表も使える。表は、信頼水準（列）と自由度（行）に対応するtスコアを示している。（TI-86にはinvTのプログラムやコマンドがないため、この機種ではt分布の確率表を使う必要がある。）t分布表を使う際は、列の見出しが信頼水準の場合もあれば、片側または両側の裾の対応する面積だけを示す場合もある点に注意する。スチューデントのt分布表（「数表」参照）は、自由度と右裾の確率からtスコアを示す。表に載る値にはかなり限りがある。電卓やコンピューターなら、t分布のどの確率も簡単に計算できる。

The notation for the Student's t-distribution (using T as the random variable) is:確率変数をTとしたとき、スチューデントのt分布は次のように表す：

T ~ t_df where df = n – 1.
T ~ t_df。ここでdf = n − 1である。
For example, if we have a sample of size n = 20 items, then we calculate the degrees of freedom as df = n - 1 = 20 - 1 = 19 and we write the distribution as T ~ t₁₉.
たとえば標本の大きさがn = 20なら、自由度をdf = n − 1 = 20 − 1 = 19と計算し、分布をT ~ t₁₉と表す。

If the population standard deviation is not known, the error bound for a population mean is:

母標準偏差が未知の場合、母平均の誤差限界は次のとおりである：

$E B M = (t_{\frac{α}{2}}) (\frac{s}{\sqrt{n}})$ ,
$t_{\frac{σ}{2}}$ is the t-score with area to the right equal to $\frac{α}{2}$ ,
$t_{\frac{σ}{2}}$ は、右側の面積が $\frac{α}{2}$ に等しいtスコアである。
use df = n – 1 degrees of freedom, and
自由度はdf = n − 1を使い、
s = sample standard deviation.
s = 標本標準偏差とする。

The format for the confidence interval is:

(\bar{x} - E B M, \bar{x} + E B M)

信頼区間の形は

(\bar{x} - E B M, \bar{x} + E B M)

である。

Using the Calculator電卓の操作

Example 8.8例題 8.8

Suppose you do a study of acupuncture to determine how effective it is in relieving pain. You measure sensory rates for 15 subjects with the results given. Use the sample data to construct a 95% confidence interval for the mean sensory rate for the population (assumed normal) from which you took the data.
The solution is shown step-by-step and by using the TI-83, 83+, or 84+ calculators.

英語のヒント

鍼治療が痛みの緩和にどれほど有効かを調べる研究を行うとする。15人の被験者の感覚評価値を測り、示した結果を得た。この標本データを使い、データを取った母集団（正規分布と仮定）の平均感覚評価値の95%信頼区間を作れ。解法は手順を追って示し、TI-83、83+、84+の電卓を使う方法も示す。

8.6
9.4
7.9
6.8
8.3
7.3
9.2
9.6
8.7
11.4
10.3
5.4
8.1
5.5
6.9

Solution解き方

The first solution is step-by-step.
最初の解法では、手順を追って示す。
The second solution uses the TI-83+ and TI-84 calculators.
2つ目の解法では、TI-83+とTI-84の電卓を使う。

To find the confidence interval, you need the sample mean,

\bar{x}

, and the EBM.

信頼区間を求めるには、標本平均

\bar{x}

とEBMが必要である。

\bar{x}

= 8.2267 s = 1.6722 n = 15

df = 15 – 1 = 14 CL so α = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05

df = 15 − 1 = 14、CLよりα = 1 − CL = 1 − 0.95 = 0.05。

\frac{α}{2}

= 0.025

t_{\frac{α}{2}} = t_{0.025}

The area to the right of t_0.025 is 0.025, and the area to the left of t_0.025 is 1 – 0.025 = 0.975

t_0.025の右側の面積は0.025、t_0.025の左側の面積は1 − 0.025 = 0.975である。

t_{\frac{α}{2}} = t_{0.025} = 2.14

using invT(.975,14) on the TI-84+ calculator.

TI-84+のinvT(.975,14)を使うと、

t_{\frac{α}{2}} = t_{0.025} = 2.14

となる。

E B M = (t_{\frac{α}{2}}) (\frac{s}{\sqrt{n}})

E B M = (2.14) (\frac{1.6722}{\sqrt{15}}) = 0.924

\bar{x}

– EBM = 8.2267 – 0.9240 = 7.3

\bar{x}

− EBM = 8.2267 − 0.9240 = 7.3

\bar{x}

+ EBM = 8.2267 + 0.9240 = 9.15

The 95% confidence interval is (7.30, 9.15).

95%信頼区間は(7.30, 9.15)である。

We estimate with 95% confidence that the true population mean sensory rate is between 7.30 and 9.15.

感覚評価値の真の母平均は7.30から9.15の間にあると、95%の信頼度で推定する。

Solution解き方

Using the Calculator電卓の操作

Example 8.9例題 8.9

The Human Toxome Project (HTP) is working to understand the scope of industrial pollution in the human body. Industrial chemicals may enter the body through pollution or as ingredients in consumer products. The scientists at HTP tested cord blood samples for 20 newborn infants in the United States. The cord blood of the "In utero/newborn" group was tested for 430 industrial compounds, pollutants, and other chemicals, including chemicals linked to brain and nervous system toxicity, immune system toxicity, and reproductive toxicity, and fertility problems. There are health concerns about the effects of some chemicals on the brain and nervous system. Table 8.4 shows how many of the targeted chemicals were found in each infant’s cord blood.

英語のヒント

ヒューマン・トキソーム・プロジェクト（HTP）は、人体の産業汚染の広がりを理解するために活動している。産業用化学物質は、汚染を通じて、または消費者向け製品の成分として体内に入りうる。HTPの科学者は、米国の新生児20人の臍帯血の標本を調べた。「胎内／新生児」群の臍帯血について、430種類の産業用化合物、汚染物質、その他の化学物質を検査した。対象には、脳・神経系への毒性、免疫系への毒性、生殖毒性、不妊の問題に関連する化学物質が含まれる。一部の化学物質が脳・神経系に及ぼす影響には、健康上の懸念がある。表8.4は、それぞれの新生児の臍帯血から対象の化学物質が何種類見つかったかを示す。

Table 8.4表 8.4
79	145	147	160	116	100	159	151	156	126
137	83	156	94	121	144	123	114	139	99

Use this sample data to construct a 90% confidence interval for the mean number of targeted industrial chemicals to be found in an in infant’s blood.

この標本データを使い、新生児の血液から見つかる、対象の産業用化学物質の種類数の平均の90%信頼区間を作れ。

Solution解き方

From the sample, you can calculate

\bar{x}

= 127.45 and s = 25.965. There are 20 infants in the sample, so n = 20, and df = 20 – 1 = 19.

標本から

\bar{x}

= 127.45、s = 25.965と計算できる。標本には新生児が20人いるので、n = 20、df = 20 − 1 = 19である。

You are asked to calculate a 90% confidence interval: CL = 0.90, so α = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10

求めるのは90%信頼区間である。CL = 0.90なので、α = 1 − CL = 1 − 0.90 = 0.10となる。

$\frac{α}{2} = 0.05, t_{\frac{α}{2}} = t_{0.05}$

By definition, the area to the right of t_0.05 is 0.05 and so the area to the left of t_0.05 is 1 – 0.05 = 0.95.

定義により、t_0.05の右側の面積は0.05であり、t_0.05の左側の面積は1 − 0.05 = 0.95となる。

Use a table, calculator, or computer to find that t_0.05 = 1.729.

表、電卓、またはコンピューターを使うと、t_0.05 = 1.729と求まる。

E B M = t_{\frac{α}{2}} (\frac{s}{\sqrt{n}}) = 1.729 (\frac{25.965}{\sqrt{20}}) \approx 10.038

\bar{x}

– EBM = 127.45 – 10.038 = 117.412

\bar{x}

− EBM = 127.45 − 10.038 = 117.412

\bar{x}

+ EBM = 127.45 + 10.038 = 137.488

We estimate with 90% confidence that the mean number of all targeted industrial chemicals found in cord blood in the United States is between 117.412 and 137.488.

米国の臍帯血から見つかる、対象の産業用化学物質の種類数の平均は117.412から137.488の間にあると、90%の信頼度で推定する。

Solution解き方

Using the Calculator電卓の操作

Try Itやってみよう

A random sample of statistics students were asked to estimate the total number of hours they spend watching television in an average week. The responses are recorded in Table 8.5. Use this sample data to construct a 98% confidence interval for the mean number of hours statistics students will spend watching television in one week.

統計学の学生から無作為標本を取り、平均的な1週間にテレビを見る合計時間を推定してもらった。回答を表8.5に示す。この標本データを使い、統計学の学生が1週間にテレビを見る平均時間の98%信頼区間を作れ。

Table 8.5表 8.5
0	3	1	20	9
5	10	1	10	4
14	2	4	4	5

第8章信頼区間

8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution8.2 スチューデントのt分布を用いた1つの母平均の推定

Properties of the Student's t-Distributionスチューデントのt分布の性質

The notation for the Student's t-distribution (using T as the random variable) is:確率変数をTとしたとき、スチューデントのt分布は次のように表す：

8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution8.2　スチューデントのt分布を用いた1つの母平均の推定