プリンキピア

第11章カイ二乗分布

11.5 Comparison of the Chi-Square Tests11.5　カイ二乗検定の比較

You have seen the χ2 test statistic used in three different circumstances. The following bulleted list is a summary that will help you decide which χ2 test is the appropriate one to use.
英語のヒント
これまで、χ2検定統計量が三つの異なる状況で使われるのを見てきた。次の箇条書きは、どのχ2検定を使うべきか判断するためのまとめである。
  • Goodness-of-Fit: Use the goodness-of-fit test to decide whether a population with an unknown distribution "fits" a known distribution. In this case there will be a single qualitative survey question or a single outcome of an experiment from a single population. Goodness-of-Fit is typically used to see if the population is uniform (all outcomes occur with equal frequency), the population is normal, or the population is the same as another population with a known distribution. The null and alternative hypotheses are:
    H0: The population fits the given distribution.
    Ha: The population does not fit the given distribution.
    英語のヒント
    適合度：適合度検定は、分布が未知の母集団が既知の分布に「適合」するかを判断するために使う。この場合、一つの母集団に対して、質的な調査項目が一つ、または実験の結果が一つある。適合度検定は通常、母集団が一様か（すべての結果が同じ度数で出現するか）、正規分布か、または分布が既知の別の母集団と同じかを調べるために使う。帰無仮説と対立仮説は次のとおりである。H0：母集団は与えられた分布に適合する。Ha：母集団は与えられた分布に適合しない。
  • Independence: Use the test for independence to decide whether two variables (factors) are independent or dependent. In this case there will be two qualitative survey questions or experiments and a contingency table will be constructed. The goal is to see if the two variables are unrelated (independent) or related (dependent). The null and alternative hypotheses are:
    H0: The two variables (factors) are independent.
    Ha: The two variables (factors) are dependent.
    独立性：独立性検定は、二つの変数（要因）が独立か従属かを判断するために使う。この場合、質的な調査項目または実験が二つあり、分割表を作成する。二つの変数に関係がない（独立）か、関係がある（従属）かを調べることが目的である。帰無仮説と対立仮説は次のとおりである。H0：二つの変数（要因）は独立である。Ha：二つの変数（要因）は従属する。
  • Homogeneity: Use the test for homogeneity to decide if two populations with unknown distributions have the same distribution as each other. In this case there will be a single qualitative survey question or experiment given to two different populations. The null and alternative hypotheses are:
    H0: The two populations follow the same distribution.
    Ha: The two populations have different distributions.
    均質性：均質性検定は、分布が未知の二つの母集団が、互いに同じ分布を持つかを判断するために使う。この場合、異なる二つの母集団に、一つの質的な調査項目または実験を与える。帰無仮説と対立仮説は次のとおりである。H0：二つの母集団は同じ分布に従う。Ha：二つの母集団の分布は異なる。

Chapter Review章の復習

The goodness-of-fit test is typically used to determine if data fits a particular distribution. The test of independence makes use of a contingency table to determine the independence of two factors. The test for homogeneity determines whether two populations come from the same distribution, even if this distribution is unknown.
適合度検定は、通常、データが特定の分布に適合するかを判断するために使う。独立性検定は分割表を用いて二つの要因の独立性を判断する。均質性検定は、分布が未知であっても、二つの母集団が同じ分布に由来するかを判断する。
Exercises 91–96練習問題 91–96
Exercise 91問題 91
Which test do you use to decide whether an observed distribution is the same as an expected distribution?
観測された分布が期待される分布と同じかを判断するには、どの検定を使うか。
Solution解き方
a goodness-of-fit test
適合度検定
Exercise 92問題 92
What is the null hypothesis for the type of test from Exercise 91?
問題91の検定の帰無仮説は何か。
Exercise 93問題 93
Which test would you use to decide whether two factors have a relationship?
二つの要因に関係があるかを判断するには、どの検定を使うか。
Solution解き方
a test for independence
独立性検定
Exercise 94問題 94
Which test would you use to decide if two populations have the same distribution?
二つの母集団の分布が同じかを判断するには、どの検定を使うか。
Exercise 95問題 95
How are tests of independence similar to tests for homogeneity?
独立性検定と均質性検定は、どの点で似ているか。
Solution解き方
Answers will vary. Sample answer: Tests of independence and tests for homogeneity both calculate the test statistic the same way ∑ (ij) (O-E) 2 E . In addition, all values must be greater than or equal to five.
解答はさまざまである。解答例：独立性検定と均質性検定は、どちらも同じ方法 ∑ (ij) (O-E) 2 E で検定統計量を計算する。また、すべての値が5以上でなければならない。
Exercise 96問題 96
How are tests of independence different from tests for homogeneity?
独立性検定と均質性検定は、どの点で異なるか。

Homework宿題

Exercises 97練習問題 97
For each word problem, use a solution sheet to solve the hypothesis test problem. Go to Solution Sheets for the chi-square solution sheet. Round expected frequency to two decimal places.
各文章題について、解答用シートを使って仮説検定の問題を解こう。「解答用シート」でカイ二乗検定用のシートを参照する。期待度数は小数第2位までに丸める。
Exercise 97問題 97
Is there a difference between the distribution of community college statistics students and the distribution of university statistics students in what technology they use on their homework? Of some randomly selected community college students, 43 used a computer, 102 used a calculator with built in statistics functions, and 65 used a table from the textbook. Of some randomly selected university students, 28 used a computer, 33 used a calculator with built in statistics functions, and 40 used a table from the textbook. Conduct an appropriate hypothesis test using a 0.05 level of significance.
統計学の宿題に使う道具の分布は、コミュニティカレッジの学生と大学の学生で異なるだろうか。無作為に選んだコミュニティカレッジの学生のうち、43人がコンピューター、102人が統計機能内蔵の電卓、65人が教科書の表を使った。無作為に選んだ大学の学生のうち、28人がコンピューター、33人が統計機能内蔵の電卓、40人が教科書の表を使った。有意水準0.05で適切な仮説検定を行おう。
Solution解き方
  1. H0: The distribution for technology use is the same for community college students and university students.
    H0：道具の使用の分布は、コミュニティカレッジの学生と大学の学生で同じである。
  2. Ha: The distribution for technology use is not the same for community college students and university students.
    Ha：道具の使用の分布は、コミュニティカレッジの学生と大学の学生で同じではない。
  3. 2
  4. chi-square with df = 2
    自由度df = 2のカイ二乗分布
  5. 7.05
  6. p-value = 0.0294
    p値 = 0.0294
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha: 0.05
      α：0.05
    2. Decision: Reject the null hypothesis.
      判断：帰無仮説を棄却する。
    3. Reason for decision: p-value < alpha
      判断の理由：p値 < α
    4. Conclusion: There is sufficient evidence to conclude that the distribution of technology use for statistics homework is not the same for statistics students at community colleges and at universities.
      結論：統計学の宿題で使う道具の分布は、コミュニティカレッジと大学で統計学を学ぶ学生の間で同じではないと結論する十分な証拠がある。
Exercises 98練習問題 98
Read the statement and decide whether it is true or false.
記述を読み、正しいか誤っているかを判断しよう。
Exercise 98問題 98
If df = 2, the chi-square distribution has a shape that reminds us of the exponential.
df = 2のとき、カイ二乗分布は指数分布を思わせる形をしている。