プリンキピア

第8章信頼区間

Calculating the Sample Size n標本の大きさnの計算

If researchers desire a specific margin of error, then they can use the error bound formula to calculate the required sample size.
英語のヒント
研究者が特定の誤差限界を望む場合、誤差限界の公式から、必要な標本の大きさを計算できる。
The error bound formula for a population proportion is
母比率の誤差限界の公式は次のとおりである：
  • EBP=( z α 2 )( p ′ q ′ n )
  • Solving for n gives you an equation for the sample size.
    nについて解くと、標本の大きさの式が得られる。
  • n= ( z α 2 ) 2 ( p ′ q ′ ) EB P 2
Example 8.14例題 8.14
Suppose a mobile phone company wants to determine the current percentage of customers aged 50+ who use text messaging on their cell phones. How many customers aged 50+ should the company survey in order to be 90% confident that the estimated (sample) proportion is within three percentage points of the true population proportion of customers aged 50+ who use text messaging on their cell phones.
携帯電話会社が、50歳以上の顧客のうち携帯電話でテキストメッセージを使う人の現在の割合を調べたいとする。推定比率（標本比率）が、テキストメッセージを使う50歳以上の顧客の真の母比率から3パーセントポイント以内にあると90%の信頼度でいえるためには、この年齢層を何人調査すべきか。
Solution解き方
From the problem, we know that EBP = 0.03 (3%=0.03) and z α 2 z0.05 = 1.645 because the confidence level is 90%.
問題より、EBP = 0.03（3% = 0.03）である。信頼水準は90%なので、 z α 2 z0.05 = 1.645となる。
However, in order to find n, we need to know the estimated (sample) proportion p′. Remember that q′ = 1 – p′. But, we do not know p′ yet. Since we multiply p′ and q′ together, we make them both equal to 0.5 because p′q′ = (0.5)(0.5) = 0.25 results in the largest possible product. (Try other products: (0.6)(0.4) = 0.24; (0.3)(0.7) = 0.21; (0.2)(0.8) = 0.16 and so on). The largest possible product gives us the largest n. This gives us a large enough sample so that we can be 90% confident that we are within three percentage points of the true population proportion. To calculate the sample size n, use the formula and make the substitutions.
しかし、nを求めるには、推定比率（標本比率）p′を知る必要がある。q′ = 1 − p′であることを思い出そう。p′はまだ分からない。p′とq′を掛けるので、両方を0.5にする。p′q′ = (0.5)(0.5) = 0.25が、可能な最大の積になるからである。（ほかの積も試そう：(0.6)(0.4) = 0.24、(0.3)(0.7) = 0.21、(0.2)(0.8) = 0.16など。）最大の積から最大のnが得られる。このようにすれば、真の母比率から3パーセントポイント以内であると90%の信頼度でいえる、十分大きな標本が得られる。標本の大きさnを計算するには、公式を使って値を代入する。
n= z 2 p ′ q ′ EB P 2 gives n= 1.645 2 (0.5)(0.5) 0.03 2 =751.7
n= z 2 p ′ q ′ EB P 2 から、 n= 1.645 2 (0.5)(0.5) 0.03 2 =751.7 が得られる。
Round the answer to the next higher value. The sample size should be 752 cell phone customers aged 50+ in order to be 90% confident that the estimated (sample) proportion is within three percentage points of the true population proportion of all customers aged 50+ who use text messaging on their cell phones.
答えを次の大きい整数に切り上げる。テキストメッセージを使う50歳以上の全顧客の真の母比率から、推定比率（標本比率）が3パーセントポイント以内にあると90%の信頼度でいえるためには、この年齢層の携帯電話顧客752人を標本とすべきである。

References参考文献

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Chapter Review章の復習

Some statistical measures, like many survey questions, measure qualitative rather than quantitative data. In this case, the population parameter being estimated is a proportion. It is possible to create a confidence interval for the true population proportion following procedures similar to those used in creating confidence intervals for population means. The formulas are slightly different, but they follow the same reasoning.
多くの調査質問のように、統計的な測定には量的データではなく質的データを測るものもある。その場合、推定する母数は比率である。母平均の信頼区間を作るときと似た手順で、真の母比率の信頼区間を作れる。公式は少し異なるが、考え方は同じである。
Let p′ represent the sample proportion, x/n, where x represents the number of successes and n represents the sample size. Let q′ = 1 – p′. Then the confidence interval for a population proportion is given by the following formula:
p′を標本比率x/nとし、xは成功回数、nは標本の大きさを表すものとする。q′ = 1 − p′とする。このとき、母比率の信頼区間は次の公式で与えられる：
(lower bound, upper bound) =( p ′ –EBP, p ′ +EBP)= ( p ′ –z p ′ q ′ n , p ′ +z p ′ q ′ n )
（下限, 上限） =( p ′ –EBP, p ′ +EBP)= ( p ′ –z p ′ q ′ n , p ′ +z p ′ q ′ n )
The “plus four” method for calculating confidence intervals is an attempt to balance the error introduced by using estimates of the population proportion when calculating the standard deviation of the sampling distribution. Simply imagine four additional trials in the study; two are successes and two are failures. Calculate p ′ = x+2 n+4 , and proceed to find the confidence interval. When sample sizes are small, this method has been demonstrated to provide more accurate confidence intervals than the standard formula used for larger samples.
信頼区間を計算する「プラス4」法は、標本分布の標準偏差を計算する際に母比率の推定値を使うことで生じる誤差を調整する方法である。研究に成功2回、失敗2回の計4回の試行を追加したと考えるだけでよい。 p ′ = x+2 n+4 を計算し、信頼区間を求める。標本が小さい場合、この方法は、大標本に使う標準的な公式よりも正確な信頼区間を与えると示されている。