第11章カイ二乗分布
References参考文献
Data from the U.S. Census Bureau
データ出典：米国国勢調査局。
Data from the College Board. Available online at http://www.collegeboard.com.
データ出典：College Board。http://www.collegeboard.comで閲覧できる。
Data from the U.S. Census Bureau, Current Population Reports.
データ出典：米国国勢調査局『Current Population Reports』。
Ma, Y., E.R. Bertone, E.J. Stanek III, G.W. Reed, J.R. Hebert, N.L. Cohen, P.A. Merriam, I.S. Ockene, “Association between Eating Patterns and Obesity in a Free-living US Adult Population.” American Journal of Epidemiology volume 158, no. 1, pages 85-92.
Ma, Y., E.R. Bertone, E.J. Stanek III, G.W. Reed, J.R. Hebert, N.L. Cohen, P.A. Merriam, I.S. Ockene「自由生活下の米国成人集団における食事パターンと肥満の関連」。『American Journal of Epidemiology』第158巻第1号、85～92頁。
Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal, “Prevalence of Obesity in the United States, 2009–2010.” NCHS Data Brief no. 82, January 2012. Available online at http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdf (accessed May 24, 2013).
Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal「米国における肥満の有病率、2009～2010年」。『NCHS Data Brief』第82号、2012年1月。http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdfで閲覧できる（2013年5月24日閲覧）。
Stevens, Barbara J., “Multi-family and Commercial Solid Waste and Recycling Survey.” Arlington Count, VA. Available online at http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdf (accessed May 24,2013).
Stevens, Barbara J.「集合住宅および商業施設の固形廃棄物とリサイクルに関する調査」。バージニア州アーリントン郡。http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdfで閲覧できる（2013年5月24日閲覧）。
Chapter Review章の復習
To assess whether a data set fits a specific distribution, you can apply the goodness-of-fit hypothesis test that uses the chi-square distribution. The null hypothesis for this test states that the data come from the assumed distribution. The test compares observed values against the values you would expect to have if your data followed the assumed distribution. The test is almost always right-tailed. Each observation or cell category must have an expected value of at least five.
英語のヒント
データ集合が特定の分布に適合するかを判断するには、カイ二乗分布を使う適合度の仮説検定を適用できる。この検定の帰無仮説は、データが仮定した分布から得られたとするものである。検定では、観測値を、データが仮定した分布に従うなら予想される値と比較する。検定は、ほとんどの場合、右片側検定である。各観測区分またはセルのカテゴリーの期待値は、少なくとも5でなければならない。
Formula Review公式の復習
goodness-of-fit test statistic where:
O: observed values
E: expected values
k: number of different data cells or categories
O: observed values
E: expected values
k: number of different data cells or categories
：適合度検定の検定統計量。ここで、Oは観測値、Eは期待値、kは異なるデータのセルまたはカテゴリーの数を表す。
df = k − 1 degrees of freedom
df = k − 1：自由度
Exercises 9–11練習問題 9–11
Determine the appropriate test to be used in the next three exercises.
次の3問で用いる適切な検定を判断しよう。
Exercise 9問題 9
An archeologist is calculating the distribution of the frequency of the number of artifacts they find in a dig site. Based on previous digs, the archeologist creates an expected distribution broken down by grid sections in the dig site. Once the site has been fully excavated, they compare the actual number of artifacts found in each grid section to see if their expectation was accurate.
英語のヒント
考古学者が、発掘現場で見つかる遺物の個数の度数分布を計算している。過去の発掘をもとに、現場を格子状に区切った区画ごとの予想分布を作る。現場の発掘がすべて終わったら、各区画で実際に見つかった遺物の個数を比較し、予想が正確だったかを調べる。
Exercise 10問題 10
An economist is deriving a model to predict outcomes on the stock market. They create a list of expected points on the stock market index for the next two weeks. At the close of each day’s trading, The economist records the actual points on the index. They want to see how well the model matched what actually happened.
英語のヒント
経済学者が、株式市場の動きを予測するモデルを導いている。今後2週間の株価指数の予想値の一覧を作り、毎日の取引終了時に実際の指数を記録する。モデルが実際に起こったことと、どの程度一致していたかを調べたい。
Solution解き方
a goodness-of-fit test
適合度検定
Exercise 11問題 11
A personal trainer is putting together a weight-lifting program for their clients. For a 90-day program, they expect each client to lift a specific maximum weight each week. As the program goes along, the trainer records the actual maximum weights their clients lifted. They want to know how well their expectations met with what was observed.
英語のヒント
パーソナルトレーナーが顧客向けのウエイトトレーニング計画を作っている。90日間の計画で、各顧客が毎週持ち上げられる最大重量を予測する。計画が進むにつれて、顧客が実際に持ち上げた最大重量を記録する。予測と観測結果が、どの程度一致したかを知りたい。
Exercises 12–16練習問題 12–16
Use the following information to answer the next five exercises: A teacher predicts that the distribution of grades on the final exam will be and they are recorded in Table 11.15.
次の情報を使って、続く5問に答えよう。ある教師は、期末試験の成績の分布が表11.15のようになると予測した。
Grade 成績 |
Proportion 比率 |
|---|---|
A |
0.25 |
B |
0.30 |
C |
0.35 |
D |
0.10 |
The actual distribution for a class of 20 is in Table 11.16.
20人のクラスでの実際の分布を表11.16に示す。
Grade 成績 |
Frequency 度数 |
|---|---|
A |
7 |
B |
7 |
C |
5 |
D |
1 |
Exercise 12問題 12
______
Solution解き方
3
Exercise 13問題 13
State the null and alternative hypotheses.
帰無仮説と対立仮説を述べよう。
Exercise 14問題 14
χ2 test statistic = ______
χ2検定統計量 = ______
Solution解き方
2.04
Exercise 15問題 15
p-value = ______
p値 = ______
Exercise 16問題 16
At the 5% significance level, what can you conclude?
有意水準5%で、何を結論できるか。
Solution解き方
We decline to reject the null hypothesis. There is not enough evidence to suggest that the observed test scores are significantly different from the expected test scores.
帰無仮説を棄却しない。観測された試験成績が期待される成績と有意に異なることを示す十分な証拠はない。
Exercises 17–25練習問題 17–25
Use the following information to answer the next nine exercises: The cumulative number of COVID-19 related cases reported for Santa Clara County for a certain time period is broken down by ethnicity as in Table 11.17.
英語のヒント
次の情報を使って、続く9問に答えよう。ある期間にサンタクララ郡で報告されたCOVID-19関連症例の累積件数を民族別に分けると、表11.17のようになる。
Ethnicity 民族 |
Number of Cases 症例数 |
|---|---|
White 白人 |
2,229 |
Hispanic/Latino ヒスパニック／ラティーノ |
1,157 |
Black/African-American 黒人／アフリカ系米国人 |
457 |
Asian, Pacific Islander アジア系、太平洋諸島系 |
232 |
Total = 4,075 合計 = 4,075 |
The percentage of each ethnic group in Santa Clara County is as in Table 11.18.
サンタクララ郡の各民族の割合は、表11.18のとおりである。
Ethnicity 民族 |
Percentage of total county population 郡の総人口に占める百分率 |
Number expected (round to two decimal places) 期待される件数（小数第2位までに丸める） |
|---|---|---|
White 白人 |
42.9% |
1748.18 |
Hispanic/Latino ヒスパニック／ラティーノ |
26.7% |
|
Black/African-American 黒人／アフリカ系米国人 |
2.6% |
|
Asian, Pacific Islander アジア系、太平洋諸島系 |
27.8% |
|
Total = 100% 合計 = 100% |
Exercise 17問題 17
If the ethnicities of COVID-19 cases victims followed the ethnicities of the total county population, fill in the expected number of cases per ethnic group.
Perform a goodness-of-fit test to determine whether the occurrence of COVID-19 cases follows the ethnicities of the general population of Santa Clara County.
Perform a goodness-of-fit test to determine whether the occurrence of COVID-19 cases follows the ethnicities of the general population of Santa Clara County.
COVID-19症例の民族構成が郡全体の人口の民族構成に従うとした場合に、各民族で期待される症例数を記入しよう。適合度検定を行い、COVID-19の発生がサンタクララ郡の一般人口の民族構成に従うかを判断しよう。
Exercise 18問題 18
H0: _______
H0：_______
Solution解き方
H0: the distribution of COVID-19 cases follows the ethnicities of the general population of Santa Clara County.
H0：COVID-19症例の分布は、サンタクララ郡の一般人口の民族構成に従う。
Exercise 19問題 19
Ha: _______
Ha：_______
Exercise 20問題 20
Is this a right-tailed, left-tailed, or two-tailed test?
これは右片側検定、左片側検定、両側検定のどれか。
Solution解き方
right-tailed
右片側検定
Exercise 21問題 21
degrees of freedom = _______
自由度 = _______
Exercise 22問題 22
χ2 test statistic = _______
χ2検定統計量 = _______
Solution解き方
2016.136
Exercise 23問題 23
p-value = _______
p値 = _______
Exercise 24問題 24
Graph the situation. Label and scale the horizontal axis. Mark the mean and test statistic. Shade in the region corresponding to the p-value.
状況をグラフに描こう。横軸にラベルと目盛りを付け、平均と検定統計量の位置を記そう。p値に対応する領域に陰影を付けよう。
Figure 11.8図 11.8
Let α = 0.05
α = 0.05とする。
Decision: ________________
判断：________________
Reason for the Decision: ________________
判断の理由：________________
Conclusion (write out in complete sentences): ________________
結論（完全な文章で書く）：________________
Solution解き方
Graph: Answers may vary.
グラフ：解答はさまざまである。
Decision: Reject the null hypothesis.
判断：帰無仮説を棄却する。
Reason for the Decision: p-value < alpha
判断の理由：p値 < α
Conclusion (write out in complete sentences): The make-up of COVID-19 cases does not fit the ethnicities of the general population of Santa Clara County.
結論（完全な文章で書く）：COVID-19症例の構成は、サンタクララ郡の一般人口の民族構成に適合しない。
Exercise 25問題 25
Does it appear that the pattern of COVID-19 cases in Santa Clara County corresponds to the distribution of ethnic groups in this county? Why or why not?
サンタクララ郡のCOVID-19症例のパターンは、この郡の民族構成に対応しているといえるか。その理由を述べよう。