プリンキピア

第11章カイ二乗分布

References参考文献

Data from the Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Available online at www.iihs.org/iihs/ratings (accessed May 24, 2013).
データ出典：米国道路安全保険協会、2013年。www.iihs.org/iihs/ratingsで閲覧できる（2013年5月24日閲覧）。
“Energy use (kg of oil equivalent per capita).” The World Bank, 2013. Available online at http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (accessed May 24, 2013).
「エネルギー使用量（1人あたり石油換算kg）」。世界銀行、2013年。http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countriesで閲覧できる（2013年5月24日閲覧）。
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES),” U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Available online at http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (accessed May 24, 2013).
「2007年全国家庭教育調査プログラム（NHES）の親と家族の関与に関する調査」。米国教育省、国立教育統計センター。http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030で閲覧できる（2013年5月24日閲覧）。
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES),” U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Available online at http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (accessed May 24, 2013).
「2007年全国家庭教育調査プログラム（NHES）の親と家族の関与に関する調査」。米国教育省、国立教育統計センター。http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdfで閲覧できる（2013年5月24日閲覧）。

Chapter Review章の復習

To assess whether two data sets are derived from the same distribution—which need not be known, you can apply the test for homogeneity that uses the chi-square distribution. The null hypothesis for this test states that the populations of the two data sets come from the same distribution. The test compares the observed values against the expected values if the two populations followed the same distribution. The test is right-tailed. Each observation or cell category must have an expected value of at least five.
英語のヒント
二つのデータ集合が同じ分布から得られたかを判断するには、カイ二乗分布を用いた均質性検定を適用できる。その分布をあらかじめ知っている必要はない。この検定の帰無仮説は、二つのデータ集合の母集団が同じ分布に由来するとする。検定では、観測値と、二つの母集団が同じ分布に従う場合の期待値を比較する。これは右片側検定である。各観測区分またはセルのカテゴリーの期待値は、少なくとも5でなければならない。

Formula Review公式の復習

∑ i⋅j (O−E) 2 E Homogeneity test statistic where: O = observed values
E = expected values
i = number of rows in data contingency table
j = number of columns in data contingency table
∑ i⋅j (O−E) 2 E ：均質性検定の検定統計量。ここでOは観測値、Eは期待値、iはデータの分割表の行数、jはデータの分割表の列数である。
df = (i −1)(j −1) Degrees of freedom
df = (i −1)(j −1)：自由度
Exercises 75–79練習問題 75–79
Exercise 75問題 75
A math teacher wants to see if two of their classes have the same distribution of test scores. What test should they use?
数学の教師が、担当する二つのクラスで試験成績の分布が同じかを調べたい。どの検定を使うべきか。
Solution解き方
test for homogeneity
均質性検定
Exercise 76問題 76
What are the null and alternative hypotheses for Exercise 75?
問題75の帰無仮説と対立仮説は何か。
Exercise 77問題 77
A market researcher wants to see if two different stores have the same distribution of sales throughout the year. What type of test should they use?
市場調査担当者が、異なる二つの店で年間を通じた売上の分布が同じかを調べたい。どの種類の検定を使うべきか。
Solution解き方
test for homogeneity
均質性検定
Exercise 78問題 78
A meteorologist wants to know if East and West Australia have the same distribution of storms. What type of test should they use?
英語のヒント
気象学者が、オーストラリアの東部と西部で嵐の分布が同じかを知りたい。どの種類の検定を使うべきか。
Exercise 79問題 79
What condition must be met to use the test for homogeneity?
均質性検定を使うには、どの条件を満たさなければならないか。
Solution解き方
All values in the table must be greater than or equal to five.
表内のすべての値が5以上でなければならない。
Exercises 80–84練習問題 80–84
Use the following information to answer the next five exercises: Do private practice doctors and hospital doctors have the same distribution of working hours? Suppose that a sample of 100 private practice doctors and 150 hospital doctors are selected at random and asked about the number of hours a week they work. The results are shown in Table 11.52.
英語のヒント
次の情報を使って、続く5問に答えよう。開業医と病院勤務医の労働時間の分布は同じだろうか。開業医100人と病院勤務医150人を無作為に選び、週の労働時間を尋ねたとする。結果を表11.52に示す。
20–30
30–40
40–50
50–60
Private Practice
開業医
16
40
38
6
Hospital
病院勤務医
8
44
59
39
Table 11.52表 11.52
Exercise 80問題 80
State the null and alternative hypotheses.
帰無仮説と対立仮説を述べよう。
Exercise 81問題 81
df = _______
Solution解き方
3
Exercise 82問題 82
What is the test statistic?
検定統計量はいくつか。
Exercise 83問題 83
What is the p-value?
p値はいくつか。
Solution解き方
0.00005
Exercise 84問題 84
What can you conclude at the 5% significance level?
有意水準5%で何を結論できるか。

Homework宿題

Exercises 85–90練習問題 85–90
For each word problem, use a solution sheet to solve the hypothesis test problem. Go to Solution Sheets for the chi-square solution sheet. Round expected frequency to two decimal places.
各文章題について、解答用シートを使って仮説検定の問題を解こう。「解答用シート」でカイ二乗検定用のシートを参照する。期待度数は小数第2位までに丸める。
Exercise 85問題 85
A psychologist is interested in testing whether there is a difference in the distribution of personality types for business majors and social science majors. The results of the study are shown in Table 11.53. Conduct a test of homogeneity. Test at a 5% level of significance.
心理学者が、ビジネス専攻と社会科学専攻で性格類型の分布に違いがあるかを検定したい。研究結果を表11.53に示す。有意水準5%で均質性検定を行おう。
Open
開放的
Conscientious
誠実
Extrovert
外向的
Agreeable
協調的
Neurotic
神経症的
Business
ビジネス
41
52
46
61
58
Social Science
社会科学
72
75
63
80
65
Table 11.53表 11.53
Solution解き方
  1. H0: The distribution for personality types is the same for both majors
    H0：二つの専攻で性格類型の分布は同じである。
  2. Ha: The distribution for personality types is not the same for both majors
    Ha：二つの専攻で性格類型の分布は同じではない。
  3. df = 4
  4. chi-square with df = 4
    自由度df = 4のカイ二乗分布
  5. test statistic = 3.01
    検定統計量 = 3.01
  6. p-value = 0.5568
    p値 = 0.5568
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha: 0.05
      α：0.05
    2. Decision: Do not reject the null hypothesis.
      判断：帰無仮説を棄却しない。
    3. Reason for decision: p-value > alpha
      判断の理由：p値 > α
    4. Conclusion: There is insufficient evidence to conclude that the distribution of personality types is different for business and social science majors.
      結論：ビジネス専攻と社会科学専攻で性格類型の分布が異なると結論する十分な証拠はない。
Exercise 86問題 86
Do men and women select different breakfasts? The breakfasts ordered by randomly selected men and women at a popular breakfast place is shown in Table 11.54. Conduct a test for homogeneity at a 5% level of significance.
男性と女性では、選ぶ朝食が異なるだろうか。人気の朝食店で、無作為に選んだ男性と女性が注文した朝食を表11.54に示す。有意水準5%で均質性検定を行おう。
French Toast
フレンチトースト
Pancakes
パンケーキ
Waffles
ワッフル
Omelettes
オムレツ
Men
男性
47
35
28
53
Women
女性
65
59
55
60
Table 11.54表 11.54
Exercise 87問題 87
A fish and wildlife technician is interested in whether the distribution of fish caught in Green Valley Lake is the same as the distribution of fish caught in Echo Lake. Of the 191 randomly selected fish caught in Green Valley Lake, 105 were rainbow trout, 27 were other trout, 35 were bass, and 24 were catfish. Of the 293 randomly selected fish caught in Echo Lake, 115 were rainbow trout, 58 were other trout, 67 were bass, and 53 were catfish. Perform a test for homogeneity at a 5% level of significance.
英語のヒント
魚類・野生生物の技術者が、グリーンバレー湖で捕獲される魚の分布と、エコー湖で捕獲される魚の分布が同じかに関心を持っている。グリーンバレー湖の捕獲魚から無作為に選んだ191匹の内訳は、ニジマス105匹、その他のマス27匹、バス35匹、ナマズ24匹だった。エコー湖の捕獲魚から無作為に選んだ293匹の内訳は、ニジマス115匹、その他のマス58匹、バス67匹、ナマズ53匹だった。有意水準5%で均質性検定を行おう。
Solution解き方
  1. H0: The distribution for fish caught is the same in Green Valley Lake and in Echo Lake.
    H0：捕獲される魚の分布は、グリーンバレー湖とエコー湖で同じである。
  2. Ha: The distribution for fish caught is not the same in Green Valley Lake and in Echo Lake.
    Ha：捕獲される魚の分布は、グリーンバレー湖とエコー湖で同じではない。
  3. 3
  4. chi-square with df = 3
    自由度df = 3のカイ二乗分布
  5. 11.75
  6. p-value = 0.0083
    p値 = 0.0083
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha: 0.05
      α：0.05
    2. Decision: Reject the null hypothesis.
      判断：帰無仮説を棄却する。
    3. Reason for decision: p-value < alpha
      判断の理由：p値 < α
    4. Conclusion: There is evidence to conclude that the distribution of fish caught is different in Green Valley Lake and in Echo Lake
      結論：捕獲される魚の分布がグリーンバレー湖とエコー湖で異なると結論する証拠がある。
Exercise 88問題 88
In a recent year, the United States had 1.5 million homeschooled students, according to the U.S. National Center for Education Statistics. In Table 11.55 you can see that parents decide to homeschool their children for different reasons, and some reasons are ranked by parents as more important than others. According to the survey results shown in the table, is the distribution of applicable reasons the same as the distribution of the most important reason? Provide your assessment at the 5% significance level. Did you expect the result you obtained?
英語のヒント
米国国立教育統計センターによると、ある近年に米国では150万人の生徒がホームスクーリングを受けていた。表11.55から、親が子どもを家庭で教育すると決める理由はさまざまであり、ある理由を他より重要と考えていることが分かる。表の調査結果によれば、該当する理由の分布と、最も重要な理由の分布は同じか。有意水準5%で判断しよう。得られた結果は予想どおりだったか。
Reasons for Homeschooling
ホームスクーリングを行う理由
Applicable Reason (in thousands of respondents)
該当する理由（回答者数、千人）
Most Important Reason (in thousands of respondents)
最も重要な理由（回答者数、千人）
Row Total
行合計
Concern about the environment of other schools
他の学校の環境への懸念
1,321
309
1,630
Dissatisfaction with academic instruction at other schools
他の学校の学習指導への不満
1,096
258
1,354
To provide religious or moral instruction
宗教的・道徳的な教育を行うため
1,257
540
1,797
Child has special needs, other than physical or mental
子どもに、身体面・精神面以外の特別なニーズがある
315
55
370
Nontraditional approach to child’s education
子どもの教育に従来とは異なる方法を採るため
984
99
1,083
Other reasons (e.g., finances, travel, family time, etc.)
その他の理由（家計、旅行、家族で過ごす時間など）
485
216
701
Column Total
列合計
5,458
1,477
6,935
Table 11.55表 11.55
Exercise 89問題 89
When looking at energy consumption, we are often interested in detecting trends over time and how they correlate among different countries. The information in Table 11.56 shows the average energy use (in units of kg of oil equivalent per capita) in the USA and the joint European Union countries (EU) for a specific six-year period. Do the energy use values in these two areas come from the same distribution? Perform the analysis at the 5% significance level.
英語のヒント
エネルギー消費を調べる際には、時間的な傾向や、国ごとの傾向がどのように相関するかに関心を持つことが多い。表11.56には、ある6年間における米国と欧州連合（EU）諸国全体の平均エネルギー使用量（1人あたり石油換算kg）が示されている。この二つの地域のエネルギー使用量の値は、同じ分布から得られたものか。有意水準5%で分析しよう。
Year
年
European Union
欧州連合
United States
米国
Row Total
行合計
6
3,413
7,164
10,557
5
3,302
7,057
10,359
4
3,505
7,488
10,993
3
3,537
7,758
11,295
2
3,595
7,697
11,292
1
3,613
7,847
11,460
Column Total
列合計
20,965
45,011
65,976
Table 11.56表 11.56
Solution解き方
  1. H0: The distribution of average energy use in the USA is the same as in Europe between Year 1 and Year 6.
    H0：1年目から6年目までの米国の平均エネルギー使用量の分布は、欧州の分布と同じである。
  2. Ha: The distribution of average energy use in the USA is not the same as in Europe between Year 1 and Year 6.
    Ha：1年目から6年目までの米国の平均エネルギー使用量の分布は、欧州の分布と同じではない。
  3. df = 4
  4. chi-square with df = 4
    自由度df = 4のカイ二乗分布
  5. test statistic = 2.7434
    検定統計量 = 2.7434
  6. p-value = 0.7395
    p値 = 0.7395
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha: 0.05
      α：0.05
    2. Decision: Do not reject the null hypothesis.
      判断：帰無仮説を棄却しない。
    3. Reason for decision: p-value > alpha
      判断の理由：p値 > α
    4. Conclusion: At the 5% significance level, there is insufficient evidence to conclude that the average energy use values in the US and EU are not derived from different distributions for the period from Year 1 to Year 6.
      結論：有意水準5%では、1年目から6年目までの米国とEUの平均エネルギー使用量の値が、異なる分布に由来するものではないと結論する十分な証拠はない。
Exercise 90問題 90
The Insurance Institute for Highway Safety collects safety information about all types of cars every year, and publishes a report of Top Safety Picks among all cars, makes, and models. Table 11.57 presents the number of Top Safety Picks in six car categories for two specific years. Analyze the table data to conclude Year 1 and Year 2. Derive your results at the 5% significance level.
英語のヒント
米国道路安全保険協会は、あらゆる種類の車の安全性に関する情報を毎年収集し、すべての車、メーカー、モデルの中から選んだトップセーフティピックの報告を公表している。表11.57は、ある二つの年について、六つの車種区分で選ばれた車の数を示す。表のデータを分析し、1年目と2年目について結論を出そう。有意水準5%で結果を求める。
Year \ Car Type
年＼車種
Small
小型
Mid-Size
中型
Large
大型
Small SUV
小型SUV
Mid-Size SUV
中型SUV
Large SUV
大型SUV
Row Total
行合計
Year 1
1年目
12
22
10
10
27
6
87
Year 2
2年目
31
30
19
11
29
4
124
Column Total
列合計
43
52
29
21
56
10
211
Table 11.57表 11.57